工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件1第三章3

1、第二節(jié)n維向量的線性相關(guān)性1. n維向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)2. 線性相關(guān)性的判別法本節(jié)主要內(nèi)容一 n維向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 設(shè)1, 2, , m, 都是n維向量，若存在一組數(shù)k1, k2, , km使得 定義 則稱向量是1, 2, , m的線性組合, 或稱向量可由1, 2, , m線性表出.例如對(duì)向量=(1, 1, 0), =(2, 1, 1), =(1, 0, 1),=+, 是, 的線性組合.稱1, 2, , n為n維向量空間的基本單位向量.在n維向量空間中，設(shè) 則對(duì)任何一個(gè)n維向量都有對(duì)任何向量組1, 2, , m都有而對(duì)向量組1=(1,1,0), 2=(2,1,1), 3=(1,0

2、,1)有11 12+13=0.則稱 1, 2, , m 是線性相關(guān)的. 設(shè) 1, 2, , m是m個(gè)n維向量，若存在一組不全為零的數(shù)k1, k2, km，使得線性相關(guān)的向量組的特點(diǎn)：它除了有系數(shù)全為零的線性組合是零向量外，還可以有系數(shù)不全為零的線性組合也是零向量.定義所以由定義知： 1, 2, 0, 3 線性相關(guān).例1試證：向量組1, 2, 0, 3是線性相關(guān)的.因?yàn)榇嬖诓蝗珵榱愕臄?shù)0, 0, 1, 0, 使得證說(shuō)明:包含零向量的向量組一定線性相關(guān). 也就是說(shuō)：向量組1, 2, , m 當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)k1, k2, km 全為零時(shí)，才能使得 一個(gè)向量組如果不是線性相關(guān)的，就稱為線性無(wú)關(guān)的。定義

3、線性無(wú)關(guān)的向量組的特點(diǎn)：它只有數(shù)全為零的線性組合才是零向量，除此之外，它不再有別的線性組合是零向量. 設(shè) 1, 2, , m 是m個(gè)n維向量，如果定義 例2試證：n維向量空間的基本單位向量組1, 2, , n 是線性無(wú)關(guān)的.就必有則稱 1, 2, , m 是線性無(wú)關(guān)的.此定義常用來(lái)證明向量組是線性無(wú)關(guān)的.證 如果 有于是得到 根據(jù)定義得1, 2, , n 是線性無(wú)關(guān)的.即線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)反映了向量組是否有系數(shù)不全為零的線性組合等于零向量. n維向量1, 2, , m (m2)線性相關(guān)的充分必要條件是：其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出.證 必要性 因 1, 2, , m 線性相關(guān)，即存在

4、不全為零的數(shù) k1, k2, km ，使得定理2.1不妨設(shè)k10, 則 即1可由 2, , m 線性表出.充分性 于是顯然， 1, k2, km 不全為零，故 1, 2, , m 線性相關(guān).不妨設(shè)1可由 2, , m 線性表出，即推論 向量組 1, 2, , m (m2) 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：其中每一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出. 若n維向量 1, 2, , m 線性無(wú)關(guān)，向量 1, 2, , m, 線性相關(guān)，則 可由向量 1, 2, , m線性表出，且表法唯一.定理2. 2證 向量組 1, 2, , m, 線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)k1, k2, km 使得若k=0，則有與已知

5、矛盾，故k0.即1, 2, , m 線性相關(guān)，于是即因 1, 2, , m 線性無(wú)關(guān)，故必有下面證唯一性，用反證法：若有兩種表法使兩式相減，得所以表法唯一.二 線性相關(guān)的判別法特殊情形: 當(dāng)m=1時(shí), 也即只有一個(gè)向量的向量組： 1 , 顯然 1 線性相關(guān)的充分必要條件是1=0.如果當(dāng)10時(shí), 1 線性無(wú)關(guān). 當(dāng)m=2時(shí), 即含有兩個(gè)向量的向量組: 1, 2 , 它們線性相關(guān)1=k2或 2 =h1, 或者說(shuō), 1, 2的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例. 否則1, 2線性無(wú)關(guān). 當(dāng)m3時(shí)，向量組 1, 2, , m 的線性相關(guān)性的判別通常轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解來(lái)考慮.例3判別向量組: 1=(1, 2,

6、 5), 2=(2, 4, -1), 3=(6, -1, -1)的線性相關(guān)性.設(shè) 解即亦即由于故齊次線性方程組只有唯一零解：故向量組線性無(wú)關(guān).判別向量組： 1=(1, 2, 2), 2=(-2, 1, -1), m=(1, -3, -1) 的線性相關(guān)性.例4解設(shè)即系數(shù)行列式不能用克萊姆法則解方程組.(-2)(-2)(-1/5)(-3)消元法相當(dāng)于對(duì)它的系數(shù)矩陣作初等行變換：得等價(jià)方程組：所以所以向量組線性相關(guān).2取于是一般結(jié)論: 判別一個(gè)向量組i=(ai1, ai2, aim), i=1, 2, , m, 是否線性相關(guān)，根據(jù)定義判斷齊次方程組：是否有非零解，即齊次方程組是否有非零解.特別是當(dāng)m

7、=n時(shí), 即n個(gè)n維向量組線性相關(guān)的充分必要條件為向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的性質(zhì) 1含有零向量的向量組必線性相關(guān). 不失一般性，設(shè)所給的m個(gè)向量為證從而存在不全為零的數(shù)1,0,0，使得所以1, 2, , m線性相關(guān).2向量組若有一個(gè)部分線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān).證 設(shè)向量組 1, 2, , t, t+1, , m 中的一部分組1, 2, , t 線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1, k2, , kt ，使得因?yàn)?k1, k2, , kt 不全為零，所以k1, k2, , kt, 0, , 0 也不全為零. 由定義知1, 2, , t, t+1, , m 線性相關(guān). 從而4若向量組i=(

8、ai1, ai2, ain), i=1, 2, , m, 線性相關(guān)， 則去掉最后r個(gè)分量(1rn)后，所得到的向量組： i=(ai1, ai2, ain-r) , i=1, 2, , m也線性相關(guān). 由 1, 2, , m 線性相關(guān)，故存在著不全為零的數(shù)k1, k2, , km 使得證 3. 若向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任意一個(gè)部分組也線性無(wú)關(guān). 證用反證法，利用性質(zhì)2即得。 寫成分量形式，即取上述方程組的前n-r個(gè)方程組成方程組 即亦即存在不全為零的數(shù) k1, k2, , km 使其上式成立，于是 1, 2, , m 線性相關(guān).5若向量組： i=(ai1, ai2, ain), i=1, 2, , m, 線性無(wú)關(guān)，則在每個(gè)向量上任意增加r個(gè)分量所得到的向量組: i=(ai1, ai2, , ain, ain+1, , ain+r), i=1, 2, , m, 也線性無(wú)關(guān). 證 用反證法，利用性質(zhì)4即得.例5 設(shè) t1, t2, , tr 是互不相同的數(shù)，且rn，試證：向量組 設(shè) 證寫成分量形式，即線性無(wú)關(guān).(1) 當(dāng)r = n時(shí)，上述方程組中方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)且系數(shù)行列式為范得