解線性方程組的列主元素高斯消去法和LU分解法

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、實(shí)驗(yàn)名稱解線性方程組的列主元素高斯消去法和LU分解法二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙笸ㄟ^數(shù)值實(shí)驗(yàn)，用熟悉的算法語言編寫程序，從中體會(huì)解線性方程組選主元素的必要性和Lu分解法的優(yōu)點(diǎn)，以及方程組系數(shù)矩陣和右端向量的微小變化對解向量的影響。三、實(shí)驗(yàn)容解以下兩個(gè)線性方程組3.016.031.99X1111.274.16-1.23X210.987-4.819.34X3110701X1832.09999962X25.90000125151X352102X41四、算法描述1、列主元高斯消去法：記aj1)aji,j1,2,nb(1)bii1,2,n1消元過程對于R=1,2,，n-1執(zhí)行：們選行號ik,使a(kk

2、k)maxxaikk)2交換a0)與a：；)j=k,k+1,n聯(lián))與bkk)所含的數(shù)值。3對于i=k+1,k+2,n計(jì)算a(kk)/akk)ajk1)(k)(k)ajmakjj=k+1,k+2,n.b(k1).(k). (k)bmikbk2回代過程 TOC o 1-5 h z 1(n)/(n)xnbn/annn(k)(k)、/(k) HYPERLINK l bookmark8 o Current Document xk(bkakjxj)/akk,kn1,n2,1.jk1在此算法中的a(k?k=1,2,n-1稱為第k個(gè)列主元素，它的數(shù)值總要被交換到第k個(gè)主對角線元素的位置上。2、LU分解法通過M

3、ATLAB自有的函數(shù)把系數(shù)矩陣A分解成A=LU,其中，L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。這時(shí)方程組Ax=b就可化為兩個(gè)容易求解的三角形方程組Ly=b,Ux=y.先由Ly=b解出向量y,再由Ux=y解出向量x,這就是原方程組Ax=b的解向量。五、程序流程圖(1)列主元高斯消去法程序流程圖如下:A,b選主元列主元計(jì)算-.對A進(jìn)展上三角變換回代求x/輸出x完畢(2)LU分解法程序流程圖如下:開場讀入矩陣求出值y(i),y(2)求末值x(n),x(n-1)輸出xF完畢J這里我使用了四種框，一種是起止框,一種是輸入輸出框/斷框,還有一種是處理框。3、列主元素高斯消去法的M文件如下：functiona=li

4、ezhuGS(A,b)r=length(A1,i)fori=1:rforj=1:rifA(i,i)A(j,i)fork=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c；endd=b(i)；b(i)=b(j)；b(j)=d；endendforl=(i+1):rp=A(l,l)/A(i,i);form=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);endb(l)=b(l)-p*b(i);endendAZ=det(A)forn=r:-1:1ifn=rx(n)=b(n)/A(n,n);elseforq=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);end

5、x(n)=b(n)/A(n,n);endendx4、LU分解法的M文件如下：Functiona=Lufenjiefa(A,b)L,U=lu(A)Y=lbX=uyZ=det(l)*det(u)5、實(shí)驗(yàn)步驟如下：3.016.031.991A=1.274.16-1.23b=1;分別在命令窗口中運(yùn)行LiezhuGs(A,b)和0.987-4.819.34Lufenjiefa(A,b);記錄相關(guān)數(shù)據(jù)1032A=52.099999;b=5.900001;分別在命令窗口中運(yùn)345行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);記錄相關(guān)數(shù)據(jù)3.006.031.99A=1.270.990103A=

6、5分別對上述4.164.811.239.34b=11;分別運(yùn)行LiezhuGs(A,b),記錄列主行交換1次序x,det(A)2.1A,b=5.9一,運(yùn)行LiezhuGs(A,b),記錄相關(guān)數(shù)據(jù)5b在命令窗口運(yùn)行x=inv(A)*b,y=det(A),記錄數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)工程LU分解法Matlab部函數(shù)法列主元(Wj斯消去法13.016.031.99A=0-6.7872798.68746500-0.001495b10.6720930.738072T100L=0.4219-0.238110.3279103.016.031.99U=0-6.78138.687500-0.0015A=-0.03053x10

7、1.5926,0.6319,0.49361.59263x100.63190.4936|A=det(A)=-0.030TA=0.030547-34444Tx1031.5926,0.6319,0.4936210-70102.551.5A=006.00023.2999990005.079999Tb818.3000015.079999A=7.620001102Tx01111000-0.3-0.000000410L=0.51000.20.96-0.799997110-70102.55-1.5U=0060.2999990005.079998901x11|A=-7.620001102TK、實(shí)驗(yàn)結(jié)果547.2

8、A=-7.62000110Tx011133.06.031.99A=0-6.7998.683300-0.019952Tb10.676.7350351.195273x1020.4714260.368403|A|=-0.407014A=0.4070141.1952732x100.4714260.368403410-70102.551.5A=0063.20005.08Tb818.35.08A=7.62Tx0111Tx0111A=-7.62七、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析解線性方程組有選主元的必要性。LU分解法具有簡潔、正確的優(yōu)點(diǎn)，調(diào)用L,U部函數(shù)使其解法簡便，得出的系數(shù)距陣的行列式為準(zhǔn)確值。實(shí)驗(yàn)(1)系數(shù)為3.01改為3.00,0.978改為0.990,得出結(jié)