Chapter-906年-粘性不可壓縮流體流動解析

1、Chapter 9-1粘性不可壓縮流體流動 1概述一、粘性不可壓縮流動模型1、關(guān)于粘性粘性摩擦的存在必導(dǎo)致繞流阻力的存在，運動的衰減及渦量的擴(kuò)散。在大Re數(shù)下，慣性力 粘性力，采用理想流體模型，理想流體理論對不脫體繞流情況下的升力，壓力分布和速度分布給出了符合實際的結(jié)果，但在阻力等與粘性效應(yīng)相關(guān)的問題上卻無能為力。因而，在研究阻力等起源于粘性的現(xiàn)象時須拋棄理想流體假設(shè)。在小Re數(shù)和中Re數(shù)情況下，粘性作用不可忽略。2、關(guān)于不可壓縮流動（流體的壓縮性對流動的影響可略）液體壓縮系數(shù)小，一般可認(rèn)為不可壓縮（極端情況如激波等除外）氣體在低速運動（速度遠(yuǎn)小于聲速）、非定常時速度變化緩慢，且重力方向上流場

2、的尺度10km時，可略其壓縮性。（當(dāng)研究對流層（10km）內(nèi)大氣運動時，不能忽略重力場引 起的壓縮效應(yīng)）。3、基本方程組和邊界條件均質(zhì)不可壓縮流體rV 0 r dV FT p dt2Vconst,且溫度變化小,求速度和壓力場的完備方程組。const,故有dU o能量萬程k 2T 2 S:S 用于求溫度場dt本構(gòu)方程P pl 2 S用于求應(yīng)力邊界條件：在固壁表面上，流體的法向和切向速度分別等于固體表面的對應(yīng)速度分量。在自由表面上，PnnP0, Pn。二、粘性流動分類，求解問題的幾種途徑層流：流體運動規(guī)則、穩(wěn)定，各部分分層流動互不摻混，質(zhì)點軌跡光滑。脈線清晰湍流：流體運動極不規(guī)則、 極不穩(wěn)定，伴有

3、高頻擾動，各部分激烈摻混，質(zhì)點軌跡雜亂無章。決定流動狀態(tài)的參數(shù)是 Re數(shù)（Batchlor page255） , Re 邊界條件：u(0) 0 , u(b) U 。1)若沿x軸方向無壓差0 ,流動僅由上板拖動引起，即稱 Couette流動，此時d2u dy2u Uy b簡單剪切流動。2）上板、下板均不動,G , G const,則為 Poiseuille 流動，此時g 0、y(b y)。23)平板所受粘滯力（以y 0,b或下板受切應(yīng)力Couette流為例)21p212e214）拖動單位面積上平板外力做功功率W單位體積流體機(jī)械能耗散22、(e12e21 )U2T7單位面積平板板間流體柱內(nèi)的總機(jī)械

4、能耗散b Wo求解粘性流體沿傾斜平板下瀉的流動（考慮重力的影響，假設(shè)自由表面與平板平行）gsin2u2 yg cos(3)邊界條件:u(0)0,u(b)公式（2）g cos yPi（x），代入（1）并考慮到（3）知gsinP12u-2yconst(4)P1G ,代入（4）得u再利用邊界條件得討論:1）若上邊界yUyb空（bb處是自由表面，則由于邊界上g sin G2y2 Ay B。y)P(x,b)Po故 G 0；,僅考慮N-S方程的e，和）z兩u有限;Ga ，一，-一 umax ，可利用此關(guān)系通過測量流 8另外一u0要求 gSin b A 0,y y b故 ugin- y(2b y)。2)上板

5、速度多大時，下板上摩榛應(yīng)力為零_u0 U Ggs1n b2,此時y y 02G g sin 2u y 。22、截面均勻的圓管內(nèi)的粘性層流（ Hagen-Polseullle流動）無限長圓管內(nèi)壓強(qiáng)梯度力作用下的定常層流。假設(shè)外加壓差不隨時間變化，不考慮入口段流動（粘性作用尚未達(dá)到充分，速度剖面隨離入口的距離變化）可假設(shè)管無限長。流體在壓差作用下開始流動，當(dāng)進(jìn)入管中充分長距離后，粘性力達(dá)到與壓強(qiáng)梯度力平衡，速度剖面不再變化，取柱坐標(biāo)系如圖， 0, 0。z柱坐標(biāo)系下原始方程見吳書(下冊page229),此分量方程：1 上 ()0 z r r r上0 rdp d , du、，八(r ) const G

6、dz r dr drG 2_則 u r C11n r C24邊界條件：r a, u 0,另外附加有r 0,G / 22、Ga故 u(a r )u max u r o TOC o 1-5 h z 44討論：流量Q及平均速度u4 .,、 a G -2-Q 2 ru(r)dr u a , u HYPERLINK l bookmark131 o Current Document 08量來獲得粘性系數(shù)。注關(guān)于壓差（ p G 管長）的量綱分析解見余志豪習(xí)題解答page119流體層間的阻力：prz軸上:maxrGaTGr ;24 _阻力系數(shù)max8au,其中Re 。Re二、兩同軸旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動（圓形流

7、線情形，不計重力）流體充滿兩無限長同軸圓柱之間（，七，萬r1）,兩圓柱旋轉(zhuǎn)角速度分別為 W1,w2。求解啟動充分長時間后的定常流動。選取柱坐標(biāo)系，由流動特點可知:V V(r),V,0,0, 0, 0, p p(r) z tN-S方程:V2-(r) r rV2-2r（1）式解釋：壓強(qiáng)梯度力提供向心力;（2）式解釋：粘性切應(yīng)力切向加速度 0切向壓強(qiáng)變化率d2V(2)式即一2dr1 dVdrV_-2rEuler 方程,rn代入得n 1 ,故解為V Ar邊界條件:最后可得討論:(ri)V t)2r2；2 1rL -2 r122r2 -2 r21( r1-2r12r 2222r2(3)1）應(yīng)力張量分量P

8、r( r2 -B2,它代表任一流體柱殼外表面上的粘性應(yīng) r力，任一單位長流體柱殼外表面受摩擦力矩2M 2 r pr 4 B const,與 r 無關(guān),因而該柱殼內(nèi)外表面摩榛力矩平衡，故作定常運動。2） （3）式中第一項表示剛性旋轉(zhuǎn)（有旋流動），第二項表示無旋運動若r1 0 （無內(nèi)柱）則v 2r表示旋轉(zhuǎn)的桶內(nèi)流體與桶一起剛性旋轉(zhuǎn);2若無外柱殼（r20. ie,V r0 0)則U 3一(rr1),這是 N-Sr方程無旋流解的一個實例。將以上二者結(jié)合起來，即考慮一個旋轉(zhuǎn)的圓柱殼浸沒于無界的粘性不可壓縮流體中旋V轉(zhuǎn)，則得到Rankine合渦VrR2、平板的突然啟動Stokes第一問題（瞬態(tài)過程）假設(shè)有

9、一無限大平板浸沒在無界的靜止流體中，突然平板以速度U沿其自身所在平面運動起來，并且此后一直保持這一速度不變，求解平板啟動后流體運動的演化過程。u u(y,t)N S eq：2u2 y熱傳導(dǎo)方程邊界條件:u(0,t)U, u( ,t)0,t 0;（任意時刻流動還沒有傳到的地方就可看成無窮遠(yuǎn)）初始條件:u(y,0)0, y 0(u U)ti.e.,u(0,t)/Uu(y,0).U2(u U)1,02yu(,t),U00, t解定解問題解法一：由定解問題形式知f (y,t,）,而y,t,組成唯一無量綱變數(shù)（L2T 1）；由量綱齊次性原理知f()1 f f 定解問題化為 2Cix2e 4 dxC2f(

10、0) 1, f()C21, Ci（把偏微分方程化成了常微分方程）21e 4 dx0 x2 .dxerf (y)2、 terf03、非定常的單一方向的流動0ex2dx : erf() T0e2x dx , erfc()2e x dx)解法二:用Laplace變換方法求解解法三:李新明書P220221分析：1、速度分布北大P228圖;2、渦量 z-exp( y2.4 t) t渦量的產(chǎn)生：在啟動的那一瞬間，板面上流體質(zhì)點速度U ,其外的流體在瞬時的粘性作用下有加速度，但還沒有速度（速度的獲得需要時間）從而出現(xiàn)一個速度的間斷面，板上這層流體在板和板外靜止流體的粘性切應(yīng)力的作用下被“搓”出渦量。3、速度

11、和渦量的擴(kuò)散（t 時0是由于均攤，還是由于粘性損耗？）當(dāng)2時， 0.01可以認(rèn)為渦量和動量主要集中于2以下，即2可作為速U度和渦量已傳播到的區(qū)域的邊線，對應(yīng)y4J1渦量和速度擴(kuò)散的距離以 41 的規(guī)律增加，擴(kuò)散速率dy /dt按2/7規(guī)律減小。另外 越大，擴(kuò)散越快。渦量和速度都集中于板面附近的小區(qū)域內(nèi)，隨t ,界面上渦量場逐漸減弱。而某一0 （渦量由于粘性而擴(kuò)（兩無限大平板突然啟動，速度均為 板附近反向渦層的擴(kuò)散。）時達(dá)到u U ,渦量消失始自兩y 0處，渦量先增后減。整個渦量場逐漸趨于均勻，最后達(dá)到散，（總量不變，參考教材 P455習(xí)題11外力拖板作功補充動能損耗），擴(kuò)散方程中未含有耗散項，

12、粘性只導(dǎo)致擴(kuò)散。eg：關(guān)于渦量的產(chǎn)生和擴(kuò)散的一個規(guī)律在平板突然啟動問題中證明dy U ,式中V ,該流動的速度為0u U1 erf（T=），這個積分意味著，由于平板的運動在t 0時產(chǎn)生了一定量的渦量, 2 x t隨時間的推移，渦量在流體內(nèi)部擴(kuò)散，但總的渦量保持不變。2證明:代入積分即得證。e-u_y e 21 9.3相似原理與量綱分析一、模型實驗的必要性：只是一些簡單的流動。 實際的情形要復(fù)雜得多， 以至可以求得理論上的精確解的流動,求解一種真實的流動往往會變得非常困難，甚至無可能實現(xiàn)。要解決復(fù)雜的真實流動問題， 一方面依靠發(fā)展各種相似理論和數(shù)值解法；另一方面則要通過對實驗觀測結(jié)果的正確分析。

13、流體力學(xué)實驗原則上是要研究尺度上縮小或放大了的真實流動。通過對這種模擬流動的觀測與分析，去推知真實流動的特性與規(guī)律。例如，用飛機(jī)模型在風(fēng)洞中作吹風(fēng)試驗，艦船在水槽中拖動測量等。模擬實驗一方面可以降低費用，另一方面也可使實驗條件容易控制。 于是就提出了 一個問題：應(yīng)該如何設(shè)計模型實驗，才能使模擬流動與真實的流動之間有簡單 的變換關(guān)系，以及如何將有限的實驗結(jié)果應(yīng)用于廣泛的實際流動中去。這些正是相似性原理所要回答的問題。本課程不準(zhǔn)備講述相似理論的全面、嚴(yán)格的理論內(nèi)容，只著重于介紹其思想方法，故僅從一例出發(fā)進(jìn)行分析。二、相似原理考慮不可壓縮粘性流體定常繞流圓球的問題，動力學(xué)方程組和定解條件：rV 02

14、Vr vV V邊界條件無窮遠(yuǎn)處球面上rr UivV 0將上述定解問題無量綱化,、1V(x ,y ,z ) R(x,y,z) , V 1，PV得無量綱方程r rV p (嚴(yán) VUR,V i1,V0小此數(shù)繞球流動流線圖由此可見，若兩個不可壓縮粘性流體繞球定常流動滿足則此二流動無量綱UH U2R2 TOC o 1-5 h z r 11 r 方程解完全一致。此二流動之間有簡單變換關(guān)系，如V UZV,一J 二,Ui2U221U12說明（相似原理主要內(nèi)容）：1定義Renold數(shù)ReUR“流動相似”的概念首先是幾何相似（僅強(qiáng)調(diào)邊界的幾何相似），從而無量綱化后的邊界條件一致。其次在確定實驗參數(shù)時要求Re數(shù)相等

15、從而保證無量綱化方程組一致。這樣兩個流動就是相似的。此時，兩個流動的同一物理量（如V）在對應(yīng)點上的值成比例，這叫作力學(xué)相似。Re數(shù)相等是“相似準(zhǔn)則”之一。相似準(zhǔn)則一一無量綱化方程各項的系數(shù)，不同的流動問題相似準(zhǔn)則個數(shù)不同，要具體問題具體分析。（兩個定常粘性繞球流動若 Re數(shù)相等則相似, 故Re數(shù)稱為相似準(zhǔn)則）。V , p適用于所有相似的流動。一般粘性不可壓縮流動力學(xué)相似性：吳書p231-238。三、相似原理對模型實驗的指導(dǎo)意義：對于模型實驗設(shè)計的指導(dǎo)意義：設(shè)計實驗必須保證幾何相似和滿足相似準(zhǔn)則?？稍谙嗨茰?zhǔn)則允許的前提下適當(dāng)選擇實驗參數(shù)，eg.研究飛機(jī)在空中的等速平飛，其相似準(zhǔn)則為Re數(shù):Re

16、V LO實驗參數(shù)（風(fēng)洞風(fēng)速 V ,模型特征尺寸L ,風(fēng)洞內(nèi)介質(zhì) ）須滿足：從而減小V。匕二V-L ,可增大風(fēng)洞尺寸以增大L ,或增大空氣密度以減小（超音速 1100km/h ,戰(zhàn)斗機(jī)可達(dá)2倍音速，甚至接近 3倍音速）對于實驗研究的指導(dǎo)意義：例如繞流問題中物體受力的實驗測量。吳書p236o二、量綱分析.量綱的概念。（實例說明）.量綱齊次性原理。描述物理定律的等式或不等式兩端的物理量必須有相同的量綱，也就是說，只有量綱相r一dVr p2r同的量才能夠相加或比較。eg dV F p2Vdt應(yīng)用：用于分析或檢驗物理量之間的關(guān)系。eg：聲速是一個平衡態(tài)的熱力學(xué)狀態(tài)變量，在任何均質(zhì)系統(tǒng)中，任一熱力學(xué)量都是

17、兩個獨立熱力學(xué)變量的確定函數(shù)，我們?nèi)和 為獨立熱力學(xué)變量，于是 f（p, ,c） 0c f （p, ）, f （p,）為關(guān)于p,的多項式，設(shè)備次分別為、按量綱齊次性原理c p其中c LT 1, p L 1T 2M , L 3M1于有0,31 , 21,信 一， 一（為唯一一組可能值）2因此，我們得到c2 p或c-（可能的關(guān)系式中的一種）這里 為常數(shù)，只能由熱力學(xué)理論或?qū)嶒炃蟮?。實驗測量時，只需測量數(shù)據(jù)組根據(jù)數(shù)據(jù)擬合出二者之間的線性關(guān)系，而不是測（p, ,c）,大大簡化測量與分析。例1,用1 : 30的模型在水槽中研究潛艇阻力問題。 研究摩阻時，模型拖拽速度多大。若實際潛艇水下航速為10kno

18、t,試確定答：研究摩阻時，相似準(zhǔn)則為Re數(shù):ReULU2LiUil2300knot參見吳望一：P232方程VSt t2VRe定常繞流St數(shù)消失，不計重力 F數(shù)消失,潛艇在水下,不考慮自由表面,E數(shù)消失，只剩下Re數(shù)。例2, 一模型港尺度比為 280: 1, 模型實驗波的特征量。設(shè)真實storm wave振幅1.524m,波速9.144m/s。試確定答：幾何相似要求模型波浪尺寸:A21.524/280,波長 i/280?？紤]重力起作用的表面波（重力波）特征量周期T,tt工；波高無量綱化方程:Strouhal 數(shù):Froude 數(shù):cTStFrcT2cgHp zz一,H粵kc波速 c, w w/c

19、, V V,/c 及 pp/ c2H 若滿足幾何相似，則Strouhal數(shù)自然相等。O（特征慣性力/特征重力）故模型波速為c2 9.144V280m/So粘性流體的不可壓縮流動習(xí)題課小結(jié)：粘性不可壓縮流動基本方程組和邊界條件 典型的精確解及流動規(guī)律：平面Couett航動和Poi secc川e流動 圓管 Hagen Poi secclle流動 圓形流線流動非定常的平板啟動流Stokes和Ossen近似，繞球流動。Eg1、柱坐標(biāo)系下求解是定常的單一方向的流動粘性系為的流體沿水平圓管作定常流動，速度q,壓強(qiáng)梯度不為零；1)試證：_(為空 r r2)給出通過管子的體積流量證明：1)連續(xù)性方程 ! 工上

20、 0r rz rVr V0 故 Vzq(r)B 0(1)一、- rN-S方程22紀(jì)(器1工)T心)(2) z r r r r r r(1)式表明(2)式兩端均為常數(shù)，令 了 p0 z2 則小r/(Y)得證。r r r r2)積分上式并考慮到邊界條件 (q(a) 0,q(0)有限)得：P , 22q (r a ) 4 4 ap0a體積流量為Q a 2 rdr 08eg2：自由表面界面問題一皮帶通過一液體池沿直線向上以勻速V。運動，由于粘性帶走一層流體(厚度 h,密度，粘性系數(shù) )而重力使其下流，試給出流體運動速度所滿 足的邊界條件、帶走的流體層的厚度內(nèi)的速度分布和流量。假定 流動定常，鉛直方向無

21、壓差，略大氣摩擦。解：速度只有y分量v v(x),從而連續(xù)性方程自然滿足邊界條件：v(0) Vov(h)N-S方程0 TOC o 1-5 h z 1 p2vg2 HYPERLINK l bookmark125 o Current Document yx已知-P 0故可解得v gx2 ghx V0 y2hvdx0eg3、兩流體界面邊界條件如圖，兩層不同密度，不同粘性的流體成層放置，設(shè)水平方向無壓差，上板以U0向右勻速移動，求速度分布。解：Ui Ui(y) U20N-S方程：上層：0U2(y)21 Pi1Ui21 x1 yg 31 y% %,% Pv公巧“飛, PRh %777777777777777770下層：021P22U2工2 x2 yRg3 G2 y解得 U1Gy C2, U2 C3y C4銜接條件：U1(h) u2 (h),U11 - y y hU22 一y y h邊界條件:5(% h1) U0U2 (0)0故得：U12U0Z ( 1h22工)U21U0Z ( 1h22、)0h1( 21)( 1h22h1)eg4：橢圓邊界?？紤]橢圓邊界的管子內(nèi)不可壓縮粘性流體的定常流動。管子截面周線方程22為，31a b1)證明：uz Ax2 By2 C滿足該情形下的粘性流動方程;2)已知G、a和b