汽車空調(diào)構(gòu)造與維修-(9)課件

1、本章的教學(xué)要求：1.了解數(shù)控加工機床的加工方法以及數(shù)控加工的特點。2.了解對數(shù)控加工對象進行數(shù)值處理的方法。3.了解確定機床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系的有關(guān)規(guī)定。4.了解基點、節(jié)點、參數(shù)點的概念和一般建立方法。5.了解數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法。第一章 數(shù)控應(yīng)用數(shù)學(xué)概述本章主要的教學(xué)內(nèi)容：1.數(shù)控加工機床的加工方法。2.數(shù)控加工的特點。3.對數(shù)控加工對象進行數(shù)值處理的方法。4.機床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系的概念和規(guī)定。5.基點、節(jié)點、參數(shù)點的概念和一般建立方法。6.數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法。一、普通加工機床與數(shù)控加工機床 1機床的定義：機床（machine tool）是對金

2、屬或其他材料的坯料或工件進行加工，使之獲得所要求的幾何形狀、尺寸精度和表面質(zhì)量的機器。狹義的機床僅指使用最廣、數(shù)量最多的金屬切削機床。 2普通加工機床的定義：普通加工機床或傳統(tǒng)加工機床是指動作主要由手工操作完成的機床。第一節(jié) 數(shù)控加工機床及其加工方法圖1-13數(shù)控加工機床的定義：數(shù)控加工機床是裝備了數(shù)控系統(tǒng)的機床。機床的動作加工過程所需的各種操作和步驟，以及刀具與工件之間的相對位移量都由數(shù)字化的代碼來表示，經(jīng)過計算機處理，以指令發(fā)給機床的執(zhí)行元件，使機床自動加工出所需的零件。 1普通數(shù)控機床 最普通的數(shù)控機床有車床、銑床、鉆床、鏜床、磨床和齒輪加工機床等。2數(shù)控加工中心 這類機床是在一般數(shù)控機

3、床上加裝一個刀具庫和自動換刀裝置。這類機床打破了一臺機床只能進行單工種加工的傳統(tǒng)概念，可在實行一次定位后完成多個工序的加工。二、數(shù)控加工機床的種類3特種數(shù)控加工機床 用非金屬切削的特殊手段進行加工的數(shù)控機床，如數(shù)控電火花、數(shù)控線切割機床、數(shù)控激光加工機床等。1數(shù)控車削加工 2數(shù)控銑削加工 三、數(shù)控機床加工方法圖1-2所示為數(shù)控車床，圖1-3所示為數(shù)控車床加工過程及零件成品。圖1-2圖1-3圖1-4圖1-4所示為 XK7130型數(shù)控銑床，圖1-5所示為數(shù)控銑削加工過程及加工刀具。圖1-5一、數(shù)控加工的特點1自動化程度高 2加工精度高，加工質(zhì)量穩(wěn)定 3對加工對象的適應(yīng)性極高 4生產(chǎn)效率高 5易于建

4、立計算機通信網(wǎng)絡(luò) 第二節(jié) 數(shù)控加工的特點及展望圖1-6二、制造業(yè)的發(fā)展方向及展望 機械制造業(yè)自動化正在經(jīng)歷著：CNC(計算機數(shù)控化)FMS(柔性制造系統(tǒng))CIMS(計算機集成制造系統(tǒng))“三部曲”。它使機械制造業(yè)自動化不斷趨向深化，即朝著設(shè)計、制造、管理全自動化的高層次方向發(fā)展。一、數(shù)控機床加工工件過程 數(shù)控加工的對象就是工作圖所指定的零件，工作圖提供了零件的幾何信息、技術(shù)要求等信息，但是這些信息還遠遠不夠，也不能直接為數(shù)控機床接受，除了圖樣提供的信息外還要補充工藝信息、輔助信息并進行加工處理，即數(shù)學(xué)處理和工藝處理，使之變換成數(shù)控機床能夠接受的加工指令（或程序），才能將零件毛坯生產(chǎn)加工成符合零件

5、圖要求的成品零件。其完整過程如圖15所示。第三節(jié) 對數(shù)控加工對象的數(shù)學(xué)處理圖17 數(shù)控加工過程二、數(shù)學(xué)處理內(nèi)容 數(shù)學(xué)處理內(nèi)容包括數(shù)值換算、坐標(biāo)計算和輔助計算等三個方面。數(shù)值換算是準(zhǔn)備，坐標(biāo)計算是核心，輔助計算是完善，其內(nèi)容如圖18所示。數(shù)學(xué)處理內(nèi)容數(shù)值換算坐標(biāo)計算標(biāo)注尺寸換算尺寸鏈解算基點的直接計算節(jié)點的擬合計算參數(shù)點計算其他相關(guān)計算輔助計算圖18數(shù)學(xué)處理內(nèi)容三、數(shù)學(xué)處理的方法數(shù)學(xué)處理的方法主要有八種，如圖19所示。解析幾何計算法擬合計算法作圖計算法代數(shù)計算法幾何計算法三角函數(shù)計算法微積分計算法向量代數(shù)計算法數(shù)學(xué)處理方法圖19數(shù)學(xué)處理方法框圖 1作圖計算法 這種計算方法是以準(zhǔn)確繪圖為主，并輔以

6、簡單加、減運算的一種處理方法，因其實質(zhì)為作圖，故在習(xí)慣上也稱為作圖法。其繪圖、計算后所得結(jié)果的準(zhǔn)確程度，完全由繪圖的精度確定。2代數(shù)計算法 在數(shù)控編程中，由于所涉及的零件輪廓形狀各異，一般極少單獨采用代數(shù)與幾何這兩種方法中的一種進行坐標(biāo)點的計算，而往往將這兩種計算法作為其他計算法(如三角函數(shù)計算法)的過渡或輔助手段，并融合在其他計算法中應(yīng)用。3幾何計算法 幾何計算法包括平面幾何與立體幾何，利用幾何學(xué)中基本定理進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明，進而求出加工輪廓的點的數(shù)值。4三角函數(shù)計算法 三角函數(shù)計算法簡稱三角計算法。在手工編程工作中，因為這種方法比較容易掌握，所以應(yīng)用十分廣泛，是進行數(shù)學(xué)處理時應(yīng)重點掌握的方法

7、之一。5解析幾何計算法 解析幾何包括平面解析幾何與空間解析幾何，重點應(yīng)掌握平面解析幾何。應(yīng)用平面解析幾何計算法可省掉一些復(fù)雜的三角關(guān)系，用簡單的數(shù)學(xué)方程即可準(zhǔn)確地描述零件輪廓的幾何圖形，因此，分析和計算的過程都得到簡化，并減少了較多層次的中間運算，使其計算誤差大大減小，計算結(jié)果更加準(zhǔn)確，并且不易出錯。在絕對編程坐標(biāo)系中，應(yīng)用這種方法所解出的坐標(biāo)值一般不產(chǎn)生累積誤差，減少了尺寸換算的工作量，還可提高其計算效率等。因此，在數(shù)控機床加工的手工編程中，平面解析幾何計算法是應(yīng)用較普遍的計算方法之一。6、擬合計算法 在數(shù)控加工中經(jīng)常用到這種方法，它是用微小細分的直線段或圓弧段近似代替非圓曲線的一種數(shù)學(xué)處理

8、方法。7、微積分計算法 應(yīng)用微積分、微分方程等方法計算題目中所提出的問題。8、向量代數(shù)計算法 向量代數(shù)較多地應(yīng)用于較復(fù)雜的空間矢量計算。1、標(biāo)注尺寸換算(1)直接換算 指直接通過圖樣上的標(biāo)注尺寸，即可獲得編程尺寸的一種方法。進行直接換算時，可對圖樣上給定的基本尺寸或極限尺寸的中值，經(jīng)過簡單的加、減運算后完成。四、 數(shù)值換算簡介圖1-10(2)間接換算 指需要通過平面幾何、三角函數(shù)等計算方法進行必要解算，才能得到其編程尺寸的一種方法。用間接換算法所換算出來的尺寸，可以是直接編程時所需的基點坐標(biāo)尺寸，也可以是為計算某些基點坐標(biāo)值所需要的中間尺寸。2、尺寸鏈的解算圖1-11圖1-12一、坐標(biāo)系基本概

9、念1、坐標(biāo)：能夠確定一個點在空間的位置的一個或一組數(shù)，叫做這個點的坐標(biāo)。 2、坐標(biāo)系：具有點連續(xù)移動的空間、原點、方向和單位長度的基準(zhǔn)系統(tǒng)叫坐標(biāo)系。 第四節(jié) 坐標(biāo)系 （機床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系）3、直線坐標(biāo)系： (1)在給定的直線l上指定正方向；(2)在直線l上取一定點作為原點(一般以O(shè)表示這一點)；(3)任取一條一定長度的線段作為單位長度。我們就說在直線l上建立了直線坐標(biāo)系，這一條直線叫做坐標(biāo)軸，也叫做數(shù)軸。實數(shù)和數(shù)軸上的點可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系。就是說，對于任何一個實數(shù)，總可以用數(shù)軸上的一個(唯一的)點來表示它；反過來，數(shù)軸上的任何一個點，都表示一個(唯一的)實數(shù)。我們把這個點可

10、以連續(xù)移動的直線叫做一維空間。 圖1-13圖1-144、平面直角坐標(biāo)系：（1）平面直角坐標(biāo)系定義1)在平面上選定兩條互相垂直的直線，并指定正方向(用箭頭表示)；2)以二直線的交點作為原點；3)選取任意長的線段作為二直線的公共單位長度 。這樣，我們就說在平面上建立了一個直角坐標(biāo)系 (圖115)。圖1-15（2）平面上點的坐標(biāo) 在給定的直角坐標(biāo)系下，對于平面上的任意一點P，我們可以得到唯一的一對有序?qū)崝?shù)（a,b)來和它對應(yīng)；反過來，對于任何一對有序?qū)崝?shù)（a,b)，在平面上就能確定一個唯一的點，這個點的坐標(biāo)是（a,b),就是說，平面上的點P和一對有序?qū)崝?shù)(a,b)之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。我們把這個

11、點可以連續(xù)移動的平面叫做二維空間。或者把由兩個有序數(shù)字確定的點的空間叫二維空間。 圖1-16圖1-175、空間坐標(biāo)系：（1）空間坐標(biāo)系定義1)在空間上選定三條互相垂直的直線，并指定正方向(用箭頭表示)；2)以三直線的交點作為原點；3)選取任意長的線段作為三直線的公共單位長度。這樣，我們就說在空間上建立了一個直角坐標(biāo)系。圖1-18（2）空間上點的坐標(biāo) 在空間確定直角坐標(biāo)系后，空間中任意一點就唯一地決定了一個“有序三數(shù)組”；反之，任意一個這樣的“有序三數(shù)組”就唯一地決定了空間中的一個點也就是說，建立了空間直角坐標(biāo)系之后，空間中的所有點與由三個有順序的實數(shù)構(gòu)成的數(shù)組的全體之間便建立了一一對應(yīng)關(guān)系。我

12、們把這個點可以連續(xù)移動的空間叫做三維空間，或者把由三個有序數(shù)字確定的點的空間叫三維空間。 圖1-191、機床坐標(biāo)系的定義 為了確定機床的運動方向和移動距離，需要在機床上建立一個坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系就叫機床坐標(biāo)系。2、坐標(biāo)軸的確定方法 在確定機床坐標(biāo)軸時，一般先確定Z軸，然后確定X軸和Y軸，最后確定其它軸。 (1)Z軸 Z軸的方向是由傳遞切削力的主軸確定的，與主軸軸線平行的坐標(biāo)軸即為Z軸。如果機床沒有主軸，則Z軸垂直于工件裝卡面。同時規(guī)定刀具遠離工件的方向作為坐標(biāo)軸的正方向。 二、機床坐標(biāo)系(2)X軸 X軸是水平的，平行于工件的裝卡面，且垂直于Z軸。(3)Y軸 Y坐標(biāo)軸垂直于X、Z坐標(biāo)軸。Y運動的

13、正方向根據(jù)X和Z坐標(biāo)的正方向，按照右手直角笛卡兒坐標(biāo)系來判斷。(4)旋轉(zhuǎn)運動 圍繞坐標(biāo)軸X、Y、Z旋轉(zhuǎn)的運動，分別用A、B、C表示。它們的正方向用右手螺旋法則判定。(5)工件運動時的方向 圖1-21圖1-223、坐標(biāo)原點的確定 機床坐標(biāo)系的原點是在機床出廠時，由制造廠家在機床上設(shè)置的一個固定點，簡稱MCS。它是機床制造時的基準(zhǔn)點，又是數(shù)控機床進行加工或位移的基準(zhǔn)點。 圖1-23圖1-24a)數(shù)控銑床坐標(biāo)系及機床原點b)銑削加工零件及工件原點 1、定義 工件坐標(biāo)系是用于確定工件幾何圖形上各幾何要素(點、直線和圓弧)的位置而建立的坐標(biāo)系。工件坐標(biāo)系的原點即是工件零點。三、工件坐標(biāo)系圖1-252、工

14、件零點的一般選用原則： (1)工件零點選在工件圖樣的尺寸基準(zhǔn)上。 (2)能使工件方便地裝卡、測量、對刀和檢驗。 (3)工件零點盡量選在尺寸精度較高、粗糙度比較低的工件表面上。 (4)對于有對稱形狀的幾何零件，工件零點最好選在對稱中心上。 編程坐標(biāo)系是在編制數(shù)控程序過程中用于確定工件幾何圖形上各幾何要素(點、直線和圓弧)的位置而建立的坐標(biāo)系。編程坐標(biāo)系分為兩種，即絕對坐標(biāo)系和增量坐標(biāo)系（或相對坐標(biāo)系）。1、絕對坐標(biāo)系 編程坐標(biāo)系的所有坐標(biāo)點的位置都以坐標(biāo)原點為基準(zhǔn)的坐標(biāo)系。四、編程坐標(biāo)系圖1-262、增量坐標(biāo)系 也稱相對坐標(biāo)系，它是新的坐標(biāo)原點與舊的坐標(biāo)原點有相對變換的坐標(biāo)系。在數(shù)控加工中特指加

15、工輪廓曲線上，各線段的終點位置以該線段起點為坐標(biāo)原點而確定的坐標(biāo)系。 圖1-27一、基點與直接計算 1、基點的含義 構(gòu)成零件輪廓的不同幾何要素的交點、切點或者各幾何元素間的聯(lián)結(jié)點稱為基點，如兩直線間的交點，直線與圓弧或圓弧與圓弧間的交點或切點，圓弧與二次曲線的交點或切點等。 2、基點直接計算的內(nèi)容 每條運動軌跡(線段)的起點或終點（即基點）在選定坐標(biāo)系中的各坐標(biāo)值和圓弧運動軌跡的圓心坐標(biāo)值。第五節(jié) 基點、節(jié)點、參數(shù)點圖1-28 1、節(jié)點的含義 當(dāng)采用不具備非圓曲線插補功能的數(shù)控機床加工非圓曲線輪廓的零件時，加工程序的編制工作，常常需要用直線或圓弧去近似代替非圓曲線，稱為擬合處理。擬合線段中的交

16、點或切點就稱為節(jié)點。也可以說在滿足允許的編程誤差的條件下進行分割，即用若干直線段或圓弧來逼近給定的曲線，逼近線段的交點或切點稱為節(jié)點。 二、節(jié)點與擬合計算圖1-29圖1-30 2、節(jié)點擬合計算的內(nèi)容 節(jié)點擬合計算的難度及工作量都較大，故宜通過計算機完成，必要時，也可由人工計算完成，但對編程者的數(shù)學(xué)處理能力要求較高。擬合結(jié)束后，還必須通過相應(yīng)的計算，對每條擬合線段的擬合誤差進行分析。 除基點、節(jié)點外，在數(shù)控加工過程中還有一些點的坐標(biāo)值是編程不可缺少的，這些點稱為參數(shù)點，例如輪廓的粗加工、半精加工所涉及的點（如中間加工過程刀軌基點），螺紋加工中的大徑、中徑、小徑等的起刀點、退刀點、換刀點、圓心點以

17、及坐標(biāo)系的參考點，這些參數(shù)點由輔助計算完成。三、參數(shù)點 從運動的角度看，基點就是運動軌跡幾何性質(zhì)改變的轉(zhuǎn)換點?；c、節(jié)點、參數(shù)點都屬于幾何尺寸及位置的點，都是編寫加工程序必不可少的點，在加工圖樣中不可能將其標(biāo)清楚、標(biāo)完全，為此要通過建立解題分析圖將它們一一標(biāo)出。 四、基點、節(jié)點、參數(shù)點的一般建立 數(shù)控加工的實質(zhì)是通過預(yù)先設(shè)定的數(shù)控指令（或程序）由適當(dāng)?shù)臄?shù)控機床用不同的加工方法（車、銑、鉆、鏜 、磨、光、電等）完成對工件的加工，以達到設(shè)計要求的尺寸精度。無論用那一種方法，都是要去除毛坯件上多余的部分，剩下余留的部分就是所需要的成品工件。我們主要考慮數(shù)學(xué)元素，設(shè)定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，無論是二維平面圖形，

18、三維空間實體，還是多自由度多維空間，把各種切削刀具都可以簡化為一個刀位點或一個微型球形刀，刀位點掃掠經(jīng)過之處，任何材料均被沿著軌跡嚴(yán)格地切削鏟除，刀位點按照工藝刀軌路線有序地運動，工件毛坯就像削蘋果一樣被層層切除，最后留下的部分就是成品工件。在這里我們忽略了刀具的材料、形狀、硬度、夾具、載荷、磨損等，也忽略了工件的材料、形狀、硬度、夾具、載荷等因素。 第六節(jié) 數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型的建立一、對數(shù)控加工的抽象化理解圖1-31圖1-32圖1-331、零件圖分析 對零件圖樣進行分析時，要求達到下面三個“完整準(zhǔn)確”：（1）一組完整準(zhǔn)確的視圖 （2）一組完整準(zhǔn)確的幾何尺寸 （3）一組完整準(zhǔn)確的要求 二、數(shù)控加

19、工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法圖1-34圖1-352、對零件圖樣進行數(shù)值變換 3、繪制解題分析圖 4、計算并列表寫出結(jié)果二維空間數(shù)學(xué)模型例一、對零件圖136所示的螺紋錐面軸建立數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型，毛坯直徑32mm,材料為45鋼，調(diào)質(zhì)處理。三、建立數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型范例解:（1）圖樣分析 (2)數(shù)值變換 (3)解題分析圖 (4)基點、參數(shù)點坐標(biāo)表圖136零件圖與說明 四、三維空間數(shù)學(xué)模型 例二、圖138所示的棱臺面，用三坐標(biāo)數(shù)控銑床加工棱臺面，材料為45鋼，毛坯為一矩形塊，建立進行數(shù)控加工時的數(shù)學(xué)模型。解: （1）圖樣分析 （2）數(shù)值變換 （3）解題分析圖 （4）基點、參數(shù)點坐標(biāo)表 圖138 棱臺面加工圖

20、習(xí)題1.數(shù)控機床與普通機床的區(qū)別是什么，數(shù)控機床的加工方法主要有哪些？2.說明現(xiàn)代制造業(yè)正經(jīng)歷著哪“三步曲”,朝著什么方向發(fā)展？3.數(shù)控加工數(shù)學(xué)處理內(nèi)容有哪些，其核心是什么？4.用框圖畫出數(shù)學(xué)處理的三大內(nèi)容和八項工具，手工編程常用的有哪幾種工具？5.名詞解釋：(1)坐標(biāo)；(2)坐標(biāo)系；(3)機床坐標(biāo)系；(4)工件坐標(biāo)系；(5)絕對坐標(biāo)系；(6)相對坐標(biāo)系；(7)基點；(8)節(jié)點；(9)參數(shù)點；(10)圖樣分析的三個“完整準(zhǔn)確”；(11)建立數(shù)學(xué)模型的“四個步驟”。6.在數(shù)軸(圖1-42)上O為原點，且OA=2，AB=3，OC=-4.求A，B，D三點的坐標(biāo)。圖1-427.在數(shù)軸上標(biāo)出下列各點的位

21、置：(1)A1(-3.5);(2) A2;(3)A3(5sin15); (4)A4(-)。8.先畫出一個空間直角坐標(biāo)系，再描出下列各點：9.下列各點相對于坐標(biāo)系位置有何特殊?10.從點P(-1，2，3)和Q(a，b，c)分別向各坐標(biāo)平面和各坐標(biāo)軸引垂線，求各垂足的坐標(biāo)。11.已知點P(2，-3，-1)和M(a，b，c)，分別求這兩點關(guān)于下列坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)。(1)Oxy平面；(2)Oyz平面；(3)z軸；(4)原點。12.指出適合下列條件的點的位置：(1)橫坐標(biāo)為零的點；(2)豎坐標(biāo)為零的點；(3)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時為零的點。13.設(shè)長方體的三條棱的長為2，7，8，若以

22、它的對稱中心為原點，試寫出立方體各頂點的坐標(biāo)。本章的教學(xué)要求：1.掌握常用的幾種分解因式的方法，能熟練地對多項式進行因式分解。2.掌握一元一次方程、二元一次方程組和三元一次方程組的解法，能熟練地求這類方程或方程組的解。 3. 掌握二元一次方程、可化為二元一次方程的分式方程以及簡單的二元二次方程組的解法，能熟練地求這類方程或方程組的解。 第二章 初等代數(shù)本章的教學(xué)內(nèi)容：1.常用的幾種分解因式的方法：提取公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。2. 一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程的解法。3. 二元一次方程組和三元一次方程組的解法。4. 二元一次方程和可化為二元一次方程的分式方程的

23、解法。5. 簡單的二元二次方程組的解法。第一節(jié) 分解因式一、分解因式的定義 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式（或叫做因式分解）。1、提取公因式法 如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。 二、常用的分解因式的方法例1把下列各式分解因式： (1)8a3b212ab3c；(2)-4m316m226m； (3)2a(bc)3(bc)；(4)6(x2)x(2x)。2、運用公式法 如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。（1

24、）平方差公式 a2b2（ab）(ab) 這就是說，兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。這個公式就是平方差公式。例2把下列各式分解因式：(1)125b2；(2)16(ab)29(ab)2；(3)x5x3；(4)x4y4。2.完全平方公式 a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2 這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或者差）的平方。我們把a22abb2及a22abb2這樣的式子叫做完全平方式，上面方框中的兩個公式就是完全平方公式。 例3把下列各式分解因式：(1)25x410 x21；(2)3ax26axy3ay2。3.立方和與立方

25、差公式a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2) 這就是說，兩個數(shù)的立方和（或者差），等于這兩個數(shù)的和（或者差）乘以它們的平方和與它們的積的差（或者和）。這兩個公式分別就是立方和公式與立方差公式。 例4把下列各式分解因式：(1)27x6；(2)1。3、分組分解法 利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。它有以下兩種情況： （1）分組后能直接提取公因式 如果把一個多項式的項分組并提取公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。注意 ：用分組分解法時，一定要想一想分組后能否繼續(xù)進行，完成分解因式，由此合理選擇分組的方法。例5把下列各式分解因

26、式：(1)a2abacbc；(2)3ax4by4ay3bx。（2）分組后能直接運用公式 如果把一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式也可以用分組分解法來分解因式。例6把下列各式分解因式：(1)x2y2axay；(2)x3x2yxy2y3。4、十字相乘法x2(ab)xab(xa)(xb)這就是說，對于二次三項式x2pxq，如果能夠把常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)a、b的積，并且ab等于一次項的系數(shù)p，那么它就可以分解因式，即x2pxqx2(ab)xab(xa)(xb).運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三

27、項式分解因式。 把 分解因式時： 如果常數(shù)項q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)p的符號相同； 如果常數(shù)項q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號相同。 對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項的系數(shù)p。例7把下列各式分解因式：(1)x23x2；(2)x27x6；(3)x24x21；(4)x22x15。 上面的方法是用來分解二次項系數(shù)為1的二次三項式，那么，應(yīng)該如何把二次三項式 進行因式分解呢？我們知道， 我們發(fā)現(xiàn)，二次項的系數(shù)a分解成a1、a2,常數(shù)項c分解成c1、c2，并且把a1、a2,、c1、c2排列如下： 這里按斜

28、線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它們正好等于ax2bxc的一次項系數(shù)b，那么ax2bxc就可以分解成 (a1xc1)(a2xc2)，其中a1、c1位于上圖的上一行，a2、c2位于下一行。 a1 c1 a2 c2 像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解。例8把下列各式分解因式：(1)2x27x3；(2)6x27x5；(3)5x26xy8y2。1.(1)15x3y25x2y20(3)(mn)(pq)(mn)(pq)；

29、(4)a(xa)b(ax)c(xa)。2.(1)a249；(2)(2xy)2(x2y)2；(3)81a4b4；(4)x22x1；(5)m214m49；(6)25a440a2b216b4；(7)(xy)26(xy)9；(8)11/8a3；(10)(2x1)3x3。3.(1)a2abacbc；(2)7x23yxy21x；(3)4x24xyy2a2；(4)aa4；(5)x4y2x3y2x2y2xy2。4.(1)x29x8；(2)x210 x24；(3)a22ab15b2；(4)(xy)23(xy)40；(5)3x27x6；(6)6a213a6； (7)2x23x1； (8)6m211mn2n2。習(xí)題

30、2.11.概念含有未知數(shù)的等式叫做方程。在一個方程中，只含有一個未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。方程axb0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a0）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。第二節(jié) 一次方程（組）的解法一、一元一次方程及其解法2.一元一次方程的解法 解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1等步驟，把一個一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成xa的形式。例1解下列方程： (1)11x15(2x1)；(2)1/5(x15)1/21/3(x7)。 從上面的例題可以看到，解方程時，并不是所有的步驟都要用到，而是要根據(jù)方程的形式靈活地安

31、排求解步驟，有時一些步驟還可以合并簡化。但是，有一點我們要強調(diào)：移項時要變號。 3.可化為一元一次方程的分式方程的解法 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步驟是： (1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程； (2)解這個整式方程； (3)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。 1.二元一次方程和二元一次方程組 含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。 兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。二元

32、一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。 二、二元一次方程（組）和它的解法例2解方程5/x7/x-2。解方程的兩邊都乘以x(x2)，約去分母，得5(x2)7x解這個整式方程，得x-5例3解方程1/x-21-x/2-x3。解方程的兩邊都乘以x2，約去分母，得1x13(x2)解這個整式方程，得x22.二元一次方程組的解法 解二元一次方程組的基本思路是“消元”把“二元”變?yōu)椤耙辉?。主要方法有以下兩種：(1)代入消元法 在一個二元一次方程組中，將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種

33、解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法。例4解方程組解由，得x134y解得y2例5解方程組解由得x8+7y/2(2)加減消元法： 在一個二元一次方程組中，通過將兩式相加（減），從而消去其中的一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為加減消元法，簡稱加減法。例6解方程組解，得8y-8y-1例7解方程組解3，得6x9y36 2，得6x8y34 ，得y2 在一個方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程的未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，叫做三元一次方程組。 三元一次方程組的解法與二元一次方程組的解法類似，都是通過代入法或加減法消去一個或兩個未知數(shù)，把它化成

34、二元一次方程組或一元一次方程，從而求出方程組的解。 三、三元一次方程組和它的解法例8解方程組解3，得11x10z35 與組成方程組，解這個方程組，得1.解下列一元一次方程：(1)2x3116x；(2)2(3y4)7(4y)4y；(3)x+2/42x-3/61；(4)5y+1/69y+1/81-y/3。2.解下列分式方程：(1)x/x-5x-2/x-6；(2)x-8/x-71/7-x8；(3)1/x1/x+15/2x+2；(4)5x-4/2x-42x+5/3x-61/2。3.解下列二元一次方程組：(1)(2)(3) (5)(6)4.解下列三元一次方程組：(1)(2)習(xí)題2.21.一元二次方程的概

35、念 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式為ax2bxc0 (a0) 其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。 第三節(jié) 二次方程（組）的解法一、一元二次方程和它的解法2.一元二次方程的解法(1)直接開平方法 如果一個一元二次方程的一邊是未知數(shù)或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個非負(fù)數(shù)，那么，就可以用直接開平方的方法來求出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。例1解方程(x3)22。 (2)配方法 把一個一元二次方程的常數(shù)項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果

36、右邊是非負(fù)數(shù)，就可以通過直接開平方法來求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。 例2解方程x24x30。 對于二次項系數(shù)不是1的一元二次方程，為了便于配方，就要先將二次項的系數(shù)化為1，然后再用配方法求解。 例3解方程2x237x。(3)公式法一般的，對于一元二次方程ax2bxc0 (a0)，當(dāng)b24ac0時，它的根是： x 上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法。 例4解方程x27x180。注意 在使用求根公式時，要求b24ac0，若b24ac0，則方程無解。 確定a，b，c的值時，要注意符號。(4)因式分解法 將一個一元二次方程的一邊化為0

37、，另一邊用分解因式的方法分解成兩個一次因式乘積的形式，再讓這兩個一次因式分別等于零，從而求出方程的兩個解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例5解方程3x216x50。 解可化為一元二次方程的分式方程的方法，與解可化為一元一次方程的分式方程的方法相同。解方程時，用同一個含有未知數(shù)的整式（各分式的最簡公分母）去乘方程的兩邊，約去分母，化為整式方程。這樣得到的整式方程的解有時與原方程的解相同，但也有時與原方程的解不同，或者說產(chǎn)生了不適合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程時必須代入原方程進行檢驗。為了簡便，可把解得的根代入所乘的整式，如果不使這個整式等于0，就是原方程的根；如果使這個整式

38、等于0，就是原方程的增根，必須舍去。例6解方程1/x24x/-4+2/2-x1。二、可化為一元二次方程的分式方程 方程 x22xyy2xy60是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程。其中x2，2xy，y2叫做這個方程的二次項，x，y叫做一次項，6叫做常數(shù)項。 由有一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組成的方程組都叫做二元二次方程組。 以我們現(xiàn)有的知識，并不是所有的二元二次方程組我們都能求出它們的解，下面我們只研究兩種最簡單的二元二次方程組的解法。 三、簡單的二元二次方程組1.由一個二元一次方程和一個二元二次方

39、程組成的方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法來解。例7解方程組x2-4y2x3y-10 （1） 2x-3y-10 （2）2.由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組 對于一個由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組，我們一般采用的解法是：（1）將這個可以分解為兩個二元一次方程的方程化為兩個二元一次方程；（2）將這兩個二元一次方程與原方程組中的二元二次方程組成兩個新的二元二次方程組；（3）解這兩個方程組，就可以得到原方程組的所有解。 例8解方程組x2y220 （1） x2-5xy6y2 0 （2）1.用適

40、當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝卸淮畏匠蹋?1)x23x20；(2)x23x20；(3)x212x270；(4)(x1)(x2)70；(5)(3t)2t29；(6)(y2)23；(7)(2x3)23(4x3)；(8)(y )24 y；(9)(2x1)(x3)4；(10)3x(x1)22x。2.解下列分式方程：(1)x-1/-2x-1/x=x/x-2;(2)x+1/-x-1/3x=x+5/3x-3；(3)x/x+3x/x-318/-9；(4)1/1-x23x-/1-。習(xí)題2.33.解下列方程組： (2)(3) (4) 1.掌握三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)，能熟練進行三角形全等、相似的判斷和證明。2.掌握四邊形的有關(guān)

41、概念和性質(zhì)，能熟練進行平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的判斷和證明。 3. 掌握圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，能熟練判斷直線與圓、圓與圓、正多邊形與圓之間的關(guān)系。 第三章 平面幾何本章的教學(xué)要求：1. 三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)。2. 全等三角形的概念、性質(zhì)和判定。3. 等腰三角形的性質(zhì)和判定。4. 相似三角形的判定和性質(zhì)。5. 四邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)。6. 幾種常見四邊形的性質(zhì)和判定：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形。7. 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。8. 直線與圓的位置關(guān)系。9. 圓與圓的位置關(guān)系。10. 正多邊形與圓之間的關(guān)系。本章的教學(xué)內(nèi)容：1.三角形的概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接

42、所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。 第一節(jié) 三角形一、三角形的基本知識 “三角形”可以用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。 ABC的三邊，有時也用a、b、c來表示。頂點A所對的邊BC用a表示，頂點B所對的邊AC用b表示，頂點C所對的邊AB用c表示。圖3-1 2.幾種重要線段的概念和性質(zhì) (1)三角形的角平分線 三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角

43、形的角平分線。 三角形的角平分線有以下一些性質(zhì)： 性質(zhì)1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 性質(zhì)2：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。 性質(zhì)3：在一個三角形里，有三條角平分線，這三條角平分線相交于一點。 圖3-2 (2)三角形的中線 在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。 在一個三角形里，有三條中線，這三條中線相交于一點。 圖3-3 (3)三角形的高 從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高。 在一個三角形里，有三條高，這三條高所在的直線相交于一點。圖3-4圖3-5 3.三角形的分類

44、 (1)三角形按邊分類 三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩邊相等，有的三條邊都相等。三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 圖3-6不等邊三角形 在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。 等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形。 因此，三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：三角形 等腰三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 (2)三角形按角分類 三角形的三個內(nèi)角，有的可能都是銳角，有的可能有一個直角，還有的可能有一個鈍角。三個角都是銳角的三角形叫做

45、銳角三角形，有一個角是直角的三角形叫做直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。 圖3-7銳角三角形和鈍角三角形合稱斜三角形。 在直角三角形中，夾直角的兩邊叫做直角邊，直角的對邊叫做斜邊。兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 因此，三角形按角分類如下：直角三角形鈍角三角形三角形斜三角形 銳角三角形4.三角形邊角之間的關(guān)系(1)三角形邊之間的關(guān)系 1)在一個任意的三角形中，它的兩條邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。 2)在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。即a2b2c2例1一個等腰三角形的周長為18cm。1) 已知腰長是底邊長的2倍，求各邊長。2) 已

46、知其中一邊長4cm，求其他兩邊長。例2如圖3-8所示，已知等邊ABC的邊長是6cm。求高AD的長和ABC的面積。圖3-8(2)三角形角之間的關(guān)系1)三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于180。2)直角三角形的兩個銳角互余（即兩個銳角之和為90）。3)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。4)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。例3如圖3-9所示，D是AB上的一點，E是AC上的一點，BE、CD相交于點F，A62，ACD35，ABE20。圖3-9(3)三角形邊與角之間的關(guān)系在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等，大邊所對的角較大。 1.全等三角形的概念和性

47、質(zhì) 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。 二、三角形的全等記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。 兩個全等的三角形有以下兩個性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。圖3-10 2.三角形全等的判定 (1)邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。 例4如圖3-11所示，已知ADBC，AECF。求證：AFDCEB。圖3-11 (2)角邊角公理 有兩角它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“AS

48、A”）。 角邊角公理有一個推論： 推論 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。 例5如圖3-12所示，已知ABCABC,AD、AD分別是ABC和ABC的高。求證：ADAD。圖3-12 (3)邊邊邊公理 有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。例6如圖3-13所示，已知ABCD，BCDA，E、F是AC上的兩點，且AECF。求證：BFDE。圖3-13 3.直角三角形全等的判定 判定兩個直角三角形全等，除了上述三個公理及其推論以外，還有一個專用的公理。 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以就簡

49、寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。例7如圖3-14所示，已知在ABC和ABC中，CD和CD分別是高，并且CDCD，ACBACB。求證：ABCABC。圖3-14 1等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還有一些特殊的性質(zhì)。 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 由等腰三角形的這個性質(zhì)定理，我們可以得出以下幾個推論： 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直底邊。這個推論就是我們常說的“三線合一”，即等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。三、等腰三角形的性質(zhì)和判定推論2：等邊三角形的各角都相等，并

50、且每一個角都等于60。例8如圖3-15所示，已知點D、E在ABC的邊BC上，ABAC，ADAE。求證：BDCE。圖3-15 2.等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例9求證：等腰三角形兩底角的平分線的交點到底邊的兩端點距離相等。圖3-161.比例線段的概念和性質(zhì)四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即那么這四條線段a、

51、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫做組成比例的項，線段a、d叫做比例外項，線段b、c叫做比例內(nèi)項，線段d叫做a、b、c的第四比例項。如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即四、三角形的相似 或 a：bc：d，或 a：bb：c ,那么線段b叫做線段a和c的比例中項。= 兩條線段的比是它們的長度的比，也就是兩個數(shù)的比。關(guān)于成比例的數(shù)就有下面的性質(zhì)。(1)比例的基本性質(zhì)，那么adbc。反之，如果adbc，那么 根據(jù)比例的基本性質(zhì)我們可以得出一個推論：如果 ，那么b2ac。反之，如果b2ac，那么 。如果。(2)合比性質(zhì)，那么如果（bdn0），那么。 如果(3)等比性質(zhì)圖3-1

52、7 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.三角形相似的判定圖-18我們用符號“”來表示相似，記作“ABCABC”，讀作“ABC相似于ABC”。相似三角形對應(yīng)邊的比k，叫做相似比。 記兩個三角形相似時，和記兩個三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。 判定兩個三角形相似，有以下幾種方法： (1)相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。 (2)判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。 (3)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊

53、與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似?？珊唵握f成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 (4)判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似?？珊唵握f成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。 判定直角三角形相似與判定直角三角形全等類似，除了上面已講的定理以外，還有下面的定理。 定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。 例10依據(jù)下列各組條件，判斷ABC與ABC是否相似，并說明為什么。(1)A120，(2)AB4cm， BC6cm， AC8cm， A

54、B12cm， BC18cm， AC24cm。 3.三角形相似的性質(zhì) 如果兩個三角形相似，它們就具有下面一些性質(zhì)： (1)由相似三角形的定義知，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。 (2)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 (3)定理2：相似三角形周長的比等于相似比。 (4)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。例11如圖3-19所示，CD是RtABC的斜邊上的高。(1)已知AD9cm，CD6cm，求BD；(2)已知AB25cm，BC15cm，求BD。圖3-191.判斷下列長度的三條線段能否組成三角形，為什么？(1)3cm，4cm，8cm；(2)5

55、cm，6cm，11cm；(3)5cm，6cm，10cm。2.等腰三角形的周長是16cm，腰比底長2cm，求這個等腰三角形各邊的長。3.如圖3-20所示，要在車床齒輪箱殼上鉆兩個圓孔，兩孔中心的距離AB是134mm，兩孔中心的水平距離BC是77mm，計算兩孔中心的垂直距離AC(精確到0.1mm)。習(xí)題3.1圖3-204.如圖3-21所示，在ABC中，已知ABC66，ACB54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H和CF的交點。圖3-215.如圖3-22所示，已知ABAC，ADAE，12。圖3-226.如圖3-23所示，已知ABCABC，AD、AD分別是ABC和ABC的角平分線。圖3-237.如

56、圖3-24所示，已知ABAC，DBDC。圖3-248.如圖3-25所示，已知CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點O。(1)當(dāng)1 2時，OBOC；(2)當(dāng)OBOC時， 1 2 。圖3-259.求證：等腰三角形兩底角的角平分線相等。10.求證：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等。11.如圖3-26所示，已知CD平分ACB，AEDC，交BC的延長線于點E。圖3-2612.已知a、b、c、d是成比例線段，其中a3cm，b2cm，c6cm，求線段d的長。13.已知a/b2，求a+b/b。14.在ABC中，A47， AB1.5cm， AC2cm， 在DEF中， E47， ED2.8cm

57、， EF2.1cm。15.證明：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。16.在ABC中，AB12cm，BC18cm，CA=24cm，另一個和它相似的ABC的周長為81cm，求ABC的各邊長。 1.四邊形的定義 在平面內(nèi)，由不在同一條直線的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。組成四邊形的各條線段叫做四邊形的邊，每相鄰兩條邊的公共端點叫做四邊形的頂點。 第二節(jié) 四邊形一、四邊形的有關(guān)概念圖3-27 2.四邊形對角線的定義 在四邊形中，連結(jié)不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。 圖3-283.四邊形內(nèi)角的定義和性質(zhì) 四邊形相鄰兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角，簡稱四邊形的角

58、。四邊形的內(nèi)角和等于360。 圖3-294.四邊形外角的定義和性質(zhì) 四邊形的角的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做四邊形的外角。四邊形的外角和等于360。圖3-30 1.平行四邊形及其性質(zhì) 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“”表示平行四邊形ABCD，記作“讀作“平行四邊形ABCD”。二、平行四邊形ABCD”，圖3-31 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除了具有四邊形的性質(zhì)外，還有以下一些特殊的性質(zhì)： 平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等。平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。例1 已知ABCD，AB8cm，B

59、C10cm，B30。求ABCD的面積。圖3-32 2.平行四邊形的判定 判定一個四邊形是不是平行四邊形，有以下幾種方法： (1)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 (2)平行四邊形判定定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 (3)平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 (4)平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 (5)平行四邊形判定定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 例2如圖3-33所示，已知在 ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點。求證：EBDF。圖3-33 1.矩形及其性質(zhì) 有一個角是直角的平行四

60、邊形叫做矩形。 矩形是一種特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有以下一些特殊的性質(zhì)： 矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角。 矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 三、矩形圖3-342.矩形的判定判定一個四邊形是不是矩形，有以下幾種方法：(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。(2)矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。(3)矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。例3如圖3-35所示，已知矩形ABCD的兩條對角線點O，AOD120，AB4cm。求矩形對角線的長。圖3-35 1.菱形及其性質(zhì) 有一組鄰邊相等的平