亞太營不等式講義

1、 PAGE 17亞太營不等式講義 師大數(shù)學(xué)系黃文達(dá)教授編 2006/02/13主題1：算幾不等式:1算幾不等式 設(shè) a1, a2,., an 為n個正數(shù)，則稱 分別為此n個正數(shù)的算術(shù)，幾何，和調(diào)和平均數(shù)。A,H,G之間有如下的關(guān)係式： AGH其中等號均當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=.=an時成立。 不等式的左半部份和右半部份是等價的，若左半成立，即AG，則可對n個正數(shù) ，運用 AG，有 ，因而。數(shù)學(xué)歸納證法證明1： 先用數(shù)學(xué)歸納法對n=2m的情形給出證明： 當(dāng)m=2時，因 所以 即。假設(shè)m=k時G A成立，則當(dāng) m=k+1時，有 = 即m=k+1時，Gk+1 Ak+1 成立 。 現(xiàn)假設(shè)n不等於2的乘冪

2、， 我們總能找到一個自然數(shù)r使得 n+r=2m ，則對n+r個數(shù) a1，a2，a3，.，an，A，A，.，A運用已證的結(jié)果，有 =A，不等式兩邊n+r次方得 故有 G A。數(shù)學(xué)歸納證法證明2：（一）首先證明下面引理： 設(shè)s,t為正數(shù)，n為自然數(shù)。證明 證明是這樣的：因1kn，所以 (s-t)(sk-tk)0， 於是 sn+1+ntn+1-(n+1)tns=s(sn-tn)-ntn(s-t) =(s-t)(s(sn-1+sn-2t+.+tn-1)-ntn) =(s-t)(sn-tn)+(sn-1-tn-1)t+.+(s-t)tn-1) 0 接著令t, s滿足 a1a2.an=tn(n+1), a

3、n+1=sn+1, s0,t0 則 - =+ =sn+1-(n+1)tns +ntn+1 0。 最後利用上述結(jié)果知 . 0得證 An+1Gn+1。數(shù)學(xué)歸納證法證明3：當(dāng)n=2時 A2G2，假設(shè)n=k時AnGn則 2算幾不等式的基本應(yīng)用甲、我們知道對於任意實數(shù)a,b有如下的不等式： 如果a0，實可變形如下：.（）例1、如果abc0，求證：證明：例2、已知 且 ，求證：證明：例3、設(shè)a,b,c為ABC的三邊長，求證：證明：例4、已知，求證：證明：例5、設(shè),均為銳角，且 則證明：練習(xí)：設(shè)a,b,c,d均為正實數(shù)，且ab+bc+cd+da=1，求證： 練習(xí)：設(shè)a,b,c為ABC的三邊長，求證：提示：此

4、為第24屆IMO試題，令a=y+z,b=z+x,c=x+y代入，原式可簡化為 乙、不等式： 如果a0時，也可變形如下：.（）例1、設(shè)a,b,c均為正實數(shù)，求證：證明：取，則練習(xí)：1. 已知 且 ，求證：2. 已知 且 ，求證：例2、設(shè)a,b,c均為正實數(shù)，且 abc=1，求證： (36屆IMO) 證明：取，則例3、設(shè)求證：證明：取，則例4、設(shè)，求證：證明：取，則丙、上述不等式若a=1的特例可寫成：若M,均為正實數(shù)，則等號成立的充要條件為M1（）例1、設(shè)00,y0,x+y=xy,x+4y-a=0，求實數(shù)a的取值範(fàn)圍。解：由x+y=xy得 x=(x-1)y，因x0,y0 故 x1； 將代入x+y-

5、a=0，得 例5.（巧代）求函數(shù)的最小值。解：因知 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)例6.（巧引）已知a,b,c,m,n均為正實數(shù)，且a+b+c=1，求證：解：引入?yún)?shù)t，由，得 因知，若，則 又因 此時，故練習(xí)：已知a,b,c均為正實數(shù)，且a+b+c=1，求證：實例1: 設(shè)a,b,c都是正數(shù)證明 abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 若a+b-c,b+c-a,c+a-b中有負(fù)數(shù)設(shè)a+b-ca+bb+c-a, c+a-b均為正數(shù)結(jié)論中左式為正右式為負(fù)顯然成立。 若a+b-c,b+c-a,c+a-b均為非負(fù)由平均不等式知將上述三式相乘即得。實例2 設(shè) a,b,c 均為正數(shù)，證明 解： a4+b4+c

6、4 = =abc(a+b+c)實例3 將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形，試求此梯形的最大面積解：設(shè)底角為t 則等腰梯形的面積為 A=acost+aasint=a2sint(1+cost) 則 故得 最大面積為 實例4：設(shè) x,y,z為正實數(shù)，且滿足 x4+y4+z4=1 ，求 的最小值。解：實例5：設(shè)，試求+ 的最小值。證明：故 且等號成立練習(xí)#1. 設(shè) a0,b0,c0,d0且 a+b+c+d=1,證明 #2. 設(shè)a,b,c(0,1)，證 a(1-b), b(1-c), c(1-a) 不全大於。#3. 設(shè) a,b,c均為正實數(shù)且a+b+c3，證明 。#4. 設(shè) x0,y0,z0,且

7、 xyz(x+y+z)=1，試求(x+y)(y+z) 的最 小值。#5.設(shè) 為正實數(shù)，證明 (a) (b) (c)。#6.設(shè) n 為正整數(shù)，對任意實數(shù) x,y,z 恆有 成立， 求 n 的最小值。#7.設(shè) x+y+z=0，證明 主題二、歌西不等式 設(shè) a1,a2,.an, b1,b2,.bn為兩組實數(shù)，則有不等式 其中等號成立的條件為這個不等式稱為Cauchy不等式，底下我們介紹一些典型的證法。證法一：構(gòu)造實變數(shù)的二次三項式 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+.+(anx-bn)2 =+ 因為對任何實數(shù)x，恆有 f(x)0，而，所以判別式必不大於零，於是有，故得證。證法二：由算

8、幾不等式導(dǎo)出 令則有， 。利用不等式 故有 , ,., 將這些不等式相加，即得。證法三：利用數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)出 利用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時，顯然有 ，假設(shè)n=k時成立，即 這裡 ，因為 = = = 0 。證法四：(Langrange 等式）-=- =- =0。下面談?wù)剳?yīng)用歌西不等式的一些技巧一巧拆常數(shù)例一 設(shè)a,b,c為正數(shù)求證分析: 9=(1+1+1)2 2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)例二 設(shè)a1,a2,a3,an為正實數(shù)n2s= a1+a2+a3+an。求證 分析: n2=(1+1+1)2 (n-1)s=ns-s=(s-a1)+(s-a2)+(s-an) 二項的巧添適當(dāng)?shù)?/p>

9、添加常數(shù)項或和為常數(shù)的各項。例三設(shè)a1,a2,a3,an為正實數(shù)滿足 a1+a2+a3+an=1。求 的最小值分析 (2-a1)+(2-a2)+(2-a3)+(2-an)=2n-1三結(jié)構(gòu)的巧變例四 設(shè)a1a2a3an+1為實數(shù)求證 分析將結(jié)論改寫成 並利用a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+(an-an+1)四巧加因式例(a)已知a2+b2=1求證 acos+bsin1。設(shè)a1,a2,a3,an為正實數(shù)求證五反覆應(yīng)用例設(shè)a,b為實數(shù) 為銳角，試求 的最小值 。分析#1. 設(shè) 試求 e 的最大 值？思考一:(來源：30屆IMO預(yù)選題 ) 設(shè)n為正實數(shù)，且a,b為給定實數(shù)，為實變數(shù)， 滿足 ，試求 x0 變化的範(fàn)圍？#2. 設(shè) 為正實數(shù)，試證 思考: 設(shè) 為正實數(shù)，試證 #3. 設(shè)a,b,c為正實數(shù)，試證 思考一: 設(shè)a,b,c為正實數(shù)且滿足 abc=1，試證 思考二: 設(shè)a,b,c為正實數(shù)且滿足 a+b+c=1，試證 #4.設(shè) P 為ABC 內(nèi)一點，D,E,F 分別為P到所引