定積分的應(yīng)用

1、61 平面圖形的面積一、定積分的元素法二、在直角坐標(biāo)情形下求圖形的面積三、在極坐標(biāo)情形下求圖形的面積一、 定積分的元素法 設(shè)yf (x)0 (xa，b)Oyxab是以a，b為底的曲邊梯形的面積A f (x)dxOyxxxxxxxabx一、 定積分的元素法 設(shè)yf (x)0 (xa，b)A(x) f (t)dt A(x) f (t)dt是以a，x為底的曲邊梯形的面積 A= f(x)dx 是以a，b為底的曲邊梯形的面積 曲邊梯形面積A(x)的微分為dA(x)f (x)dx， 點x處，高為f (x) 、寬為dx的矩形的面積為：f (x)dxOyxx+dxab DAf (x)dx，且DAf (x)dx

2、o(dx) f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素x 以dx為寬的曲邊梯形面積為：DA 以a，b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f (x)dx為被積表達式，以a，b為積分區(qū)間的定積分：A(x) f (t)dtA f (x)dx 一般情況下，為求某一量U (不一定就是面積，即使是面積也不一定是曲邊梯形的面積)，先將此量看成是某區(qū)間a，b上的函數(shù)U(x)，再求這一量在a，b上的元素d U(x)，設(shè)d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx為被積表達式，以a，b為積分區(qū)間求定積分即得用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)U u(x)dx 二、在直角坐標(biāo)情形下求圖形的面積Oyxaby=f

3、 上(x)y=f 下(x)xx+dx 求由曲線y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直線x=a、 x=b所圍成的圖形的面積面積元素為：所求圖形的面積為：f 上(x)-f 下(x)dxA= f 上(x)-f 下(x)dx討論：如果下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？ab y=f 上(x) y=f 下(x)OyxA1Oyxab y=f 上(x) y=f 下(x)A2Oxycdx=f 左( y)x=f 右( y)A3A1=A2= f 上(x)-f 下(x)dxA3 = f 右(x)-f 左(x)dxOyxab 求由曲線y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直線x=a、 x=b所圍成的圖形的面積，

4、也可以按如下方法求面積：所求的圖形的面積可以看成是兩個曲邊梯形面積的差 y=f 上(x) y=f 下(x) y=f 下(x)A= f 上(x)dx- f 下(x)dx 例1 計算由兩條拋物線：y2x、yx 2 所圍成的圖形的面積 解 在區(qū)間0, 1上過x點且垂直于x 軸的直線左側(cè)的面積記為A(x)， 于是面積元素為得所求的圖形面積以0, 1為積分區(qū)間求定積分011xyxx+dx直線平移dx 后所產(chǎn)生的面積的改變量近似為A(x) y2x yx 2DA ( x 2)dx ，以( x 2)dx為被積表達式，dA = ( x 2)dx ， 例2 計算拋物線y22x 與直線yx4所圍成的圖形的面積 解畫

5、圖求兩曲線的交點得：(2，2)，(8，4)將圖形向 y 軸投影得區(qū)間2，4A(y)為區(qū)間2，4上過y點且垂直于 y軸的直線下側(cè)的面積直線平移dy 后所產(chǎn)生的面積的改變量近似為于是面積元素為所求的圖形面積為DA (y 4 y2)dy ，dA = (y 4 y2)dy ，02468x42-2 y 2=2x y=x-4(8, 4)(2, -2) 解設(shè)橢圓在第一象限的面積為A1，則橢圓的面積為A4A1第一象限的部分橢圓在x 軸上的投影區(qū)間為0，a因為面積元素為ydx，于是A 4A1 a b橢圓的參數(shù)方程為: yb sin t ， xa cos t ，yxOab y dx 所以三、在極坐標(biāo)情形下求圖形的面積曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素：由曲線r()及射線 ， 圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積為xO r () +d 曲邊扇形的面積元素： 例4 計算阿基米德螺線ra (a 0)上相應(yīng)于從0變