新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)43 橢圓（教師版含解析）

1、28/28考點(diǎn)43 橢圓知識(shí)理解一橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn). 二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (ab0)eq f(y2,a2)eq f(x

2、2,b2)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距F1F22c離心率eeq f(c,a)(0,1)a，b，c的關(guān)系a2b2c2直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元方程例：由eq blcrc (avs4alco1(AxByC

3、0，,Fx，y0)消去y，得ax2bxc0.當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則：0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C相離五弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見形式有如下幾種：|AB|eq r(1k2)|x1x2|=eq r(1k2x1x224x1x2)；|AB| eq r(1f(1,k2)|y1y2|(k0)= eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)y1y224y1y2

4、).考向分析考向一 橢圓的定義及應(yīng)用【例1-1】(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號(hào)都填上)已知定點(diǎn)，則滿足|PF1|PF2|的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；已知定點(diǎn)F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點(diǎn)P的軌跡為線段；到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓.【答案】【解析】中，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡不存在；中，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡是線段；中，由定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，即.故答案為：【例1-2】(2021上海市奉賢中學(xué))若過橢圓上焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A，B，為橢圓下焦點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)為_.【答案】16【解析】在橢圓中， 由橢圓

5、的定義得所以即故答案為：16【例1-3】(2021安徽六安市六安一中高三月考(理)已如是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的面積等于( )A24B26CD【答案】A【解析】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，由橢圓定義可得，又，則可解得，滿足，則，.故選：A.【舉一反三】1(2021廣西桂林市)設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓的兩焦點(diǎn)距離之和為_.【答案】8【解析】由，得，由橢圓的定義可得到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.故答案為：2(2021浙江高三其他模擬)已知橢圓上一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離為1，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為( )A3BC1D【答案】B【解析】易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，設(shè)橢圓的右

6、焦點(diǎn)為，連接，則由橢圓的定義得在中，易知為的中位線，所以，故選：B3(2020黑龍江哈爾濱市哈九中)已知是橢圓上的任意一點(diǎn)，若，則_.【答案】4【解析】由橢圓的方程知：，由橢圓的定義知：，所以故答案為：4(2021陜西安康市)已知點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_.【答案】2【解析】由橢圓，可得，設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)镻為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，故答案為：2.5(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知是橢圓上的一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是_.【答案】【解析】在橢圓中，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案為：.考向二 橢圓的標(biāo)

7、準(zhǔn)方程【例2-1】(2021全國(guó)單元測(cè)試)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，3)和(0，3)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0，4)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )ABCD【答案】B【解析】橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為a4，又c3，b2a2c21697，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【例2-2】(2021黑龍江大慶市)已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )ABCD【答案】D【解析】依題意程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓列不等式，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【舉一反三】1(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)，Q(0，2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )ABCD【答案】A【解析】依題意

8、可知且橢圓焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.故選：A2(2020黑龍江哈爾濱市哈九中)若方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )A(0，)B(0，2)C(1，)D(0，1)【答案】D【解析】因?yàn)榉匠?，?表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以 ，即 ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D3(2021湖南岳陽市岳陽一中)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么( )ABCD【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓上的一個(gè)焦點(diǎn)為，在軸上，所以，所以則.故選：B4(2021浙江麗水市)“”是“曲線表示橢圓”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)榍€為橢圓，所以，解得且，所

9、以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B考向三 直線與橢圓的位置關(guān)系【例3】(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知橢圓與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 _ .【答案】【解析】由，得因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得故答案為：【舉一反三】1.若直線ykx1與橢圓eq f(x2,5)eq f(y2,m)1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_【答案】1,5)(5，)【解析】方法一由于直線ykx1恒過點(diǎn)(0,1)，所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則00且m5，m1且m5.2直線ykxk1與橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的位置關(guān)系是_【答案】相交【解析】由于直線ykxk1k(x1)1過定點(diǎn)

10、(1，1)，而(1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交3(2021安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，.(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn)，求m的取值范圍.【解析】(1)由已知得，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由，解方程組并整理得，有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 解不等式得考向四 弦長(zhǎng)【例4】(2020上海市進(jìn)才中學(xué)高二月考)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為_【答案】【解析】設(shè)直線與橢圓相交的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓的左焦點(diǎn)為所以直線的方程為則所以所以該直線別橢圓所截的弦長(zhǎng)為故答案為：【舉一反三】1(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))求過點(diǎn)(3，0)且斜率為的直

11、線被橢圓所截得的線段的長(zhǎng)度【答案】【解析】過點(diǎn)(3，0)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得，即x23x80.x1x23，x1x28.2(2021安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，.(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn)，若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，則又因?yàn)椋?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由消除得因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以得的取值范圍為 由韋達(dá)定理得： ，所以解得考向五 離心率【例5】(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三

12、角形，則該橢圓的離心率為( )ABCD 【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn)依題意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，即橢圓的離心率.故選：A【舉一反三】1(2021全國(guó)高三月考(文)已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若為等腰三角形，則該橢圓的離心率為( )ABC或D或【答案】D【解析】由為等腰三角形知：當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時(shí)；當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時(shí)；故選：D.2(2021浙江高三其他模擬)已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓

13、的離心率是( )ABCD【答案】D【解析】根據(jù)以及，得，于是，所以，又，所以在中，由余弦定理，得，即，所以，因?yàn)?，所以橢圓的離心率故選D3(2021江蘇啟東市)已知橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則該橢圓的離心率是( )ABCD【答案】A【解析】由題意可知：，即，所以所以離心率.故選：A強(qiáng)化練習(xí)1(2021江西高三其他模擬(文)如圖，是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)且，則( )A2BC3D4【答案】A【解析】由可得： 因?yàn)?，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則是的中點(diǎn)，所以，由橢圓的定義可知：，所以，故選：A.2(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知橢圓的左焦點(diǎn)是F1，右焦點(diǎn)是F2，

14、點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|PF2|( )A35B34C53D43【答案】C【解析】由1可知，所以，所以F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以軸，可設(shè)P(2，y)，把P(2，y)代入橢圓，得.|PF1|，|PF2|.故選：C3(2021上海市莘莊中學(xué))平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)命題甲：是定值，命題乙：點(diǎn)的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和 ，且為常數(shù))成立是定

15、值若動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和 ，且為常數(shù))，當(dāng)，此時(shí)的軌跡不是橢圓甲是乙的必要不充分條件故選：4(2021重慶)已知橢圓在第一象限上的一點(diǎn)與橢圓的左、右焦點(diǎn)、恰好構(gòu)成頂角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為( )ABCD【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，所以，為銳角，因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切?，但，故，所以，由余弦定理可得，由橢圓定理可得，故.故選：A.5(2021江蘇南通市)設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是( )ABCD【答案】C【解析】由題意可知，若焦點(diǎn)在軸上，則，橢圓上存在點(diǎn)滿足，如圖所示，則，即，所以，即，得；若焦點(diǎn)在軸上，則，則，即，所以，即，得；所以

16、的取值范圍是.故選：C.6(2021江西高三其他模擬(文)若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為( )A9B6C4D1【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，所以，解得.故選：C7(2021福建龍巖市)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則這個(gè)橢圓的方程是( )ABCD【答案】C【解析】解：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓方程為故選：8(2021江西贛州市)已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則( )ABCD【答案】C【解析】因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，故焦點(diǎn)在軸上且，故，故選：C.9(2021廣西百色市)“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓”的( )A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意，方

17、程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則滿足，解得；又由當(dāng)則必有，但若則不一定有成立，所以“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要非充分條件故選：B10(2021河南鄭州市)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且滿足，則的面積為( )ABCD【答案】D【解析】在橢圓中，則，所以，設(shè)點(diǎn)，則，可得，解得，因此，的面積為.故選：D.11(2021全國(guó)高三專題練習(xí))已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )ABCD【答案】A【解析】由得：，點(diǎn)在以為直徑端點(diǎn)的圓上，由此可得該圓的半徑，即，.故選：A.12(2020江蘇)若橢圓+=1(ab0)的焦距為2，且其離

18、心率為，則橢圓的方程為( )ABCD【答案】B【解析】由題意可知：，即，由橢圓的離心率，解得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：故選：B13(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是( )A BCD【答案】C【解析】依題意知，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且，因此橢圓的方程是.故選：C14(多選)(2021山東濱州市高三一模)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是( )AB直線與直線的斜率之積為C存在點(diǎn)滿足D若的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意，短軸一個(gè)頂點(diǎn)，A錯(cuò)；設(shè)，則，所以，B正確；因?yàn)?/p>

19、，所以，從而，而是橢圓上任一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)最大，因此不存在點(diǎn)滿足，C錯(cuò)；，則，D正確故選：BD15(多選)(2020武岡市第二中學(xué))已知點(diǎn)在直線上，則圓錐曲線的離心率為( )ABCD【答案】AC【解析】在直線上，所以,即,解得或,當(dāng)時(shí)，圓錐曲線,為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率,當(dāng)時(shí)，圓錐曲線,為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，,故選:AC.16(多選)(2021山東聊城市)已知五個(gè)數(shù)1，16成等比數(shù)列，則曲線的離心率可以是( )ABCD【答案】AC【解析】由題意，曲線方程為或，方程為時(shí)，離心率為，方程為，離心率為故選：AC17(2021陜西西安市高三月考(理)已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別

20、為、，過且傾斜角為的直線與過的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且則橢圓的離心率_【答案】【解析】如下圖所示：由已知條件可知，在中，則，由橢圓的定義可得，即，.故答案為：.18(2021安徽蕪湖市)已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，則_.【答案】【解析】由橢圓定義可得|PF1|PF2|4，利用余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以，解得3|PF1|PF2|4，即，故答案為：19(2021上海市西南位育中學(xué))已知為橢圓上的點(diǎn)，、，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則_【答案】【解析】由橢圓，可得、由條件可得由余弦定理可得 所以，即所以故答案為：20(20

21、21江蘇南通市)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_.【答案】1【解析】由已知得，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即.故答案為：1.21(2021廣西百色市)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足，則該橢圓的離心率等于_【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，在直角三角形中，令，則由橢圓定義得橢圓的離心率 故答案為：22(2021內(nèi)蒙古赤峰市高三期末(理)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且，則的面積為_【答案】【解析】由已知得，所以，由橢圓定義得，由余弦定理得，即，則的面積為.故答案為：.23(2021廣東梅

22、州市)已知過點(diǎn)的橢圓C的焦點(diǎn)分別為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.【答案】【解析】由題意，所以,所以橢圓方程為故答案為：24(2021安徽省臨泉第一中學(xué))橢圓的離心率等于_.【答案】【解析】由題意，所以，離心率為故答案為：25(2021湖南常德市一中高三月考)寫一個(gè)離心率是橢圓的離心率4倍且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：_.【答案】(答案不唯一)【解析】有橢圓方程可知，則，所以橢圓的離心率，則雙曲線的離心率，則雙曲線中，即，得，令，則，所以滿足條件的一個(gè)雙曲線方程是.故答案為：(答案不唯一)26(2020全國(guó)高三專題練習(xí))過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則直線的斜率為_【答案】【解析】根據(jù)題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑，過點(diǎn)的直線被圓截得