空間向量應用總復習課件

1、用空間向量解決立體幾何中的平行、垂直和夾角、距離問題一。知識再現(xiàn) 空間向量：(1)空間直角坐標系(2)向量的直角坐標運算(3)夾角和距離公式(1)空間直角坐標系zxyoA(x,y,z)(2)向量的直角坐標運算(3)夾角和距離公式OjikXYZAB二.兩個重要的空間向量1.直線的方向向量 把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個向量垂直于平面,記作n,這時向量n叫做平面的法向量. nabn求平面的法向

2、量的坐標的步驟第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標. 2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. ABCDOA1B1C1D1zxy1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是_ .練習1三、建立空間坐標系利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線注意已有的正、直條件相關幾何知識的綜合運用xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA

3、正四棱錐zABCD正三棱錐xyz長方體四、常用公式：1、求線段的長度：2、平行3、垂直4、求P點到平面的距離：，（N為垂足，M為斜足，為平面的法向量）5、求直線l與平面所成的角： ，(為的法向量)6、求兩異面直線AB與CD的夾角： 7、求二面角的平面角 :( 為二面角的兩個面的法向量）8、求二面角的平面角 : （射影面積法）9、求法向量：找；求：設 為平面內(nèi)的任意兩個向量， 為的法向量 則由方程組 可求得法向量垂直與平行的證明直線與直線的平行直線與直線的垂直直線與平面的平行共面向量的充要條件與平面的法向量垂直直線與平面的垂直垂直于平面內(nèi)不共線的兩個向量平面與平面的平行兩個平面的法向量平行平面與

4、平面的垂直兩個平面的法向量垂直設直線l，m的方向向量分別為 ， ，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)，m的位置關系：練習2直線與直線的平行與垂直平行：共線向量的充要條件 垂直：向量垂直的充要條件 lmlm 例1.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD 證明：設 依題意有 ， 于是 C C1BD 題型一：線線垂直例2.已知正三棱柱的各棱長都為1，是底面上邊的中點，是側棱上的點，且 ，求證：。解1：向量解法 設，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì) ，得你能建立直角坐標系解答本題嗎？題型一：線線垂直解2：直角坐標法 。 取

5、由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得 AM BC,如圖建立坐標系m-xyz。則 XYZG例2已知正三棱柱的各棱長都為1，是底面上邊的中點，是側棱上的點，且，求證：。題型一：線線垂直直線與平面的平行與垂直 設直線l的方向向量分別為 ，平面的法向量為 ，平面內(nèi)兩不共線向量 ，且l 平行：共面向量的充要條件 垂直：垂直于平面內(nèi)不共線的兩個向量 llABDCA1B1D1C1例3.在正方體AC1中，E為DD1的中點，求證：DB1/面A1C1EEFxyz即題型二：線面平行DACBBCDAFEXYZ評注：本題若用一般法證明，容易證AF垂直于BD，再證AF垂直于DE，或證AF垂直于EF則較難，用建立空間坐標系的方法

6、能使問題化難為易。題型三：線面垂直A1C1B1ACBEDzxy題型：線面平行、垂直平面與平面的平行與垂直 設平面、 的法向量分別為平行： 垂直： 練習2：設平面 ， 的法向量分別為 ， ，根據(jù)下列條件判斷 ， 的位置關系：XYZ題型四：面面平行例7.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證：面AED面A1FD1zxy證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A- xyz, 設正方體的棱長為2,則E(2,0,1),D(0,2,0), A1(0,0,2), D1(0,2,2),F(1,2,0),設平面AED的法向量為n1=(x，y，z)得取z=2，得 n1=(-1，

7、0，2)同理可得平面A1FD1的法向量為n2=(2，0，1)n1 n2 = -2+0+2=0 面AED面A1FD題型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1三種角的計算異面直線所成的角直線和平面所成的角二面角數(shù)量積： 夾角公式： 線線角復習線面角二面角小結引入求下列兩個向量夾角的余弦值（1） ， （2） . 異面直線所成角的計算異面直線所成角的范圍： 思考：結論：題型一：線線角線線角復習線面角二面角小結引入例一：題型一：線線角線線角復習線面角二面角小結引入解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設 則： 所以：所以 與 所成角的余弦值為題型一：線線角 問題：利用向量坐標法求兩條異面直

8、線夾角 的一般步驟是什么？(1) 恰當?shù)臉嫿臻g直角坐標系；(2) 正確求得對應點的坐標，空間向量 的坐標表示及其數(shù)量積和模；(3) 代入空間向量的夾角公式，求得其余 弦值；(4) 根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為幾何結論.PADGFEzxByC題型一：線線角解：如圖，建立空間直角坐標系。PADGFEzxByC2004年福州市第一次統(tǒng)測試題題型一：線線角練習：如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_. BC A MxzyB1C1D1A1CD題型一：線線角解: 以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A- xyz, 設正方體的棱長為2,則M(1,0, 0),C(

9、2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),于是, cos=.xPABDCEyz題型一：線線角練習：題型一：線線角在長方體 中，斜線與平面所成角的計算anPAO題型二：線面角直線與平面所成角的范圍： 思考：結論：題型二：線面角線線角復習線面角二面角小結引入練習： 如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是_ .題型二：線面角600例四：題型二：線面角在長方體 中，線線角復習線面角二面角小結引入在長方體 中，N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即練習1：題型二：線面角練習1：在長方體 中，又題型二：線

10、面角練習2： 的棱長為1.題型二：線面角正方體線線角復習線面角二面角小結引入練習3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO題型二：線面角解:建立如圖示的直角坐標系,則A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0, ). C(- ,0, 0 )設面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由 得 ，解得 取y= ,得n=(3, ,0)而BAOBAODPXYZ題型二：線面角例6 如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成

11、角的大小為450? 若存在，確定點E的位置；若不存在說明理由。 DBACEPxzy題型二：線面角解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，設BE=m，則xy2003年全國高考題ABCDEGA1B1C1z題型二：線面角二面角的平面角的計算PBAlabQnm題型三：二面角二面角的范圍：關鍵：觀察二面角的范圍線線角復習線面角二面角小結引入練習： 已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0), n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為_ .1350題型三：二面角題型三：二面角設平面例8:如圖:直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形 , A

12、B=AA1=4, E為AB的中點求: 1) 直線BD1與CE所成的角的余弦值; 2) 二面角A1-CE-D的余弦值.xzyOBACA1D1B1DC1E題型三：二面角練習1.在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS題型三：二面角解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 設平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小滿足

13、二面角A-SD-C的大小為 .xyzAA1BCDD1C1B1P題型三：二面角練習2：ABXYZABXYZ如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角BASO的余弦值OABCSxyz【課后作業(yè)】 【鞏固練習】 1 三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為PC中點 ,則PA與BE所成角的余弦值為_ . 2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_ . 3正方體中A

14、BCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點, 則二面角E-BC-A的大小是_ABCDMXYZABCDMGXYZ小結：1.異面直線所成角： 2.直線與平面所成角： 3.二面角：關鍵：觀察二面角的范圍五。距離的計算點與點距離點到直線的距離點到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個平行平面的距離異面直線的距離題型一：點到直線的距離說明：PABManPAOMN題型二：點到平面的距離xyzAA1BCDD1C1B1P?題型二：點到平面的距離例1求點P到平面距離步驟：1.建立適當?shù)目臻g直角坐標系2.寫出點的坐標（點P及內(nèi)三點）3.求出向量的坐標（點P與內(nèi)一點A連線向量，內(nèi)兩不共線向量）4.求的法向量n5.

15、求6.下結論例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB題型二：點到平面的距離FBACDEGXYZ題型二：點到平面的距離BAaMNnab題型三：異面直線的距離例1.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1題型三：異面直線的距離zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B1題型三：異面直線的距離會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB= 4, AB