高中數(shù)學回歸分析的基本思想及其初步應用

1、3.1 回歸分析的基本思想 及其初步應用課標要求:1.了解殘差平方和、相關指數(shù)R2的概念.2.了解回歸分析的基本步驟.3.會用殘差平方和與相關指數(shù)R2對回歸模型擬合度進行評判.4.了解簡單的非線性回歸分析方法.素養(yǎng)達成:通過殘差分析的學習,使學生養(yǎng)成了建模能力、數(shù)據(jù)分析處理能力等.問題一：線性回歸模型課本 例題1練習冊P58例1、訓練1-1練習冊P58例2、訓練2-1問題三：非線性回歸方程（與回歸直線的聯(lián)系）課本P87例2 練習冊P59例3、訓練3-1溫故知新兩個變量的關系不相關相關關系函數(shù)關系線性相關非線性相關函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系。相關關系是一種非確定性關系。自變量取值一定

2、時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。1、定義： 1）：相關關系是一種不確定性關系；注對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析。2）：2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。 如：人的身高與年齡； 產品的成本與生產數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入。等等負相關正相關例1、某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示.編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學生的身高預報體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重.解：1、選取身高為

3、自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。根據(jù)最小二乘法估計 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計，于是有所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為 探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？ 樣本點呈條狀分布，身高和體重有較好的線性相關關系，因此可以用回歸方程來近似的刻畫它們之間的關系.解：散點圖：3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a簡單描述它們關系。 我們

4、可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。思考P3產生隨機誤差項e的原因是什么？思考P3產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重 y 的因素不只是身高 x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、身高 x的觀測誤差。 線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。 在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y為預報變量。殘差數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異 稱為相應于點（xi，yi ） 的殘差

5、。例：編號為6的女大學生，計算隨機誤差的效應（殘差）殘差平方和 把每一個殘差所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為：稱為殘差平方和在例1中，殘差平方和約為128.361。表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義： 我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作

6、圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。我們可以用相關指數(shù)R2

7、來刻畫回歸的效果，其計算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強） 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。

8、（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例2、在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753解：例2、在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需

9、求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4相關指數(shù)越大，效果越好殘差平方和越小，效果越好探索無止境 小結1.殘差平方和與模型擬合效果關系：2.相關指數(shù)與模型擬合效果關系1.2.3循環(huán)語句新課標高二數(shù)學 選修2-33.1回歸分析的基本思想及其初步應用（二）復習回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異 是隨機誤差的效應，稱 為殘差。3、對每名女大學生計算這個差異，然后分別

10、將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應。4、兩個指標：（1）類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作 為 的估計量， 越小，預報精度越高。（2）我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計算公式是： R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。表3-2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作

11、稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制作及作用1、坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本

12、點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。6、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個總體的，預報時也僅適用于這個總體。（2）模型的時效性。利用不同時間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對那段時間范圍的數(shù)據(jù)進行預報。（3）建立模型時自變量的取值范圍決定了預報時模型的適用范圍，通常不能超出太

13、多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經指出的，某個女大學生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預測她的體重，只能給出身高為172cm的女大學生的平均體重的預測值。7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過

14、大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例1 在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753解：例1 在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4案例2 一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1

15、）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？ 溫度xoC21232527293235產卵數(shù)y/個711212466115325非線性回歸問題假設線性回歸方程為 ：=bx+a選 模 型由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關指數(shù)R2=r20.8642=0.7464估計參數(shù) 解：選取氣溫為解釋變量x，產卵數(shù) 為預報變量y。選變量所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。探索新知畫散點圖050100150200250300350036912151821242730333639方案

16、1分析和預測當x=28時，y =19.8728-463.73 93一元線性模型奇怪？9366 ?模型不好？ y=bx2+a 變換 y=bt+a非線性關系 線性關系方案2問題選用y=bx2+a ，還是y=bx2+cx+a ？問題3 產卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函數(shù)模型方案2解答平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性

17、回歸方程為y=0.367t-202.543，相關指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.543當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產卵數(shù)變化。t問題 變換 y=bx+a非線性關系 線性關系問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產卵數(shù)y/個711212466115325xz當x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度

18、解釋了98.5%的產卵數(shù)的變化由計算器得：z關于x的線性回歸方程為 對數(shù)變換：在 中兩邊取常用對數(shù)得令 ，則 就轉換為z=bx+a.相關指數(shù)R2=0.98最好的模型是哪個? 產卵數(shù)氣溫產卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型比一比函數(shù)模型相關指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個?回歸分析（二）則回歸方程的殘差計算公式分別為：由計算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠遠優(yōu)于模型（2）。下面模型(1)(2)分別是前面的指數(shù)和二次函數(shù)模型：總 結 對于給定的樣本點兩個含有未知參數(shù)的模型：其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對應于兩個模型的回歸方程與 其中 和 分別是參數(shù)a和b的估計值；（2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和與（3）若 則 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。練習：為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)