五年級下冊數學試題-競賽專題：第9講-復雜行程問題(含答案)人教版

1、知 識 概 述特殊行程類型1. 多次相遇問題2. 獵狗追兔問題3. 發(fā)車間隔問題行程問題思維靈活性大， 輻射面廣， 但根本在于路程、 間的關系，掌握這三個數量關系式，是解決行程問題的關鍵。在解答行程問題時， 經常采取畫圖分析的方法，們分析、理解題意，從而解決問題。根據題意畫出線段圖， 來幫助我例1如圖， A、B是一條道路的兩端點，亮亮在 A點，明明在 B點，兩人同時出發(fā)，相向而行。他們在離A點100米的 C點第一次相遇。亮亮到達 B點后返回 A點，明明到達 A點后返回 B點，兩人在離 B點80米的 D點第二 次相遇。整個過程中，兩人各自的速度都保持不變。求A、 B間的距離?！窘馕觥?第一次相遇

2、，兩人共走了 1個全程，其中亮亮走了 100 米； 從開始到第二次相遇，兩人共走了 3 個全程，則亮亮走了 100 3=300（米），亮亮共走的路程是 一個全程多 80 米，所以 A、B 間的距離是： 300-80=220（米）例2亮亮騎著自行車，以每分鐘 400 米的速度，從 46 路汽車的始發(fā)站，沿 46 路車的線路前進，當他騎出1400 米時，一輛 46 路車從始發(fā)站開出，已知這輛車每分鐘行600 米，每 4 分鐘到達一站并停車 1 分鐘，那么汽車開出（ ）分鐘后能追上亮亮?！窘馕觥?以 5 分鐘為 1個周期：在這段時間內，亮亮騎了4005=2000（米），46 路車行駛了 6004=2

3、400（米），兩者的距離減少了 2400-2000=400 （米）。兩個周期后，兩者的距離是1400-4002=600（米）， 600（600-400 ） =3（分鐘），所以，在第三個周期內，汽車追上了亮亮，共用時52+3=13 （分鐘）。注：因為 1400400=3 200，所以這里可能犯的錯誤是認為汽車要在第四個周期才追上亮亮。 但是，注意到 1 個周期內兩者的距離是先拉近后拉大， 兩者的距離最多能夠減少 （600-400）4=800 （米），所以實際上汽車在第三個周期內就能追上亮亮了。例3A、B 兩地是電車的兩個起點站，每隔 12分鐘發(fā)一輛車，電車每小時行 25千米，請問：如果小明從 A

4、 地坐電車到 B 地，那么他每隔多長時間會看見一輛電車迎面開來？【解析】 同一方向行駛的相鄰兩輛車的間隔是（ 1260） 25=5（千米），小明和電車迎面相遇屬于 相遇問題，從迎面遇到第 1輛電車到遇到第 2 輛電車，相遇的路程是相鄰兩輛車的間隔 300 千米，速度和是小明的速度（電車速度）和電車的速度和，相遇時間即為迎面遇到電車的間 隔時間。（1260）25（ 25+25 ） 60=6（分鐘）【鞏固拓展】1. 乙兩人分別從 A、B 兩地同時相向而行，第一次相遇離 A 地 80 千米。兩人又繼續(xù)各自向前行， 分別到 達 B、A兩地后，立即返回（不停留），到第二次相遇離 A地 60千米。那么，A

5、、B兩地相距（）千米?！窘馕觥?第一次相遇時，甲乙合走 1個全程，甲走了 80 千米； 第二次相遇時，甲乙合走 3個全程，甲走了 80 3=240（千米），第二次相遇離 A地 60千米，所 以甲乙兩地的距離為（ 80 3+60） 2=150（千米）2. A、B 兩地是電車的兩個起點站，每隔 12分鐘發(fā)一輛車，電車每小時行 25千米，請問：如果小明從 B 地步行走向 A 地，每小時行 5 千米，那么他每隔多長時間會看見一輛電車迎面開來？每隔多長時間 會有一輛電車從后面超過他？【解析】 小明的速度變了，但迎面相遇的情景仍和例 3 相似，后面超過的過程屬于追及問題，從后面面第1 輛電車超過小明到第

6、2 輛電車超過，第 2 輛電車追及的路程是相鄰兩輛車的間隔 5 千米，速度 差就是電車的速度與小明的速度差，追及時間即為電車超過小明的間隔時間。 迎面：（1260）25（ 5+25） 60=10（分鐘） 后面：（1260）25（ 25-5） 60=15（分鐘）例1甲、乙、丙三人，甲每分鐘行 80 米，乙每分鐘行 70 米，丙每分鐘行 60 米。如果甲從 A 地，乙、丙 從 B 地，三人同時出發(fā)相向而行，途中甲與乙先相遇，后再經過5 分鐘甲、丙相遇。那么， A 、B 之間的距離是多少米？【解析】 甲和乙相遇后再經過 5 分鐘甲、丙相遇，說明甲和乙相遇時， 乙比丙多行的路程：（80+60）5=70

7、0 （米）甲與乙從出發(fā)到相遇的時間： 700（ 70-60）=70（分鐘）A、B 之間的距離：（80+70）70=10500（米）答： A、B 之間的路程是 10500米。【鞏固拓展】 甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲 每分鐘走 40米，乙每分鐘走 38 米，丙每分鐘走 36米。在途中，甲和乙相遇后 3分鐘和丙相遇。這個花 圃的周長是多少米？【解析】 甲先與乙相遇。在甲、乙相遇這段時間里，乙、丙所行的路程差正是甲、丙在 3 分鐘內相向而行 的路程之和： （ 40+36） 3=228（米）從出發(fā)到甲、乙相遇所用的時間為： 228（38-36

8、） =114（分） 所以，花圃的周長為： （ 40+38） 114=8892（米）例2（第三屆小機靈杯邀請賽試題）甲、乙分別自 A、B 兩地同時相向步行， 2小時后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速度都提高了 1 千米/時。當甲到達 B地后立刻按原路向 A地返行，當乙到達 A 地后也立刻按原路向 B地返行。甲、乙二 人在第一次相遇后 3小時 36分又再次相遇。 A、B 兩地的距離是（）千米?！窘馕觥?第一次相遇時，甲乙合走 1個全程，用時 2 小時；從第一次相遇到第二次相遇時，甲乙合走 2 個全程，用時 3 小時 36 分，即 3.6小時，說明速度提 高后，甲乙合走 1 個全程，用時 3.6 2

9、=1.8 小時； 甲乙原來的速度和： 1.8（ 1+1）（ 2-0.8） =18 （千米 /時） A、B距離：182=36（千米 /時）例3 快、中、慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿著同一條公路追趕前面的一個騎車人。已知這三輛車分別 是每小時 54千米、 22千米、 12千米，快車和中車分別用 2小時、 6小時追上了騎車人。那么慢車要用多 少時間追上騎車人？解析】 快 車從開始追到追上騎車人用了2 小時，快車 2 小時行駛的路程等于“原來最初車與人的距離 +騎車人 2 小時行駛的路程” ，中車從開始追到追上騎車人用了 6 小時，中車 6 小時行駛的路程等于“原來最初車與人的距離 + 騎車人 6

10、小時行駛的路程” ，所以騎車人 4 小時行駛的路程等于“中車 6 小時行駛的路程 -快車 2 小時行駛的路程” 。 騎車人的速度： （226 542）（6-2）=6（千米 /時）原來最初車與人的距離： 542-6 2=96（千米）96（ 12-6）=16 （小時） 答：慢車要用 16 小時追上騎車人。例4（第六屆中環(huán)杯初賽試題）某人騎自行車在路上前行，每隔 12 分鐘有一輛電車從后面超過他，每隔 4 分鐘有一輛電車迎面向他 駛來。此人與電車的速度均保持不變， 且不計電車停車的時間和上、 下車乘客所用的時間。 那么每隔 （ ） 分鐘，從起點站發(fā)出一輛電車?！窘馕觥?“ 車距不變”是求解發(fā)車間隔問

11、題的關鍵。設騎自行車的速度為 1，車速為 x ，得（x+1 ） 4=（ x-1 ） 128x=16x=2車距：（21）4=12發(fā)車間隔： 122=6（分鐘）【鞏固拓展】（第六屆小機靈杯邀請賽試題）小明步行，小英騎車，小英的速度是小明的 3 倍，他們同時同向沿 100 路公交車同向而行，每隔 12 分鐘有一輛 100 路公交車超過小明，每隔 24 分鐘有一輛超過小英，已知 100 路公交車每隔同樣的時間發(fā) 一輛，那么 100 路公交車間隔（ ）分鐘發(fā)一輛車。解析】 設小明的速度為 1，則小英的速度為 3，公交車速為 x ，依題意得 （x-1）12=（x-3）2412x=60 x=5車距：（5-1

12、）12=48發(fā)車間隔： 485=9.6（分鐘）例5一只獵狗追趕前方 20 米處的兔子。 已知狗一跳前進 3 米，兔子一跳前進 2.1 米，狗跳 3 次的時間兔子 可以跳 4 次。那么兔子跑出多遠后將被獵狗追上？解析】 以狗跳 3 次的時間為一個時間單位， 在一個單位時間里， 狗跑 33=9（米），兔子跑 42.1=8.4米），所以兔子跑的距離為：20（9-8.4）8.4=280（米）。 答：兔子跑出 280 米后將被獵狗追上?！眷柟掏卣埂恳巴锰映?80步后獵狗才開始追， 野兔跑 7步的路程獵狗只需跑 3步，野兔跑 9 步的時間獵狗只能跑 5 步。問：獵狗要跑多少步才能追上野兔？【解析】 本題要

13、注意兔子的 1步和獵狗的 1 步是不一樣的長度。“野兔跑 7步的路程獵狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的時間獵狗只能跑 5 步”可以轉化為“野兔跑 35 步的路程獵狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的時間獵狗只能跑 15 步”。在獵狗跑 15 步的時間里，獵狗跑了 35 個兔步，而野兔只跑了 27個兔步， 以獵狗跑 15 步的時間為單位時間，狗追上兔需要： 80（ 35-27） =10 個單位時間，獵狗跑了 10 15=150（步） 答：獵狗要跑 150 步才能追上野兔。（第八屆中環(huán)杯初賽試題） 小明在河的東岸，小剛在河的西岸，他們分別向河對岸直線游去。兩人第一次在河中相遇時距西岸 80 米

14、，相遇后各自繼續(xù)向對岸游去，當游抵對岸后又立即返回。他倆在河中第二次相遇時距東岸60米，相遇后再繼續(xù)往前游，到達對岸后又立即返回。當他倆在河中第三次相遇時，距東岸（ ）米，距西岸 （ ）米。解析】 從出發(fā)到第 1次相遇，小明和小剛一共游了 1 個全程，小剛游了 80米； 從出發(fā)到第 2 次相遇， 小明和小剛一共游了 3 個全程， 小剛游了 803=240（米）；所以東西兩岸 的距離是： 240-60=180 （米）；從出發(fā)到第 3 次相遇，小明和小剛一共游了 5 個全程，小剛游了 80 5=400（米）； 400180=2 40這時候小剛距離西岸 40 米，距離東岸 180-40=140 （米

15、）例2（第十二屆中環(huán)杯初賽試題）甲、乙兩人在一條圓形跑道上同時同地同向出發(fā)，繞圓形跑道跑步。已知兩人在跑步過程中速度均保 持不變， 且甲跑得比乙快。甲第一次追上乙時，乙離開出發(fā)點250米。當甲第二次追上乙時，乙離開出發(fā)點50米。求跑道長?！窘馕觥?因 為兩人始終保持勻速，所以從出發(fā)開始，甲第二次追上乙所用的總時間是第一次追上乙所用時 間的 2 倍，兩人各自所走的路程也是第一次的2 倍。因此，甲第二次追上乙時，可以認為乙離開出發(fā)點 2502=500 （米）。接下來要分類討論：如果這 500 米是不到一圈，那么跑道長 500+50=550 （米）。 如果這 500 米是超過一圈，那么跑道 長 50

16、0-50=450 （米）。如果這 500 米是超過兩圈，那么跑道長（ 500-50 ）2=225（米）。因為甲第一次追上乙時，乙離 開出發(fā)點 250米 225米，所以舍去。所以，跑道長 450 米或 550 米。例3在一條街 AB 上，甲由 A 向 B 以不變的速度步行，同時乙騎車由 B 向 A 勻速行駛，乙的速度是甲 的 3 倍，此時 1 路公共汽車由始發(fā)站 A 開出向 B 勻速行駛，過了一段時間，甲發(fā)現每隔10 分鐘有一輛 1路公共汽車追上他，乙發(fā)現每隔 5 分鐘就迎面碰到一輛 1 路公共汽車， 1 路公共汽車的發(fā)車間隔相等，那 么在始發(fā)站 1 路公共汽車發(fā)車的間隔時間是多少？【解析】 設

17、 甲的速度為 1，則乙的速度為 3，得（車速 1） 10（車速 3）5車速 5車距：（51） 10=40發(fā)車間隔： 40 5=8（分鐘） 答： 1 路公共汽車發(fā)車的間隔時間是 8分鐘。例4獵狗追趕前方 30 米處的野兔。獵狗步子大，它跑 4步的路程兔子要跑 7步，但是兔子動作快，獵狗跑 3 步的時間兔子能跑 4 步。獵狗至少跑出（）米才能追上野兔？B 兩地間的距離為 千米。解析】 由“獵狗跑 4步的路程兔子要跑 7步，獵狗跑 3步的時間兔子能跑 4 步”得“獵狗跑 12步的路 程兔子要跑 21步，獵狗跑 12步的時間兔子能跑 16步”，以“獵狗跑 12步的時間”為 1 單位時 間，在一個單位時

18、間，獵狗跑了21個兔步，兔子跑了 16 個兔步，也就是意味著獵狗和兔子的速度比是 21:16 。由追及問題，追及的路程是 30 米，可知馬需要跑 30（ 21-16） 21=126（米）例5某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距 100 千米，團體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車 的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，全部人員同時到達。已知步行速度為8 千米 /時，汽車速度為 40千米 /時。問使團體全部成員同時到達乙地需要多少時間？解答】 如圖，汽車帶著第一部分人從 A到 C，折回到 D接到第二部分人， 因為汽車的速度是人步行 速度的 5倍，所以汽車行過的路程（ AC+CD

19、 ）是 AD 的5倍，因此 CD=2AD 。 同理，汽車從 C到D，又從D到B所走的路應該是第一部分人走的路程的5倍，因此 CD=2BC 。所以汽車行的總路程是 AD 的 8 倍，即 AB 的 2 倍，共 200 千米。20040=5（小時） 答：團體全部成員同時到達乙地需要 5 小時。（在本題中請注意要使全部成員同時到達，第一部分人和第二部分人步行的路程相等，即AD=BC ）練習 1】甲、乙兩車分別同時從 A、B 兩地相對開出，第一次在離 A 地 95千米處相遇，相遇后都繼續(xù)行 進，各自走到對方出發(fā)點后立即返回，第二次在離 B 地 25千米處相遇求 A、B 兩地間的距離 是多少千米？解析】

20、953-25=260 （千米）答： A、B 兩地間的距離是 260千米。練習 2】甲乙兩車分別從 A、B 兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，第一次相遇時離 A 地 150 千米。兩車繼 續(xù)各自前行， 分別到達 B、A 兩地后立刻返回， 不作停留， 在離 A 地 70 千米處第二次相遇。 A 、解析】 從開始到第一次相遇，兩人共走了 1 個全程； 從開始到第二次相遇，兩人共走了 3 個全程。（1503+70） 2=260（千米）答： A、B 兩地間的距離為 260 千米。練習 3】 從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘 步行 82米，每隔 10分鐘遇上一輛

21、迎面而來的電車；乙每分鐘步行60 米，每隔 10分鐘 15秒遇上一輛迎面而來的電車。電車總站每隔 分鐘開出一輛電車。解析】 10 分 15 秒 10.25 分，設電車的為 x 米 /分，依題意得（x+82 ）10=（ x+60）10.25 0.25x=205x=820 車距：（820+82）10=9020（米） 發(fā)車間隔： 9020820=11（分鐘） 答：電車總站每隔 11 分鐘開出一輛電車。練習 4】狗跑 3步的時間馬能跑 6步。馬跑 3步的距離相當于狗跑 6步的距離，現在狗已跑出 630 米， 馬才開始追狗，馬跑（ ）米可追上狗。解析】 由“狗跑 3 步的時間馬能跑 6步。馬跑 3步的距離相當于狗跑 6步的距離”可得“狗跑 3 步 的時間馬能跑 6 步。馬跑 6步的距離相當于狗跑 12步的距離”，以“馬跑 6 步的時間”為 1 單位時間，在一個單位時間里，馬跑了 12