現(xiàn)代控制理論第7章最優(yōu)控制

1、第7章 最優(yōu)控制 7.1 基本概念 7.2 變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用 7.3 極小值原理 7.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 7.5 線性二次型最優(yōu)控制 7.6 實(shí)用最優(yōu)控制系統(tǒng) 本章小結(jié) 概述最優(yōu)控制作為現(xiàn)代控制理論的重要組成部分，所要解決的主要問(wèn)題是如何在給定條件下，確定一種合理的控制規(guī)律，使被控對(duì)象在預(yù)先規(guī)定意義上的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。 早在20世紀(jì)50年代初期，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和空間技術(shù)的迫切需求，推動(dòng)人們研究更為復(fù)雜的控制系統(tǒng)，并建立了以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制理論。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制問(wèn)題的本質(zhì)是求解泛函極值問(wèn)題，屬于變分學(xué)的理論范疇。 經(jīng)典的變分理論只能解決容許的控制律屬于開(kāi)集的一類最

2、優(yōu)控制問(wèn)題。在開(kāi)辟求解最優(yōu)控制問(wèn)題新途徑的工作中，原蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金（）的“最小值原理”和美國(guó)學(xué)者貝爾曼（R. E. Bellman）的“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”占有重要地位，成為解決最優(yōu)控制中控制律有閉集約束問(wèn)題的有效工具。 根據(jù)控制變量的取值范圍有無(wú)限制，可將最優(yōu)控制問(wèn)題分為無(wú)約束最優(yōu)控制和有約束最優(yōu)控制。本章主要介紹求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題的變分法和有約束最優(yōu)控制問(wèn)題的最小值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、線性二次型最優(yōu)控制和應(yīng)用MATLAB求解最優(yōu)控制問(wèn)題等內(nèi)容。7.1基本概念7.1.1宇宙飛船登月軟著陸的實(shí)例實(shí)例1：宇宙飛船若實(shí)現(xiàn)在月球表面實(shí)現(xiàn)軟著陸，即登月艙到達(dá)月球表面時(shí)的速度為零，要尋求登月艙發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最優(yōu)

3、變化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察任務(wù)后，登月艙有足夠燃料離開(kāi)月球與母艙會(huì)合，從而返回地球。 飛船登月艙質(zhì)量高度垂直速度發(fā)動(dòng)機(jī)推力月球重力加速度為常數(shù)飛船登月艙不含燃料時(shí)的質(zhì)量登月艙所載燃料質(zhì)量登月艙登月時(shí)的初始高度初始垂直速度登月艙的運(yùn)動(dòng)方程 初始條件為式中k為常數(shù)。末端條件式中， 為登月艙發(fā)動(dòng)機(jī)工作的末端時(shí)刻。 控制約束條件為式中， 為登月艙發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力。 性能指標(biāo)取為表征燃料能耗量的登月艙著陸時(shí)的質(zhì)量，即 7.1.2 最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述 從上述實(shí)例可以看出，最優(yōu)控制理論通常是將控制問(wèn)題嚴(yán)格地抽象為數(shù)學(xué)模型后再求解的。 最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，應(yīng)包括以下四個(gè)方面的內(nèi)容： （1）受

4、控動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即受控系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的系統(tǒng)狀態(tài)方程，它反映了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所應(yīng)遵循的客觀規(guī)律，是描述被控系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間關(guān)系的一組等式。 （2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)（末態(tài)）即狀態(tài)方程的邊界條件。一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，歸根到底是狀態(tài)空間從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)。 （3）目標(biāo)函數(shù)（又稱性能指標(biāo)或性能泛函或目標(biāo)泛函等）。目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)衡量“控制作用”效果的性能指標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)過(guò)程中狀態(tài)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，可以通過(guò)不同的控制來(lái)完成，而各種控制效果的好壞，可通過(guò)能否達(dá)到所規(guī)定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)判別。對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，其內(nèi)容與形式主要取決于具體最優(yōu)化問(wèn)題所要解決的主要矛盾。 （4）容許控制的集合

5、。每一個(gè)實(shí)際的控制問(wèn)題，控制向量u(t)都有一個(gè)規(guī)定的取值范圍，這個(gè)取值范圍對(duì)應(yīng)于m維控制空間Rm中的一個(gè)集合，而u(t)的每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)于集合中的一個(gè)元素。凡屬于集合的控制稱為容許控制。如果容許控制受到限制，如 ，則稱容許控制屬于某一閉集；如果容許控制向量u(t)的取值不受限制，則容許控制屬于某一開(kāi)集。容許控制屬于閉集和開(kāi)集的兩類問(wèn)題，在處理方法上有較大差別。 最優(yōu)控制問(wèn)題的一般提法為：已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初始狀態(tài)，規(guī)定一個(gè)目標(biāo)集，求一容許控制，使得被控系統(tǒng)在初始時(shí)刻由初始狀態(tài)出發(fā)，在終止時(shí)刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集，并使性能指標(biāo)滿足要求。7.2變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用變分法是求解泛函極值的一

6、種經(jīng)典方法，可以確定容許控制為開(kāi)集的最優(yōu)控制函數(shù)，也是研究最優(yōu)控制問(wèn)題的一種重要工具。 本節(jié)在簡(jiǎn)要地介紹泛函及變分學(xué)的概念和原理的基礎(chǔ)上，著重闡述無(wú)約束條件的最優(yōu)控制變分求解和有等式約束條件的最優(yōu)控制變分求解方法。 7.2.1 泛函與變分法的基本概念 泛函可以理解為“函數(shù)的函數(shù)”，其值由函數(shù)的選取而定，這一點(diǎn)與“復(fù)合函數(shù)”的概念有本質(zhì)差異。 求證7.2.2 泛函極值7.2.2 泛函極值證明“歐拉方程”或“歐拉拉格朗日方程” 橫截條件7.2.2 泛函極值7.2.3 橫截條件7.2.3 橫截條件7.2.3 橫截條件解即7.2.4 條件極值屬于二點(diǎn)邊界值問(wèn)題，只有在特殊的情況下才能求出它的解析解。一般情況下，只能使用計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。 7.3極小值原理向量差分方程，常稱為離散歐拉方程 離散橫截條件 7.4動(dòng)態(tài)規(guī)劃7.5線性二次型最優(yōu)控制7.6實(shí)用最優(yōu)控制系統(tǒng)7.6.3二級(jí)倒立擺控制 每一級(jí)擺桿都是剛體； 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中同步帶長(zhǎng)度保持不變； 驅(qū)動(dòng)力與放大器輸入成正比，沒(méi)有延遲直接施加于小車； 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的庫(kù)侖摩擦、動(dòng)摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過(guò)程中可忽略不計(jì)。針對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的平衡控制問(wèn)題，首先對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模；并設(shè)計(jì)了兩種控制方法：線性二次狀態(tài)控制器和線性二次輸出控制器；最后根據(jù)所得控制策略進(jìn)行了仿真，對(duì)所獲得的控制結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比研究，不僅從理論上分析了兩種方法