高觀點(diǎn)下的幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問題分析及解答

1、-. z高觀點(diǎn)下的幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問題分析與總結(jié)文章 麗英教授文章摘要:初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的，假設(shè)站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡(jiǎn)單了。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)，著重用例子把初等數(shù)學(xué)問題用高等數(shù)學(xué)解法來(lái)解答，從中找到兩者的聯(lián)系。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的，假設(shè)站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡(jiǎn)單了。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)，著重用例子把初等數(shù)學(xué)問題用高等數(shù)學(xué)解法來(lái)解答，從中找到兩者的聯(lián)系。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的，假設(shè)站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡(jiǎn)單了。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)

2、，著重用例子把初等數(shù)學(xué)問題用高等數(shù)學(xué)解法來(lái)解答，從中找到兩者的聯(lián)系。本文關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)；分解因式；數(shù)列；不等式一前言高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、研究方法有本質(zhì)上的不同，但兩者之間存在著嚴(yán)密的聯(lián)系,高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)(參見文獻(xiàn)1)，是從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和角度來(lái)審視，理解初等數(shù)學(xué)問題，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的理論理解及解題思路都有很大的指導(dǎo)作用。1.1 從高觀點(diǎn)的角度看初等數(shù)學(xué)問題的必要性在中學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，對(duì)有些概念和方法沒有加以解釋與說明就直接應(yīng)用，雖然使用時(shí)能解決問題，但要深入地理解是不可能的。如果只局限于用初等數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看初等數(shù)學(xué)問題，很多問題是無(wú)法看清的. 正如德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因曾經(jīng)告誡

3、我們的一樣，只有在完全不是初等數(shù)學(xué)的理論體系中，才能深刻地理解初等數(shù)學(xué)。例如，形如(a,b都是實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。這是中學(xué)學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)對(duì)這里的+很疑惑。與是兩個(gè)不同單位的元素，怎么可以相加？因此，這里的+只能看作是將與連結(jié)成一個(gè)整體的符號(hào)。則，能不能把這個(gè)符號(hào)理解為普通的加法符號(hào)呢？?jī)H用初等數(shù)學(xué)眼光來(lái)看都是模糊的。這是初等數(shù)學(xué)的局限性。1.2 用高等數(shù)學(xué)思想思想剖析初等數(shù)學(xué)問題更明了另一方面，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的根底，許多初等數(shù)學(xué)的容都是高等數(shù)學(xué)中的模型。如初等代數(shù)中的代數(shù)式、方程、數(shù)系、函數(shù)等，都是數(shù)學(xué)模型，在高等數(shù)學(xué)中進(jìn)一步抽象為集合與映射空間、群等現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)的本質(zhì), 數(shù)學(xué)的作

4、用，也就是抽象與概括。從大量不同的對(duì)象之間，找出其一樣之處，從而得到它們之間的邏輯聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系，組成一個(gè)統(tǒng)一的構(gòu)造體。高等數(shù)學(xué)正是在初等數(shù)學(xué)的根底上開展起來(lái)的。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間有著必然的聯(lián)系，許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解答的問題在高等數(shù)學(xué)中得以解決。例如，前面提到的形如(a,b都是實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。這是中學(xué)學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)對(duì)這里的+很疑惑，與是兩個(gè)不同單位的元素，怎么可以相加？因此，這里的+只能看作是將與連結(jié)成一個(gè)整體的符號(hào)。則，能不能把這個(gè)符號(hào)理解為普通的加法符號(hào)呢？為此，在大學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)近代數(shù)中復(fù)數(shù)的構(gòu)造性理論后才能作出正確圓滿的解答。C是復(fù)數(shù)集，+，分別是復(fù)數(shù)的加法與乘法，則C；+，是一個(gè)域

5、，叫復(fù)數(shù)域。對(duì)應(yīng)關(guān)系：之下可證集合與實(shí)數(shù)同構(gòu)，故可把看成實(shí)數(shù),即=，從而復(fù)數(shù)域的一個(gè)擴(kuò)域。由復(fù)數(shù)乘法的定義得0，10，1=1，0=。因此復(fù)數(shù)0，1和的性質(zhì)一樣。它是是的一個(gè)根，令，為虛數(shù)單位。因?yàn)椋?，1，0=0，所以，0，=.故任一復(fù)數(shù)，就可以寫成，=，0+0，=+.于是可知中的+不僅是形式上的符號(hào)，它與算術(shù)運(yùn)算中的+完全一致。二 高等數(shù)學(xué)許多方法和技巧用于解初等數(shù)學(xué)題并使問題得以深化和拓廣因此有必要說明高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系, 突出高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法為工具，從不同的角度去研究初等數(shù)學(xué)的問題。這些問題可以是與中學(xué)教學(xué)容密切相關(guān)但又未能完全解決，而應(yīng)

6、用所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決的理論、方法問題，也可以是初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)解決，而運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從另一更高的角度重新認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中重要的概念、理論實(shí)質(zhì)及其背景, 還可以借助于高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)中一些或一類問題盡管這些問題可以用初等的方法來(lái)解決等等?？傊畱?yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法、思想、工具使學(xué)生對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的在聯(lián)系，有了更深刻的認(rèn)識(shí)。以下著重用例子在高觀點(diǎn)下分析幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問題。2.1因式分解問題因式分解是一種重要的恒等變形，它的方法很多，技巧性很強(qiáng)，不易掌握，如用高觀點(diǎn)來(lái)解決這類問題則可到達(dá)化難為易的效果。例1把分解因式。用初等數(shù)學(xué)方法，需要對(duì)上式拆項(xiàng)。即：

7、顯然上式分解有一定難度，介利用微分法有助于找重因式;先對(duì)求導(dǎo)得，因此可知原式必有三重因式即：。除了利用微分法可以幫助分解因式，還可以利用行列式的方法。引理1一元多項(xiàng)式設(shè)是數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式則=證明參見文獻(xiàn)7。引理2利用三階行列式的平行線法，可很快算出循環(huán)行列式的值；設(shè)A=，則證明參見文獻(xiàn)4。例2分解多項(xiàng)式 。用初等數(shù)學(xué)方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法會(huì)較易求得。解：由引理1可得，原式= = = =行列式的計(jì)算原理參見文獻(xiàn)9例3因式分解 。解：由引理2知,則由上兩例可知,利用行列式也可使*些因式分解問題簡(jiǎn)化。2.2數(shù)列問題引理3 如果行列式中有兩兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素

8、成比例,則此行列式等于零.證明(參見文獻(xiàn)4)由引理3，可知假設(shè)不相等的三數(shù)成等差數(shù)列，且則也成等差數(shù)列。推論1，設(shè)分別是一等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)的充要條件是。證：充分性，由 ， 知 三點(diǎn)共線，不妨設(shè)該直線的方程為了，得三數(shù)所在數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可知是以為通項(xiàng)的等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)。必要性，分別是一等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，設(shè)它們所在的數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，所以，例4等差數(shù)列的第項(xiàng)為，第項(xiàng)為0， 求。解：設(shè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為，由推論1得得 即推論2，假設(shè)分別為一公差0的等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，則分別是另一等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)的充要條件是證明參見文獻(xiàn)7。例5:*一三角形三邊成等差

9、數(shù)列，三邊長(zhǎng)倒數(shù)，也成等差數(shù)列，問此三角形的形狀。解，成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列從而得或或，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列故，所以此三角形為等邊三角形。2.3一元函數(shù)微積分學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是一元微分學(xué)的根底，可以說微分學(xué)的所有問題都與導(dǎo)數(shù)分不開；微分是函數(shù)在*點(diǎn)處切線上對(duì)應(yīng)于橫坐標(biāo)增量之間的縱坐標(biāo)增量，正是微積分中以直代曲的根本依據(jù)；中值定理是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的有利工具, 這些對(duì)于研究初等數(shù)學(xué)的函數(shù)、平面曲線等問題提供了幫助。2.3.1 利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，求初等數(shù)學(xué)問題利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，容易求出曲線上點(diǎn)的切線和法線方程及兩平面曲線的交角等初等數(shù)學(xué)問題。例6求圓與拋物線的交角。分析：所謂

10、兩曲線的交角, 指的是它們?cè)诮稽c(diǎn)處的切線的夾角。故需先求出兩曲線的交點(diǎn), 然后求出該點(diǎn)處的兩條切線, 再求直線夾角即可。易求出圓 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)(2,2)與(2,-2), 由于圖形關(guān)于*軸對(duì)稱，故在兩個(gè)交點(diǎn)處的交角相等。不妨只求在交點(diǎn) (2,2)的交角。由圖知:上半圓方程: 故從而上半拋物線方程:故 從而故得從而從此例可以看出, 對(duì)于一些初等解法比擬復(fù)雜的問題, 用高等數(shù)學(xué)解法要相對(duì)簡(jiǎn)便。2.3.2不等式的的問題利用中值定理解中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式例7 證明:當(dāng) 時(shí), 不等式在時(shí)成立。分析:設(shè)則當(dāng) 時(shí), 對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理, 有, 當(dāng) 時(shí), 故 從而得證。此例假設(shè)考慮中學(xué)解法, 需

11、將 展開, 經(jīng)過討論, 再適當(dāng)放大和縮小后得出結(jié)果。例8證明:當(dāng)時(shí),。此題可用中值定理證,也可用的單調(diào)性來(lái)證.證明:設(shè)則在上連續(xù),在上可導(dǎo),由拉格朗日定理知在至少存在一點(diǎn),使得,即從例7,8 可以看出, 利用中值定理來(lái)證明不等式, 較初等解法要相對(duì)簡(jiǎn)單, 同時(shí)可以得到一些常用的公式。2.3.3近似計(jì)算問題 伴隨著無(wú)理式, 超越式及其函數(shù)的出現(xiàn), 初等函數(shù)值的近似計(jì)算 (估計(jì))也是中學(xué)數(shù)學(xué)不可防止的問題,這些問題的解決都可以通過微分的原理和方法得以簡(jiǎn)化。例11計(jì)算的近似值。分析：因?yàn)樗? 利用泰勒展式: 參見文獻(xiàn)5再利用交織級(jí)數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)法, 確定項(xiàng)數(shù)后,可以求出其誤差不超過的近似值為1.99

12、52623。 例12求的近似值。 分析：最簡(jiǎn)單的方法是利用微分近似公式：(很小)。令則取，得即為近似值。三總結(jié)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的在聯(lián)系3.1容的互補(bǔ)性高等數(shù)學(xué)中的一些概念是初等數(shù)學(xué)中一些量的抽象，初等數(shù)學(xué)的容是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的實(shí)例。它們的關(guān)系是：個(gè)別和一般，有限和無(wú)限初等數(shù)學(xué)的級(jí)數(shù)求和就是高等數(shù)學(xué)中的求極限、靜止和運(yùn)動(dòng)初等數(shù)學(xué)的等量代換就是高等數(shù)學(xué)的代數(shù)思想、推算和預(yù)測(cè) ，初等數(shù)學(xué)中用列表或作圖法解決：現(xiàn)在的值求原來(lái)的值，就是高等數(shù)學(xué)中的列表或作圖統(tǒng)計(jì)。3.2思維形式的相通性如果在初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中注意二者的在性，準(zhǔn)確地把握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的涵和外延，融會(huì)貫穿，并且積極開展學(xué)生的思維，將

13、會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)水平的提高起到一定的作用。因此，我們站在高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)理解初等數(shù)學(xué)，便會(huì)感到初等數(shù)學(xué)的博大和精深；如果在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中能科學(xué)地認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在容上的互補(bǔ)性，能有意識(shí)地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在思維形式上的相通性，準(zhǔn)確地把握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的涵和外延，融會(huì)貫穿，并且積極開展學(xué)生的思維，將會(huì)對(duì)初等數(shù)學(xué)教學(xué)水平的提高起到一定的推動(dòng)作用。總之, 要把高等數(shù)學(xué)的思想全面滲透入初等數(shù)學(xué), 就要在高等數(shù)學(xué)概念理論的通俗化, 與初等數(shù)學(xué)概念理論的抽象化上, 尋找結(jié)合點(diǎn),從而在高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)下, 繼續(xù)深入和全面研究高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中更普遍更深入的應(yīng)用。文章參考文獻(xiàn)1舒湘芹等譯，高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)M：復(fù)旦大學(xué),2008.2余元希等，初等代數(shù)研究(上冊(cè))M：高等教育，1988107-135.3士安等，近世代數(shù)M：科學(xué)，2004197-206.4樂茂華，高等代數(shù)M.:大學(xué),200