高考數(shù)學二輪復習專題09 函數(shù)零點問題的綜合應用（解析版）

1、專題09函數(shù)零點問題的綜合應用 【方法技巧與總結(jié)】1.函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).【題型歸納目錄】題型一：零點問題之一個零點題型二：零點問題之二個零點題型三：零點問題之三個零點題型四：零點問題之max，min問題題型五：零點問題之同構(gòu)法題型六：零點問題之零點差問題題型七：零點問題之三角函數(shù)題型

2、八：零點問題之取點技巧【典例例題】題型一：零點問題之一個零點例1已知，函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上僅有一個零點，求的取值范圍【解答】解：（1）由題可知：，令當，此時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增當，此時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上，當時，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；當時，在上單調(diào)遞增；當時，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為（2）由題可得：（a）；由（1）可得：當時，所以僅在有一個零點，滿足要求；當時，僅有一個零點，滿足要求；當時，又在上僅有一個零點，則（a），即，綜上，若在上僅有一個零點，則的取值范圍時例2已知函數(shù)（1）若是函數(shù)的一個極值點，試討論的單調(diào)性；（2）若在上

3、有且僅有一個零點，求的取值范圍【解答】解：（1），是函數(shù)的一個極值點，則，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減當時，在，上單調(diào)遞減，在遞增綜上，當時，在上單調(diào)遞減當時，在，上單調(diào)遞減，在遞增（2）在上有且僅有一個零點，即方程有唯一解，令，令，可得或時，時，時，在遞增，在，遞減，且時，時，或，或所以，的取值范圍，例3已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點，；，【解答】解：（），當時，當時，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，令，可得或，當時，當或時，當時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時， 且等號不恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，當或時，當時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)

4、遞減綜上所述：當 時， 在上單調(diào)遞減；在上 單調(diào)遞增；當 時， 在， 和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當 時， 在 上單調(diào)遞增；當 時， 在和， 上單調(diào)遞增；在， 上單調(diào)遞減（）證明：若選，由 （）知， 在上單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減， 上 單調(diào)遞增注意到 在 上有一個零點；，由 得，當 時，此時 無零點綜上： 在 上僅有一個零點另解：當，時，有，而，于是，所以在沒有零點，當時，于是，所以在，上存在一個零點，命題得證若選，則由（）知：在， 上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，當 時，此時 無零點當 時， 單調(diào)遞增，注意到，取，又易證，在上有唯一零點，即在上有唯一零點綜上： 在 上有唯一零點題型

5、二：零點問題之二個零點例4已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解答】解：（1）由，可得，當時，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；當時，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時，由，可得或；由，可得；即有在，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，遞增；在，遞減；綜上：當時，在遞減；在遞增；當時，時，在上遞增；時，在，遞增，在，遞減；時，在，遞增；在，遞減（2）由（1）可得，當時，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個零點，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個零點，故時，有2個零點；當時，所以只有一個零點，不合題意；當時，若時，在遞增，不

6、存在2個零點，不合題意；若，在遞增，又當時，不存在2個零點，不合題意，當時，在單調(diào)增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個零點，不合題意；綜上，有兩個零點時，的取值范圍為例5已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解答】解：（1）的定義域為，且，當時，此時在上單調(diào)遞增；當時，由解得，由解得，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不合題意；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當時，函數(shù)至多有一個零點，不合題意；當時，由于，且，由零點存在性定理可知，在上存

7、在唯一零點，由于，且（由于，由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點；綜上，實數(shù)的取值范圍為例6已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，且（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解答】解：（1），時，則時，在遞減，時，在遞增，當時，由得，若，則，故在遞增，若，則當或時，時，故在，遞增，在遞減；綜上：時，在遞減，在遞增，時，在，遞增，在遞減；時，在遞增；（2）時，在遞增，不可能有2個零點，當時，在，遞增，遞減，故當時，取極大值，極大值為，此時，不可能有2個零點，當時，由得，此時，僅有1個零點，當時，在遞減，在遞增，故，有2個零點，解得：，而（1），取，則（b），故在，各有1個零點，綜上，的取值范圍

8、是，題型三：零點問題之三個零點例7已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）若方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）的定義域為，當時，在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，當時，所以無極值，當時，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值（2）設，即，若，則當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，至多有兩個零點若，則，（僅（1），單調(diào)遞增，至多有一個零點若，則，當或時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，要使有三個零點，必須有成立由（1），得，這與矛盾，所以不可能有三個零點若，則當或時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，要使有三個零點，必須有成立，由（1），得，由及，得，并且，當時，綜上，使有三個零點的的取值范圍為例8已

9、知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)的定義域，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得極小值，沒有極大值，由）整理可得，令，則可得，易得當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故時，函數(shù)取得最小值即，故原方程可轉(zhuǎn)化為，令，則，因為，易得當或時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得極大值（1），當時，函數(shù)取得極小值（e），由題意可得，與個交點，則，解可得，故的范圍例9已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍【解答】解：（1），時，在遞增，時，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在

10、，遞增，綜上，時，在遞增，時，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，若有三個零點，只需，解得：，故題型四：零點問題之max，min問題例10已知函數(shù)，（1）當為何值時，軸為曲線的切線（2）設在，單調(diào)遞增，求的取值范圍（3）用，表示，中的最小值，設函數(shù)，討論零點的個數(shù)【解答】解：（1）設曲線與軸相切于點，則，解得，因此當時，軸為曲線的切線；（2），導數(shù)為，由題意可得在，恒成立，即有的最小值，由的導數(shù)為在遞增，即有最小值為4，則，解得；（3）當時，函數(shù)，故在時無零點當時，若，則（1），（1），（1）（1），故是函數(shù)的一個零點；若，則（1），（1），（1）（1），故不是函數(shù)的零點；當時，因

11、此只考慮在內(nèi)的零點個數(shù)即可當或時，在內(nèi)無零點，因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，而，（1），當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，故當時，取得最小值若，即，則在內(nèi)無零點若，即，則在內(nèi)有唯一零點若，即，由，（1），當時，在內(nèi)有兩個零點當時，在內(nèi)有一個零點綜上可得：當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點例11已知函數(shù)，（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）用，表示，中的最小值，設函數(shù)，討論零點的個數(shù)【解答】解：（1）若函數(shù)的定義域為，則任意，使得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為（

12、2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)且任意，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范圍為，（3）因為當時，所以，所以在上無零點，當時，過點，且對稱軸，作出的圖象，可得只有一個零點，當時，過點，且對稱軸，當，即時，只有一個零點，當，即時，的零點為，由兩個零點，當，即時，令，解得，且，若，即時，函數(shù)有3個零點，若，即時，函數(shù)有1個零點，若若，即時，函數(shù)有2個零點，綜上所述，當，時，只有一個零點，當或時，有兩個零點，當，時，有三個零點例12已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用，表示，中較大者，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍【解答】

13、解：（1），當時，在上單調(diào)遞增，當時，當，單調(diào)遞增， 當，單調(diào)遞減；（2）當時，在無零點，當時，（e），（e），若（e），即，則是的一個零點，若（e），即，則不是的零點，當時，所以此時只需考慮函數(shù)的零點的情況因為，當時，在上單調(diào)遞增所以：（）當時，（e），在上無零點；（）當時，（e），又，所以此時在上恰有一個零點；當時，由（1）知，在遞減，遞增，又因為（e），所以此時恰有一個零點綜上，題型五：零點問題之同構(gòu)法例13已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：方法一：由可得，設，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）當時，令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，（1），此時在區(qū)間

14、內(nèi)無零點；當時，（1），此時在區(qū)間內(nèi)有零點；當時，令，解得或1或，且，此時在單減，單增，單減，單增，當或時，此時在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；綜合知在區(qū)間內(nèi)有零點方法二：由題意可得，即，因為當時等號成立，所以，即，令，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，所以例14已知（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍（2）若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍【解答】解：（1），所以，當時，所以在，單調(diào)遞增，又因為，所以在，上無零點；當時，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，所以若，即時，在，上無零點，若，即時，在，上有一個零點，當時，在，上單調(diào)遞減，在，上無零

15、點，綜上當時，在，上有一個零點；（2）由，即，即，則有，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，因為關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，則方程，有兩個不同的實數(shù)解，令，則，當時，當時，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以（1），當時，當時，所以例15已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求的取值范圍【解答】解析：（1）當時，顯然在單調(diào)遞增，且，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增在處取得極小值，無極大值（2）函數(shù)有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，設，則，單調(diào)遞增，有兩個解，即有兩個解令，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，當時，題型六：零點問題之零點差問題例16已知關于的函數(shù)，與，

16、在區(qū)間上恒有（1）若，求的表達式；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求證：【解答】解：（1）由得，又，所以，所以，函數(shù)的圖象為過原點，斜率為2的直線，所以，經(jīng)檢驗：，符合任意，（2），設，設，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以（1），所以當時，令所以，得，當時，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當時，即時，即，解得，綜上，（3）當時，由，得，整理得，令，則，記，則，恒成立，所以在，上是減函數(shù)，則（1），即，所以不等式有解，設解為，因此當時，設，則，令，得，當時，是減函數(shù)，當，時，是增函數(shù)，（1），則當時，則，因此，因為，所以，當時，因為，為偶函數(shù)，因此也成立，綜上所述，例17已知函數(shù)（1）如，

17、求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：【解答】解：（）當時，故當或時，；當或時，從而在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少；（）由條件得：（2），即，故，從而因為，所以將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故，又，即由此可得于是例18已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當，時，函數(shù)有兩個極值點，證明：【解答】（1）解：當時，令，可得，令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明：函數(shù)的定義域為，令，因為函數(shù)有兩個極值點，所以，是函數(shù)的兩個零點，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，由，可得，因為，所以，所以要證，即證，只需證（2），因為，所以（2），所

18、以，得證題型七：零點問題之三角函數(shù)例19已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【解答】證明：（1）的定義域為，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，由零點存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）由（1）知，當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，由零點存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點，結(jié)合單調(diào)性可知，當，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減當，時，于是，單調(diào)遞減，其中，于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞

19、減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個零點0，由函數(shù)零點存在性定理可知，在，上有且只有一個零點，當，時，則恒成立，因此函數(shù)在，上無零點綜上，有且僅有2個零點例20已知函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【解答】證明：（1）函數(shù)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當時，而，存在唯一，使得，當時，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當，時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點，且，又當時，；，在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，在區(qū)間，上存在一個零點，當時，設，則，在上單調(diào)遞減，當時，當時，無零點，時，又，當時，無零點，當時

20、，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，函數(shù)有且僅有2個零點例21已知函數(shù)求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）在上有且僅有2個零點【解答】證明：（1）因為，所以，設，則，則當時，所以即在上遞減又，且是連續(xù)函數(shù)，故在上有唯一零點當時，；當時，所以在內(nèi)遞增，在上遞減，故在上存在唯一極大值點（2）因為，所以，設，則，則當時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減由（1）知，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又，所以，又的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當內(nèi)時，在內(nèi)遞減，又因為，且的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當時，所以，從而在上沒有零點，綜上，有且僅有兩個零點例22已知函數(shù)（1）證明：，（2）判斷的零點個數(shù)，并給出證明過程【解答】解：（1）證明：

21、因為，所以為偶函數(shù)，不妨設，所以，所以，當，時，當，時，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，所以，即在，為減函數(shù)，故，即，故當，時，；（2）由（1）得：當，時，函數(shù)有且只有1個零點為，當，時，即在，為增函數(shù)，即（3），即函數(shù)在，無零點，當，時，即函數(shù)為增函數(shù)，又，（3），即存在使得，即當時，當時，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，（3），即函數(shù)在，只有1個零點，又函數(shù)在為偶函數(shù)，綜合可得：函數(shù)在，有1個零點，在無零點，在，無零點，故函數(shù)在上有3個零點題型八：零點問題之取點技巧例23已知函數(shù)（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為

22、，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求導函數(shù)，結(jié)合定義域由得單調(diào)遞減區(qū)間，由得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求得，分討論：當時，單調(diào)遞增，由零點存在性定理可作出判斷；當時，可直接代入判斷；當時，有最小值，再分討論可得結(jié)果.【詳解】（1）當時，（），則.由得；由得.所以，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意得， 當時，恒成立，單調(diào)遞增，取且，則，所以，存在唯一，使，符合題意； 當時，無零點，與題意不符； 當時，由得，當，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.所以.（i）當時，有唯一零點，符合題意.（ii）當時，令，則，所以在單調(diào)遞減，由，所以，又，所以無零點，與題意不符.（iii）當時，顯然，又，使；設，

23、則，令，則，所以函數(shù)即在單調(diào)遞增，從而，所以在單調(diào)遞增，又，使得，有個零點，與題意不符.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第（2）問在討論時，關鍵點是由零點的存在性定理尋找包含零點的區(qū)間.例24已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，且）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)在上的唯一的極值點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，得到在內(nèi)無變號根或無根；設，通過討論的范圍，求出函數(shù)的最小值，得到關于的不等式，解出即可；（3），令，通過討

24、論的范圍，去掉絕對值，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)，確定的取值范圍即可【詳解】解：（1），當時，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減；當時，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；綜上，當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）由題意可求得，因為是函數(shù)在上的唯一的極值點，所以在內(nèi)無變號根或無根. 設，則，當且時，所以在上單調(diào)遞增，符合條件.當時，令得，遞減，遞增.所以，即；綜上所述，的取值范圍為 （3）由題意得：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（）當時，則，所以.因為，所以，因此在上單調(diào)遞增.（）當時，則，所以.因為，即，又，所以，因此在上單調(diào)遞減.綜合（）（）可知，當時，

25、因為函數(shù)有兩個不同的零點，所以，即且， 而當且時，當時，故在內(nèi)有1個零點；當時，故在內(nèi)有1個零點；所以當且時，有兩個零點，故的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是難題例25已知函數(shù)（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若當時，關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）【分析】（1）由已知有，當顯然有一個零點，當時由的符號研究單調(diào)性，進而根據(jù)極值與0的關系，結(jié)合零點存在性定理，即可知的零點個數(shù)；（2）由題設，若，若，再由導數(shù)研究在上的單調(diào)性，根據(jù)，討論、，構(gòu)造中間函數(shù)

26、研究單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理確定實數(shù)解的個數(shù)，進而求參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，有：若，則，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)只有一個零點；若，令，則，有，此時在上單調(diào)遞增，有，此時在上單調(diào)遞減，（）當，即時，則，此時只有一個零點；（）當時，即時，則，又時，時，由零點存在定理可得：此時函數(shù)在R上有兩個零點綜上，當或時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點（2）設，設，由得，在上單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，當，即時，時，在單調(diào)遞增，又，此時關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，當，即時，由（1）知，則，又，故，當時，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)，關于x的方程有一個實數(shù)解1，當時，單調(diào)遞增，且，令，若

27、，故在單調(diào)遞增，則，時，在單調(diào)遞增，故，即，又，由零點存在定理可知，在，關于x的方程有兩個實數(shù)解，綜上，當時關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，則【點睛】關鍵點點睛：（1）討論參數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷零點的個數(shù).（2）設，應用導數(shù)可得單調(diào)遞增且，討論、并構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷實數(shù)解的個數(shù).例26已知函數(shù).（1）當時，求在處的切線方程；（2）設，若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（2）求出的導數(shù)，討論的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理進行判斷.【詳

28、解】解：（1）當時，切線方程為即；（2），.當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，.在上有且只有一個零點.取，使，且，則.即有兩個不同的零點.當時，此時只有一個零點.當時，令，得或.當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.當時，即.若或，則；若，則.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，即.若時，若，則.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當時，.無零點，不合題意.綜上，有兩個零點的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，屬于較難題.【過關測試】1已知函數(shù)為的導函數(shù)(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上

29、只有兩個零點【答案】(1)存在；極小值(2)證明見解析【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為判斷導函數(shù)是否存在變號零點，對求導后，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得結(jié)果；（2）當時，利用單調(diào)性得恒成立，此時無零點；當時，；當時，利用導數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得在上只有一個零點.由此可證結(jié)論正確.(1)由，可得，則，令，其中，可得，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值(2)由，當時，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，此時函數(shù)在上沒有零點； 當時，可得，所以是函數(shù)的一個零點；當時，由 ，令，可得，令則，當，可得；當，可得，即

30、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以存在使得，當時，；當時，又因為，所以存在使得，即是函數(shù)的一個零點綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個零點【點睛】關鍵點點睛：第二問中，分段討論并利用導數(shù)和零點存在性定理求解是解題關鍵.2已知函數(shù)，（e是自然對數(shù)的底數(shù)，(1)求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對函數(shù)進行求導，根據(jù)導數(shù)與0的關系判斷單調(diào)性得其最小值；（2）對進行二次求導，分為，和三種情形，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理得結(jié)果.(1)因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增

31、，所以(2)由題設：所以，令，因為，則，所以在上單調(diào)遞增；當時，由（1）知只有一個零點，不合題意，當時，因為在上單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，所以當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則所以沒有零點，不合題意；當時，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以存在滿足，所以，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，先證：，設，當時，單調(diào)遞減，當時，.單調(diào)遞增，所以，當且僅當時取等號，因為，所以，又因為，且所以，所以時，有且僅有兩個零點，故實數(shù)a的取值范圍為【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值主要是通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，若導函數(shù)含有參數(shù)，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論標準的制定

32、可考慮判別式、零點分布等知識，對于函數(shù)的零點主要依據(jù)為函數(shù)圖象與軸交點的情形，難點在與端點處函數(shù)值符號的判定.3已知函數(shù)f(x)2lnxx，g(x)（a1）(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)，討論h(x)的零點個數(shù)【答案】(1)答案見解析(2)當時，h(x)無零點；當時，h(x)有唯一的零點【解析】【分析】（1）求出，利用或可得答案；（2）求出，分、討論，利用導數(shù)判斷單調(diào)性和最值可得答案.(1)，令，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.(2)，當時，令且當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，此時，h(x)無零點，當時，令或，當時，單

33、調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，此時當時，當時，單調(diào)遞增，注意到，h(x)在上有唯一的零點.當時，h(x)在（0，）上單調(diào)遞增，注意到，h(x)在（2，6）上有唯一的零點，當時，令或，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，當時，單調(diào)遞增，注意到，h(x)在上有唯一的零點，綜上：當時，h(x)無零點；當時，h(x)有唯一的零點.【點睛】本題求零點問題關鍵是利用導數(shù)判斷出在處有最小值并判斷的正負，構(gòu)造函數(shù)利用零點存在性定理說明存在零點個數(shù)，考查了學生分析問題、解決問題的能力.4設(1)當b=1時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當在R上有且僅有一個零點時，求b的取值范圍.【答案】(1)

34、單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是(2)【解析】【分析】（1）代入，求解函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分類討論參數(shù)的取值范圍，利用導數(shù)求解函數(shù)的極值點，因有且只有一個零點，故極大值小于0，或者極小值大于0，進而求解參數(shù)的取值范圍.(1)解:當時，令，解得.當x變化時，變化情況如下：1+00+極大值極小值所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當時，即時，所以在上單調(diào)增，此時有且只有一個零點x=0，符合題意當時，當x變化時，變化情況如下：1+00+極大值極小值故當時，或，解得：；當時，當x變化時，變化情況如下：1+00+極大值極小值故當時，或，解得：；綜上所述：的取值范圍是.

35、【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理5已知函數(shù)，(1)若，分析f（x）的單調(diào)性；(2)若f（x）在區(qū)間（1，e）上有零點，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1)是上單調(diào)遞減函數(shù)；(2).【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合放縮法進行求解即可；（2）利用函數(shù)零點的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.(1)且，設，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)有最小值，因此有，設，時，即（取等號的條件是），是上的單調(diào)遞減函數(shù)；

36、(2)在區(qū)間上能成立，且，設，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有最大值，因此有，設，則，設，則在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故，亦即單調(diào)遞減，在區(qū)間上值域為，實數(shù)的范圍是 .【點睛】關鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)、放縮法是解題的關鍵.6已知函數(shù)（其中a，b為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為(1)求實數(shù)a，b的值；(2)證明：方程有且只有一個實根【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導，得，由題知，解方程得解.（2）令， 分三種情況討論：當，時 的零點情況；令，分兩種情況討論：當，時，對求導，借助單調(diào)性及零點存在性定理，判斷的零點情況，進而得證.(1)因為，所以因為的圖象在處

37、的切線為，所以解得(2)令函數(shù)，定義域為當時，所以；當時，所以；當時，由知在上單調(diào)遞增，又且函數(shù)連續(xù)不間斷，所以，有綜上所述，函數(shù)在有唯一的零點，且在上恒小于零，在上恒大于零令函數(shù)，討論如下：當時，求導得因為，所以，即函數(shù)在單調(diào)遞增又因為，所以函數(shù)在存在唯一的零點，所以方程在上有唯一的零點當時，法一：由（1）易證在上恒成立事實上，令，則因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立從而，所以方程在上無零點綜上所述，方程有且只有一個實根法二：因為，所以，所以，所以，所以，所以方程在上無零點綜上所述，方程有且只有一個實根【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而

38、函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，本題第一問考查導數(shù)的幾何意義，第二問利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，并借助零點存在性定理研究方程的實根，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用7已知函數(shù)(1)設函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)當時，證明函數(shù)在區(qū)間上無零點【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)，根據(jù)給定條件，求出在上恒成立的a的范圍作答.（2）利用導數(shù)探討函數(shù)在上的最小值大于0即可作答.(1)由求導得：，即，因在區(qū)間上是增函數(shù)，則，恒成立，當時，成立，即；當時，而，則，所以的取值范圍是.(2)當時，求導得，令，則，因此函數(shù)即在上單調(diào)遞增，而，則存在，使，即，當時，當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，而，即有，因此，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上無零點【點睛】思路點睛：可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為(或)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到8已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）當時，先求的導函數(shù) ，所以切線的斜率 ，然后再根據(jù)直線的點斜式方程寫出答案即