矩陣的初等變換與初等矩陣課件

1、一、初等變換二、初等矩陣三、求逆矩陣的初等行變換法初等矩陣的作用、初等矩陣的可逆性下頁第5節(jié) 矩陣的初等變換與初等矩陣5.1 初等變換 交換第i行與第j行記為rirj . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下頁-1 1 3-1 交換第i列與第j列記為cicj . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-

2、1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如下頁5.1 初等變換 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用數(shù)k乘以第i行記為kri . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如下頁5.1 初等變換 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列

3、)的k倍加到另一行(列)上. 用數(shù)k乘以第i列記為kci . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14c3-4 412-4 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如下頁5.1 初等變換 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i行的k倍加到第j行記為rj+kri . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1r3-3r1 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 0-7 2 4例如下頁5.1 初等變

4、換 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列記為cj+kci . 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如下頁5.1 初等變換 定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行(列)； (2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)； (3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.定理3 任意一個矩陣都可以經(jīng)過一系列的初

5、等變換化成下述形式它稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形（1的個數(shù)可以是零）. 下頁下頁2101 000041-1 6r2r121011 00-1004 6r2-2r 101031 00-1004 61/4c30040101 0030 60060101 00004c4+c 1c4-3c 2例如：0000101 00001c4-6c3 定義2 對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . =E(2, 4) 例如，下面是幾個4階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(

6、2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c4下頁5.2 初等矩陣=E(3(4) 1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4) 1000010000100001E=00401000100000014 c3下頁 定義2 對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 初等矩陣?yán)?，下面是幾個4階初等矩陣：=E(2,4(k) 1000010000100001E =010k100000100001r2+kr4

7、=ET(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4下頁 定義2 對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 初等矩陣?yán)纾旅媸菐讉€4階初等矩陣： 初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) . E(i(k)-1=E(i(k -1)；E(i, j)-1=E(i, j)； 這是因?yàn)椋醯染仃嚨男辛惺郊澳婢仃嚪謩e為:下頁|E(j,i(k)|=1 . |E(i(k)|= k

8、(k0) ；|E(i, j)|=- 1；E(1, 2)A= =與交換A的第一行(列)與第二行(列)所得結(jié)果相同.AE(1, 2)= = 例如，設(shè)下頁 定理1 設(shè)A是一個mn矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣乘矩陣A；對A施行一次初等列變換相當(dāng)于用矩陣A乘相應(yīng)的n 階初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.=與第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得結(jié)果相同.=例如，設(shè)E(1,3(2)A= AET(1,3(2)= 下頁 定理1 設(shè)A是一個mn矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣乘矩陣A；對A施行一次初等列變換相當(dāng)于用矩陣A乘相應(yīng)的n 階初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.練 習(xí)：下頁練 習(xí)：下頁

9、5.3 求逆矩陣的初等變換方法定理2 若n階矩陣A可逆，則可以通過行初等變換將A化為單位矩陣. 證： 因?yàn)锳可逆,即|A|0，所以A的第一列不全為0,不妨設(shè)a11 0.將A的第一行元素乘以1/a11 ,再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:由定理1知， 其中Fi是對應(yīng)初等矩陣. 一直進(jìn)行下去，最終把A化成了單位矩陣E. 同理可得B2: 下頁 即B2的第二行第二列元素化為1, 第二列的其它元素全化為零. 推論 方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個初等矩陣的乘積.下頁 證 （必要性）假設(shè)A可逆，由定理2，A經(jīng)有限次初等行

10、變換可化為單位陣E , 即存在初等矩陣 使 而 是初等矩陣. （充分性）如果A可表示為有限個初等矩陣的乘積，因?yàn)槌醯染仃嚩际强赡娴?，而可逆矩陣的乘積仍然可逆的，所以A是可逆矩陣. 就是說，當(dāng)通過初等行變換將矩陣A變成E時，經(jīng)過同樣的變換把E變成了A-1.于是有利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握) 構(gòu)造一個 n2n 矩陣(A|E)，對矩陣(A|E)作初等行變換，當(dāng)左部A變成單位矩陣E時，右部單位矩陣E則變成A-1.即 下頁即若,則而由,即例1(法2)求矩陣A= 的逆矩陣.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解： 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0