五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-競(jìng)賽專題：第9講-復(fù)雜行程問(wèn)題(含答案)人教版

1、知 識(shí) 概 述特殊行程類型1. 多次相遇問(wèn)題2. 獵狗追兔問(wèn)題3. 發(fā)車間隔問(wèn)題行程問(wèn)題思維靈活性大， 輻射面廣， 但根本在于路程、 間的關(guān)系，掌握這三個(gè)數(shù)量關(guān)系式，是解決行程問(wèn)題的關(guān)鍵。在解答行程問(wèn)題時(shí)， 經(jīng)常采取畫圖分析的方法，們分析、理解題意，從而解決問(wèn)題。根據(jù)題意畫出線段圖， 來(lái)幫助我例1如圖， A、B是一條道路的兩端點(diǎn)，亮亮在 A點(diǎn)，明明在 B點(diǎn)，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行。他們?cè)陔xA點(diǎn)100米的 C點(diǎn)第一次相遇。亮亮到達(dá) B點(diǎn)后返回 A點(diǎn)，明明到達(dá) A點(diǎn)后返回 B點(diǎn)，兩人在離 B點(diǎn)80米的 D點(diǎn)第二 次相遇。整個(gè)過(guò)程中，兩人各自的速度都保持不變。求A、 B間的距離?！窘馕觥?第一次相遇

2、，兩人共走了 1個(gè)全程，其中亮亮走了 100 米； 從開始到第二次相遇，兩人共走了 3 個(gè)全程，則亮亮走了 100 3=300（米），亮亮共走的路程是 一個(gè)全程多 80 米，所以 A、B 間的距離是： 300-80=220（米）例2亮亮騎著自行車，以每分鐘 400 米的速度，從 46 路汽車的始發(fā)站，沿 46 路車的線路前進(jìn)，當(dāng)他騎出1400 米時(shí)，一輛 46 路車從始發(fā)站開出，已知這輛車每分鐘行600 米，每 4 分鐘到達(dá)一站并停車 1 分鐘，那么汽車開出（ ）分鐘后能追上亮亮?！窘馕觥?以 5 分鐘為 1個(gè)周期：在這段時(shí)間內(nèi)，亮亮騎了4005=2000（米），46 路車行駛了 6004=2

3、400（米），兩者的距離減少了 2400-2000=400 （米）。兩個(gè)周期后，兩者的距離是1400-4002=600（米）， 600（600-400 ） =3（分鐘），所以，在第三個(gè)周期內(nèi)，汽車追上了亮亮，共用時(shí)52+3=13 （分鐘）。注：因?yàn)?1400400=3 200，所以這里可能犯的錯(cuò)誤是認(rèn)為汽車要在第四個(gè)周期才追上亮亮。 但是，注意到 1 個(gè)周期內(nèi)兩者的距離是先拉近后拉大， 兩者的距離最多能夠減少 （600-400）4=800 （米），所以實(shí)際上汽車在第三個(gè)周期內(nèi)就能追上亮亮了。例3A、B 兩地是電車的兩個(gè)起點(diǎn)站，每隔 12分鐘發(fā)一輛車，電車每小時(shí)行 25千米，請(qǐng)問(wèn)：如果小明從 A

4、 地坐電車到 B 地，那么他每隔多長(zhǎng)時(shí)間會(huì)看見一輛電車迎面開來(lái)？【解析】 同一方向行駛的相鄰兩輛車的間隔是（ 1260） 25=5（千米），小明和電車迎面相遇屬于 相遇問(wèn)題，從迎面遇到第 1輛電車到遇到第 2 輛電車，相遇的路程是相鄰兩輛車的間隔 300 千米，速度和是小明的速度（電車速度）和電車的速度和，相遇時(shí)間即為迎面遇到電車的間 隔時(shí)間。（1260）25（ 25+25 ） 60=6（分鐘）【鞏固拓展】1. 乙兩人分別從 A、B 兩地同時(shí)相向而行，第一次相遇離 A 地 80 千米。兩人又繼續(xù)各自向前行， 分別到 達(dá) B、A兩地后，立即返回（不停留），到第二次相遇離 A地 60千米。那么，A

5、、B兩地相距（）千米。【解析】 第一次相遇時(shí)，甲乙合走 1個(gè)全程，甲走了 80 千米； 第二次相遇時(shí)，甲乙合走 3個(gè)全程，甲走了 80 3=240（千米），第二次相遇離 A地 60千米，所 以甲乙兩地的距離為（ 80 3+60） 2=150（千米）2. A、B 兩地是電車的兩個(gè)起點(diǎn)站，每隔 12分鐘發(fā)一輛車，電車每小時(shí)行 25千米，請(qǐng)問(wèn)：如果小明從 B 地步行走向 A 地，每小時(shí)行 5 千米，那么他每隔多長(zhǎng)時(shí)間會(huì)看見一輛電車迎面開來(lái)？每隔多長(zhǎng)時(shí)間 會(huì)有一輛電車從后面超過(guò)他？【解析】 小明的速度變了，但迎面相遇的情景仍和例 3 相似，后面超過(guò)的過(guò)程屬于追及問(wèn)題，從后面面第1 輛電車超過(guò)小明到第

6、2 輛電車超過(guò)，第 2 輛電車追及的路程是相鄰兩輛車的間隔 5 千米，速度 差就是電車的速度與小明的速度差，追及時(shí)間即為電車超過(guò)小明的間隔時(shí)間。 迎面：（1260）25（ 5+25） 60=10（分鐘） 后面：（1260）25（ 25-5） 60=15（分鐘）例1甲、乙、丙三人，甲每分鐘行 80 米，乙每分鐘行 70 米，丙每分鐘行 60 米。如果甲從 A 地，乙、丙 從 B 地，三人同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲與乙先相遇，后再經(jīng)過(guò)5 分鐘甲、丙相遇。那么， A 、B 之間的距離是多少米？【解析】 甲和乙相遇后再經(jīng)過(guò) 5 分鐘甲、丙相遇，說(shuō)明甲和乙相遇時(shí)， 乙比丙多行的路程：（80+60）5=70

7、0 （米）甲與乙從出發(fā)到相遇的時(shí)間： 700（ 70-60）=70（分鐘）A、B 之間的距離：（80+70）70=10500（米）答： A、B 之間的路程是 10500米?！眷柟掏卣埂?甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲 每分鐘走 40米，乙每分鐘走 38 米，丙每分鐘走 36米。在途中，甲和乙相遇后 3分鐘和丙相遇。這個(gè)花 圃的周長(zhǎng)是多少米？【解析】 甲先與乙相遇。在甲、乙相遇這段時(shí)間里，乙、丙所行的路程差正是甲、丙在 3 分鐘內(nèi)相向而行 的路程之和： （ 40+36） 3=228（米）從出發(fā)到甲、乙相遇所用的時(shí)間為： 228（38-36

8、） =114（分） 所以，花圃的周長(zhǎng)為： （ 40+38） 114=8892（米）例2（第三屆小機(jī)靈杯邀請(qǐng)賽試題）甲、乙分別自 A、B 兩地同時(shí)相向步行， 2小時(shí)后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速度都提高了 1 千米/時(shí)。當(dāng)甲到達(dá) B地后立刻按原路向 A地返行，當(dāng)乙到達(dá) A 地后也立刻按原路向 B地返行。甲、乙二 人在第一次相遇后 3小時(shí) 36分又再次相遇。 A、B 兩地的距離是（）千米。【解析】 第一次相遇時(shí)，甲乙合走 1個(gè)全程，用時(shí) 2 小時(shí)；從第一次相遇到第二次相遇時(shí)，甲乙合走 2 個(gè)全程，用時(shí) 3 小時(shí) 36 分，即 3.6小時(shí)，說(shuō)明速度提 高后，甲乙合走 1 個(gè)全程，用時(shí) 3.6 2

9、=1.8 小時(shí)； 甲乙原來(lái)的速度和： 1.8（ 1+1）（ 2-0.8） =18 （千米 /時(shí)） A、B距離：182=36（千米 /時(shí)）例3 快、中、慢三輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿著同一條公路追趕前面的一個(gè)騎車人。已知這三輛車分別 是每小時(shí) 54千米、 22千米、 12千米，快車和中車分別用 2小時(shí)、 6小時(shí)追上了騎車人。那么慢車要用多 少時(shí)間追上騎車人？解析】 快 車從開始追到追上騎車人用了2 小時(shí)，快車 2 小時(shí)行駛的路程等于“原來(lái)最初車與人的距離 +騎車人 2 小時(shí)行駛的路程” ，中車從開始追到追上騎車人用了 6 小時(shí)，中車 6 小時(shí)行駛的路程等于“原來(lái)最初車與人的距離 + 騎車人 6

10、小時(shí)行駛的路程” ，所以騎車人 4 小時(shí)行駛的路程等于“中車 6 小時(shí)行駛的路程 -快車 2 小時(shí)行駛的路程” 。 騎車人的速度： （226 542）（6-2）=6（千米 /時(shí)）原來(lái)最初車與人的距離： 542-6 2=96（千米）96（ 12-6）=16 （小時(shí)） 答：慢車要用 16 小時(shí)追上騎車人。例4（第六屆中環(huán)杯初賽試題）某人騎自行車在路上前行，每隔 12 分鐘有一輛電車從后面超過(guò)他，每隔 4 分鐘有一輛電車迎面向他 駛來(lái)。此人與電車的速度均保持不變， 且不計(jì)電車停車的時(shí)間和上、 下車乘客所用的時(shí)間。 那么每隔 （ ） 分鐘，從起點(diǎn)站發(fā)出一輛電車。【解析】 “ 車距不變”是求解發(fā)車間隔問(wèn)

11、題的關(guān)鍵。設(shè)騎自行車的速度為 1，車速為 x ，得（x+1 ） 4=（ x-1 ） 128x=16x=2車距：（21）4=12發(fā)車間隔： 122=6（分鐘）【鞏固拓展】（第六屆小機(jī)靈杯邀請(qǐng)賽試題）小明步行，小英騎車，小英的速度是小明的 3 倍，他們同時(shí)同向沿 100 路公交車同向而行，每隔 12 分鐘有一輛 100 路公交車超過(guò)小明，每隔 24 分鐘有一輛超過(guò)小英，已知 100 路公交車每隔同樣的時(shí)間發(fā) 一輛，那么 100 路公交車間隔（ ）分鐘發(fā)一輛車。解析】 設(shè)小明的速度為 1，則小英的速度為 3，公交車速為 x ，依題意得 （x-1）12=（x-3）2412x=60 x=5車距：（5-1

12、）12=48發(fā)車間隔： 485=9.6（分鐘）例5一只獵狗追趕前方 20 米處的兔子。 已知狗一跳前進(jìn) 3 米，兔子一跳前進(jìn) 2.1 米，狗跳 3 次的時(shí)間兔子 可以跳 4 次。那么兔子跑出多遠(yuǎn)后將被獵狗追上？解析】 以狗跳 3 次的時(shí)間為一個(gè)時(shí)間單位， 在一個(gè)單位時(shí)間里， 狗跑 33=9（米），兔子跑 42.1=8.4米），所以兔子跑的距離為：20（9-8.4）8.4=280（米）。 答：兔子跑出 280 米后將被獵狗追上?！眷柟掏卣埂恳巴锰映?80步后獵狗才開始追， 野兔跑 7步的路程獵狗只需跑 3步，野兔跑 9 步的時(shí)間獵狗只能跑 5 步。問(wèn)：獵狗要跑多少步才能追上野兔？【解析】 本題要

13、注意兔子的 1步和獵狗的 1 步是不一樣的長(zhǎng)度?！耙巴门?7步的路程獵狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的時(shí)間獵狗只能跑 5 步”可以轉(zhuǎn)化為“野兔跑 35 步的路程獵狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的時(shí)間獵狗只能跑 15 步”。在獵狗跑 15 步的時(shí)間里，獵狗跑了 35 個(gè)兔步，而野兔只跑了 27個(gè)兔步， 以獵狗跑 15 步的時(shí)間為單位時(shí)間，狗追上兔需要： 80（ 35-27） =10 個(gè)單位時(shí)間，獵狗跑了 10 15=150（步） 答：獵狗要跑 150 步才能追上野兔。（第八屆中環(huán)杯初賽試題） 小明在河的東岸，小剛在河的西岸，他們分別向河對(duì)岸直線游去。兩人第一次在河中相遇時(shí)距西岸 80 米

14、，相遇后各自繼續(xù)向?qū)Π队稳?，?dāng)游抵對(duì)岸后又立即返回。他倆在河中第二次相遇時(shí)距東岸60米，相遇后再繼續(xù)往前游，到達(dá)對(duì)岸后又立即返回。當(dāng)他倆在河中第三次相遇時(shí)，距東岸（ ）米，距西岸 （ ）米。解析】 從出發(fā)到第 1次相遇，小明和小剛一共游了 1 個(gè)全程，小剛游了 80米； 從出發(fā)到第 2 次相遇， 小明和小剛一共游了 3 個(gè)全程， 小剛游了 803=240（米）；所以東西兩岸 的距離是： 240-60=180 （米）；從出發(fā)到第 3 次相遇，小明和小剛一共游了 5 個(gè)全程，小剛游了 80 5=400（米）； 400180=2 40這時(shí)候小剛距離西岸 40 米，距離東岸 180-40=140 （米

15、）例2（第十二屆中環(huán)杯初賽試題）甲、乙兩人在一條圓形跑道上同時(shí)同地同向出發(fā)，繞圓形跑道跑步。已知兩人在跑步過(guò)程中速度均保 持不變， 且甲跑得比乙快。甲第一次追上乙時(shí)，乙離開出發(fā)點(diǎn)250米。當(dāng)甲第二次追上乙時(shí)，乙離開出發(fā)點(diǎn)50米。求跑道長(zhǎng)?！窘馕觥?因 為兩人始終保持勻速，所以從出發(fā)開始，甲第二次追上乙所用的總時(shí)間是第一次追上乙所用時(shí) 間的 2 倍，兩人各自所走的路程也是第一次的2 倍。因此，甲第二次追上乙時(shí)，可以認(rèn)為乙離開出發(fā)點(diǎn) 2502=500 （米）。接下來(lái)要分類討論：如果這 500 米是不到一圈，那么跑道長(zhǎng) 500+50=550 （米）。 如果這 500 米是超過(guò)一圈，那么跑道 長(zhǎng) 50

16、0-50=450 （米）。如果這 500 米是超過(guò)兩圈，那么跑道長(zhǎng)（ 500-50 ）2=225（米）。因?yàn)榧椎谝淮巫飞弦視r(shí)，乙離 開出發(fā)點(diǎn) 250米 225米，所以舍去。所以，跑道長(zhǎng) 450 米或 550 米。例3在一條街 AB 上，甲由 A 向 B 以不變的速度步行，同時(shí)乙騎車由 B 向 A 勻速行駛，乙的速度是甲 的 3 倍，此時(shí) 1 路公共汽車由始發(fā)站 A 開出向 B 勻速行駛，過(guò)了一段時(shí)間，甲發(fā)現(xiàn)每隔10 分鐘有一輛 1路公共汽車追上他，乙發(fā)現(xiàn)每隔 5 分鐘就迎面碰到一輛 1 路公共汽車， 1 路公共汽車的發(fā)車間隔相等，那 么在始發(fā)站 1 路公共汽車發(fā)車的間隔時(shí)間是多少？【解析】 設(shè)

17、 甲的速度為 1，則乙的速度為 3，得（車速 1） 10（車速 3）5車速 5車距：（51） 10=40發(fā)車間隔： 40 5=8（分鐘） 答： 1 路公共汽車發(fā)車的間隔時(shí)間是 8分鐘。例4獵狗追趕前方 30 米處的野兔。獵狗步子大，它跑 4步的路程兔子要跑 7步，但是兔子動(dòng)作快，獵狗跑 3 步的時(shí)間兔子能跑 4 步。獵狗至少跑出（）米才能追上野兔？B 兩地間的距離為 千米。解析】 由“獵狗跑 4步的路程兔子要跑 7步，獵狗跑 3步的時(shí)間兔子能跑 4 步”得“獵狗跑 12步的路 程兔子要跑 21步，獵狗跑 12步的時(shí)間兔子能跑 16步”，以“獵狗跑 12步的時(shí)間”為 1 單位時(shí) 間，在一個(gè)單位時(shí)

18、間，獵狗跑了21個(gè)兔步，兔子跑了 16 個(gè)兔步，也就是意味著獵狗和兔子的速度比是 21:16 。由追及問(wèn)題，追及的路程是 30 米，可知馬需要跑 30（ 21-16） 21=126（米）例5某團(tuán)體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距 100 千米，團(tuán)體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車 的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，全部人員同時(shí)到達(dá)。已知步行速度為8 千米 /時(shí)，汽車速度為 40千米 /時(shí)。問(wèn)使團(tuán)體全部成員同時(shí)到達(dá)乙地需要多少時(shí)間？解答】 如圖，汽車帶著第一部分人從 A到 C，折回到 D接到第二部分人， 因?yàn)槠嚨乃俣仁侨瞬叫?速度的 5倍，所以汽車行過(guò)的路程（ AC+CD

19、 ）是 AD 的5倍，因此 CD=2AD 。 同理，汽車從 C到D，又從D到B所走的路應(yīng)該是第一部分人走的路程的5倍，因此 CD=2BC 。所以汽車行的總路程是 AD 的 8 倍，即 AB 的 2 倍，共 200 千米。20040=5（小時(shí)） 答：團(tuán)體全部成員同時(shí)到達(dá)乙地需要 5 小時(shí)。（在本題中請(qǐng)注意要使全部成員同時(shí)到達(dá)，第一部分人和第二部分人步行的路程相等，即AD=BC ）練習(xí) 1】甲、乙兩車分別同時(shí)從 A、B 兩地相對(duì)開出，第一次在離 A 地 95千米處相遇，相遇后都繼續(xù)行 進(jìn)，各自走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，第二次在離 B 地 25千米處相遇求 A、B 兩地間的距離 是多少千米？解析】

20、953-25=260 （千米）答： A、B 兩地間的距離是 260千米。練習(xí) 2】甲乙兩車分別從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)，勻速相向而行，第一次相遇時(shí)離 A 地 150 千米。兩車?yán)^ 續(xù)各自前行， 分別到達(dá) B、A 兩地后立刻返回， 不作停留， 在離 A 地 70 千米處第二次相遇。 A 、解析】 從開始到第一次相遇，兩人共走了 1 個(gè)全程； 從開始到第二次相遇，兩人共走了 3 個(gè)全程。（1503+70） 2=260（千米）答： A、B 兩地間的距離為 260 千米。練習(xí) 3】 從電車總站每隔一定時(shí)間開出一輛電車。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘 步行 82米，每隔 10分鐘遇上一輛

21、迎面而來(lái)的電車；乙每分鐘步行60 米，每隔 10分鐘 15秒遇上一輛迎面而來(lái)的電車。電車總站每隔 分鐘開出一輛電車。解析】 10 分 15 秒 10.25 分，設(shè)電車的為 x 米 /分，依題意得（x+82 ）10=（ x+60）10.25 0.25x=205x=820 車距：（820+82）10=9020（米） 發(fā)車間隔： 9020820=11（分鐘） 答：電車總站每隔 11 分鐘開出一輛電車。練習(xí) 4】狗跑 3步的時(shí)間馬能跑 6步。馬跑 3步的距離相當(dāng)于狗跑 6步的距離，現(xiàn)在狗已跑出 630 米， 馬才開始追狗，馬跑（ ）米可追上狗。解析】 由“狗跑 3 步的時(shí)間馬能跑 6步。馬跑 3步的距離相當(dāng)于狗跑 6步的距離”可得“狗跑 3 步 的時(shí)間馬能跑 6 步。馬跑 6步的距離相當(dāng)于狗跑 12步的距離”，以“馬跑 6 步的時(shí)間”為 1 單位時(shí)間，在一個(gè)單位時(shí)間里，馬跑了 12