正整數(shù)的方冪的方陣與費(fèi)馬定理

1、正整數(shù)的方冪的方陣與費(fèi)馬定理y2 方陣 =zn-2 個(gè) z2 方陣”），所以費(fèi)馬定理成立 .緒言與結(jié)論本文說(shuō)的整數(shù)是指正整數(shù)， 論證的是正整數(shù)的“ xn+yn=zn” 方程式 .1670 年，費(fèi)馬的兒子在清理其父遺著時(shí)發(fā)現(xiàn)了費(fèi)馬定理 .325 年之后，1995年英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯與其學(xué)生理查泰 勒應(yīng)用橢圓曲線的原理對(duì)費(fèi)馬定理作出了證明 . 筆者認(rèn)為，費(fèi)馬 定理是一個(gè)關(guān)于整數(shù)方冪之間關(guān)系的方程式命題， 一方面， 應(yīng)用 整數(shù)方冪方陣的原理對(duì)其作出證明，這似乎更合乎該命題的題 意；另一方面，記得我在念高中的時(shí)候，一位數(shù)學(xué)老師曾說(shuō)過(guò)， 一道代數(shù)方程式不只一個(gè)解法，應(yīng)有兩個(gè)以上的多個(gè)解法 . 基于

2、這個(gè)觀點(diǎn)， 筆者嘗試以整數(shù)方冪方陣的原理， 從費(fèi)馬定理不成立 的必要條件的角度，對(duì)費(fèi)馬定理進(jìn)行論證 .筆者研究結(jié)果表明，任何一個(gè)整數(shù)（n1 ）的2次冪均可表 為一個(gè)由“ 1”組成的方陣，任何一個(gè)整數(shù)的 n （3）次冪均可 表為一個(gè)由“該整數(shù)的n-2次冪（即nn-2）”組成的方陣，也 可表為一個(gè)由 nn-2 個(gè)由“1”組成的方陣組成的方陣群 .兩個(gè)整 數(shù)2次冪相加之和等于另一個(gè)整數(shù)的 2次冪（即x2+y2=z2 ）成 立，是在于 x2， y2， z2 三者方陣的組成元素相同、方陣數(shù)相同 （即均為一個(gè)由“ 1”組成的方陣） . 費(fèi)馬關(guān)于“不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于 2 的整數(shù)的方冪， 表為兩個(gè)整數(shù)的

3、同次方冪之和 (即 xn+y nz zn)”的定理之所以成立，是在于任何一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪表為一個(gè)方陣時(shí)，其組成的元素各不相同， xn， yn 兩者方陣不可能轉(zhuǎn)換為與 zn 方陣同一元素組成的方陣，即任何 一個(gè)次數(shù)大于 2的整數(shù)的方冪除以該整數(shù)的 2次冪，不可能等于 另一個(gè)整數(shù)的同次方冪減去 2次冪，亦即xn*x2工zn -2 (含 yn*y2工zn -2 )，不存在“ xn方陣+yn方陣二zn方陣”.同理， 如將 xn， yn， zn 三者方陣分別表為一個(gè)由 nn-2 個(gè)由“ 1”組成 的方陣組成的方陣群，雖然其方陣群的各個(gè)方陣的組成元素相 同，但其方陣群的方陣數(shù)各不相同，不存在xn

4、*zn-2=x2 (含yn*zn -2=y2 )，即不存在“ xn-2 個(gè) x2 方陣+yn-2 個(gè) y2 方陣=zn-2 個(gè) z2 方陣”.所以，“ (x2X xn -2 ) + (y2X yn -2 )工z2X zn -2” 成立 .一、“ xn+y n=z n”方程式中的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象在整數(shù)的“ xn+yn=zn”方程式中，如將 xn, yn, zn三者的 次數(shù)由 1 至 2、至 3 的等式做分析，不難發(fā)現(xiàn)其存在的一種數(shù)學(xué) 現(xiàn)象.事實(shí)告訴我們，當(dāng)xn, yn, zn三者的次數(shù)為1 (即n=1)時(shí)， 即在“x+y=z (z2)”方程式中，任何一個(gè)z (即大于2的整數(shù))均可表為兩個(gè)整數(shù)相加之和

5、,反之,任何兩個(gè)整數(shù)相加之和 均可表為另一個(gè)整數(shù).因此，“ x+y=z (z2)”成立.事實(shí)還告訴我們，xn, yn, zn三者的次數(shù)為2 (即n=2)時(shí), 即在“x2+y2=z2 （z2）”方程式中，不可能做到任何一個(gè)大于 2的整數(shù)平方（即z2）均可表為兩個(gè)整數(shù)平方相加之和，比如 62， 72， 82 不可能表為一個(gè)整數(shù)平方加另一個(gè)整數(shù)平方；反之， 也不可能做到任何一個(gè)整數(shù)平方加一個(gè)整數(shù)平方等于另一個(gè)整 數(shù)平方，比如“ 22+32”、“ 32+52”、“ 42+52”，其和不可能 等于另一個(gè)整數(shù)平方.因此，在“ x2+y2=z2 （z2）”方程式中， 只是存在部分一個(gè)整數(shù)平方（即 z2）可表

6、為兩個(gè)整數(shù)平方相加 之和，只是存在部分一個(gè)整數(shù)平方加一個(gè)整數(shù)平方等于另一個(gè)整 數(shù)平方.所以，“ x2+y2=z2 （z2）”成立.事實(shí)和費(fèi)馬定理告訴我們， xn， yn， zn 三者的次數(shù)為 3（即 n2）時(shí)，即在“ x3+y3=z3 （z2）”方程式中，任何一個(gè)整數(shù) 三次方（即z3）均不可能表為兩個(gè)整數(shù)三次方相加之和，反之， 任何兩個(gè)整數(shù)三次方相加不可能等于另一個(gè)整數(shù)三次方 . 因此，“x3+y3=z3 （z2）” 不成立.從以上事實(shí)看出，在整數(shù)的“ xn+yn=zn”方程式中，當(dāng) xn, yn, zn三者的次數(shù)為1 （即n=1 ）時(shí)，完全成立；當(dāng)xn, yn, zn 三者的次數(shù)為2 （即n

7、=2）時(shí)，部分成立；當(dāng)xn, yn, zn三者的 次數(shù)為3 （即n2）時(shí)，完全不成立.冪的次數(shù)僅是從1至2、至 3的遞升，其結(jié)果就發(fā)生了“完全成立-部分成立完全不成 立”如此截然不同的質(zhì)的變化 . 這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象隱藏著其中的奧秘 對(duì)此，如以數(shù)學(xué)矩陣的表達(dá)方式去研究它， 從中發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律性， 這對(duì)于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和另辟蹊徑破解費(fèi)馬定理，是有積極意義的 .二、“x+y=z (z2)”矩陣等式的共同特征圖1我們知道，任何一個(gè)整數(shù)都可表為一個(gè)由“ T組成的 行陣(或列陣)，如圖1所示.我們知道，在“ x+y=z (z2)”等式中，任何一個(gè) z (即 大于2的整數(shù))均可表為兩個(gè)整數(shù)相加之和，如用矩陣表示，均

8、可表為一個(gè)由“ 1”組成的行陣加另一個(gè)由“ 1”組成的行陣.從例證1至例證3看出，在“ x+y=z (z2)”行陣等式中 具有兩個(gè)共同特征，其一，x、y、z三個(gè)行陣均為由“1”組成， 其組成元素相同；其二，1個(gè)完整的z行陣是由1個(gè)完整的、小 于z的行陣加另1個(gè)完整的、小于z的行陣組成，x、y、z三者 行陣數(shù)相同.三、“x2+y2=z2 (z2)”矩陣等式的共同特征1.任何一個(gè)整數(shù)平方均可表為一個(gè)由“ 1”組成的方陣或三 角矩陣筆者在地圖與數(shù)學(xué)的組合、排列及三角矩陣一文(見(jiàn)數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)與研究2011年第19期)中，經(jīng)做圖證明得出結(jié)論：任 何一個(gè)整數(shù)(n1)的2次冪均可表為一個(gè)由“ 1”組成的方陣，

9、 而且這個(gè)方陣既可表為一個(gè)由“ 1”組成的三角矩陣，也可表為 兩個(gè)由“ 1”組成的三角矩陣，見(jiàn)圖 5.根據(jù)整數(shù)的2次冪的方陣和三角矩陣的規(guī)律，遵循組合數(shù)“循序逐增”的基本原 理，整數(shù)的2次冪的三角矩陣和方陣可以圖 6來(lái)表示.其定理為： n2=C2n+C2n+l,圖 6 n2 的三角矩陣和方陣圖2“x2+y2=z2 (z2)”矩陣等式的共同特征我們知道，在整數(shù)的“ x2+y2=z2”等式中，是部分成立.對(duì) 這部分成立的“ x2+y2=z2”等式如用矩陣等式表達(dá)出來(lái)， 并做分 析，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)其共同特征 .例證 1 32+42=52 的方陣和三角矩陣等式，見(jiàn)圖 7、圖 8.例證 2 62+82=1

10、02 的方陣和三角矩陣等式，見(jiàn)圖 9、圖 10.從例證1、例證2看出，在“ x2+y2=z2 (z2)”方陣(三 角矩陣同)等式中具有兩個(gè)共同特征，其一， x2, y2, z2三者 方陣均為由“ 1”組成，其組成的元素相同；其二，三者方陣均 為 1 個(gè)完整的方陣，即 1 個(gè)完整的 z2 方陣是由 1 個(gè)完整的、小 于 z2 的方陣加另 1 個(gè)完整的、 小于 z2 的方陣組成， 三者陣數(shù)相 同.“方陣(三角矩陣)的組成元素相同”和“ x2, y2 , z2三 者陣數(shù)相同”，這就是成立的“ x2+y2=z2 ”方陣(三角矩陣)等 式的共同特征，也是“ x2+y2=z2”能夠成立的兩個(gè)必要條件 此

11、兩個(gè)必要條件缺一不可 .根據(jù)“ n2=C2n+C2n+1 定理，“ x2+y2=z2”可置換為：( C2x+C2x+1) +( C2y+C2y+1) =( C2x+C2z+1) .四、整數(shù)n (3)次冪的方陣的規(guī)律研究結(jié)果表明，任何一個(gè)整數(shù)的n (3)次冪均可表為一個(gè)由“該整數(shù)的 n-2 次冪”組成的方陣， 也可表為一個(gè)由“該整 數(shù)的 n-2 次冪”組成的三角矩陣，還可表為兩個(gè)由“該整數(shù)的 n-2 次冪”組成的三角矩陣 .例證 1整數(shù) 2的 3次冪、 4次冪、 5次冪的方陣和三角矩陣（見(jiàn)圖11）.整數(shù) 3的 3次冪、 4次冪、 5次冪的方陣和三角矩陣（見(jiàn)圖12）.整數(shù) 4的 3次冪、 4次冪、

12、 5次冪的方陣和三角矩陣（見(jiàn)圖13）.根據(jù)整數(shù)的n （3）次冪的方陣和三角矩陣的規(guī)律，遵循 組合數(shù)“循序逐增”的基本原理， 整數(shù)的 n 次冪的三角矩陣和方 陣可以下圖來(lái)表示：圖 14 nn 的三角矩陣和方陣其定理為：nn= （C2n+C2n+1 x nn-2 （式中整數(shù)n2,方 冪n3）.根據(jù)“ n2=C2n+C2n+”1 定理， nn=（ C2n+C2n+1）x nn-2 又 可表為： nn=n2x nn-2. 此定理表明，由“ nn - 2”組成的 nn 方陣 亦可轉(zhuǎn)換為由若干以“ 1”為元素組成的方陣組成的方陣群 . 如 24，可表為：五、費(fèi)馬定理的另一種表述四川科學(xué)技術(shù)出版社于 198

13、5 年出版的古今數(shù)學(xué)趣話一 書的能下金蛋的母雞“費(fèi)馬猜測(cè)”古今談 對(duì)費(fèi)馬定理的原本內(nèi)容是這樣表述的： “不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表為兩個(gè)整 數(shù)的立方和， 也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表為兩個(gè)整數(shù)的四次 冪和.一般來(lái)說(shuō)，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2 的整數(shù)的方冪，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之和 . ”用現(xiàn)代的專業(yè)用語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是 當(dāng) n2 時(shí)，不定方程：xn+yn=zn 不存在正整數(shù)解 .根據(jù)上文求證到的“任何一個(gè)整數(shù)的n (3)次冪均可表為一個(gè)由該整數(shù)的 n-2 次冪組成的方陣”的結(jié)論， 費(fèi)馬定理 可以下面文字來(lái)表述：不可能把一個(gè)整數(shù)的立方的方陣表為兩個(gè)整數(shù)的立方的方 陣，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪的方陣

14、表為兩個(gè)整數(shù)的四次冪 的方陣 . 一般來(lái)說(shuō)，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于 2 的整數(shù)的方冪 的方陣，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之方陣 . 其不定方程為：(C2x+C2x+1 x xn-2+ (C2y+C2y+1 x yn-2= (C2z+C2z+1x zn-2.不存在正整數(shù)解 .已知n2=C2n+C2n+1那么，費(fèi)馬定理又可表為：( x2x xn-2 )+( y2x yn-2 )=z2x zn-2 不存在正整數(shù)解 .六、對(duì)“ xn+ynzzn”(n3)的證明研究結(jié)果表明，“ xn+yn=zn”(n3)之所以不成立，是在 于將 xn， yn， zn 表為整數(shù)的方冪的方陣時(shí)，這 3個(gè)整數(shù)的方冪 的方陣不同

15、時(shí)具備“方陣的組成元素相同”和“方陣的個(gè)數(shù)相同”這兩個(gè)必要條件，只是具備其中的一個(gè)必要條件.1.xn方陣+yn方陣工zn方陣：在于“方陣的個(gè)數(shù)相同”而 “方陣的組成元素不相同”例證1以33+43工53為例.已知：x3=33=33-2X 32, y3=43=43-2X 42, z3=53=53-2X 52.那么，33+43工 53 則為（33-2X 32） +（43-2X 42）工 53-2X 52.其方陣等式如圖15所示|從上圖看出，33+43工53,是在于x3, y3, z3三者方陣，雖 然方陣的個(gè)數(shù)相同（均為1個(gè)），但組成方陣的元素各不相同， x3方陣的組成元素是33-2 , y3方陣的組

16、成元素是43-2 , z3方 陣的組成元素是53-2.假如將x3, y3兩個(gè)方陣的組成元素改換 為同是z3方陣的組成元素“ 53-2”，那么，其方陣等式如圖16 所示.顯然，圖16的方陣等式是成立的.但是，此方陣53-2 53-253-253-2 53-2 53- 253-2 53-2 53-2已是“ 53-2X 32”的方陣，并非是“ 33-2X32”的方陣；此 TOC o 1-5 h z 方陣 53-2 53-2 53-2 53-253-2 53-2 53-2 53-253-2 53-2 53-2 53-253-2 53-2 53-2 53-2已是“ 53-2X42”的方陣，并非是“ 43

17、 -2X42”的方陣.可見(jiàn)，33+43工53是在于其3個(gè)方陣的組成方陣元素各不相 同.例證2以34+44工54為例.已知：x4=34=34-2X 32, y4=44=44-2X 42, z4=54=54-2X 52. 那么，34+44工 54 則為(34-2X 32) + (44-2X 42)工 54-2X 52.其方陣等式如圖 17 所示.從上圖看出，34+44工54,是在于x4 , y4, z4三者方陣的組 成元素各不相同，如將這 x4，y4 兩個(gè)方陣的組成元素改換為同 是 z4 方陣的組成元素“ 54-2”，那么，其方陣等式如圖 18所示.顯然，此方陣等式是成立的 . 但其表達(dá)的是“(

18、54-2X32) +(54-2X42) =54-2X 52”，并非是“ (34-2X 32) + (44-2X42) 工54-2X52”.例證3以63+83工103為例.已知： x3=63=63-2X 62, y3=83=83-2X 82,z3=103=103-2X102.那么，63+83工 103 則為(63-2X62) + (83-2X82)工 103-2X 102.其方陣等式表為：從上圖看出，63+83工103,是在于 x3, y3, z3三者方陣的 組成元素各不相同 . 如將上方陣等式的 x3, y3 兩個(gè)方陣的組成元 素改換為同是 z3 方陣的組成元素“ 103-2”,那么,其方陣等

19、式如圖 20 所示.顯然，此方陣等式是成立的但其表達(dá)的是“(103-2X 62) +(103-2X82)=103-2X 102”，并非是“(63-2X62)+(83-2X82) 豐 103-2X 102”.從例證 1 至例證 3 的方陣等式可知，如使“ xn+yn=zn”(n3)成立，在小于zn方陣的方陣中，必須存在兩個(gè)可轉(zhuǎn)換 為同是zn方陣的組成元素“ zn-2”組成的方陣：一個(gè)是可轉(zhuǎn)換 為“zn-2Xx2”的方陣，另一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“ zn-2Xy2”的方陣 整數(shù)n次冪的除法法則和事實(shí)告訴我們，只存在xn*x2=xn-2(含 yn* y2=yn-2 )等式，絕不會(huì)有 xn* x2=zn-2

20、(含 yn* y2=zn-2 ) 的計(jì)算結(jié)果 . 因此， 在小于 zn 方陣的方陣中， 絕不可能存在可轉(zhuǎn) 換為同是 zn 方陣的組成元素“ zn -2”組成的方陣，亦即不存在“xn 方陣 +yn 方陣 =zn 方陣” . 所以，費(fèi)馬定理成立，此證 .2.xn-2 個(gè)x2方陣+yn-2個(gè)y2方陣Mzn-2個(gè)z2方陣：在于“方陣的組成元素相同”而“方陣的個(gè)數(shù)不相同”根據(jù)“ nn=n2X nn -2”的定理，現(xiàn)將上文的例證 1、例證2 的方陣等式轉(zhuǎn)換為同由“ 1”組成的方陣等式進(jìn)行證明.從上圖看出，33+43工53,是在于x3, y3, z3三者方陣群的 方陣個(gè)數(shù)不相同 . 如將 x3， y3 兩者

21、方陣群的方陣個(gè)數(shù)改換為同是 z3方陣群的方陣個(gè)數(shù)“ 53 - 2”，那么，其方陣等式如圖22所示.從上圖看出，34+44工54,是在于x4 , y4, z4三者方陣群的 方陣個(gè)數(shù)不相同 . 如將 x4， y4 兩者方陣群的方陣個(gè)數(shù)改換為同是z4 方陣群的方陣個(gè)數(shù)“ 54 - 2”，那么，其方陣等式如圖 24所示.顯然，此方陣等式是成立的.但其表達(dá)的是“(32X 54-2 ) + (42X 54-2 ) =52X 54-2”，并非是“ (32X 34-2 ) + (42X 44-2 ) 豐 52 X 54-2.從例證1、例證2的方陣等式可知，如使“ xn+yn=zn” (n3) 成立，在小于 zn 方陣群的方陣群中，必須存在兩個(gè)可轉(zhuǎn)換為其 方陣個(gè)數(shù)與 zn 方陣群的方陣個(gè)數(shù)相同的方陣群：一個(gè)是可轉(zhuǎn)換 為“x2Xzn-2”的方陣群，另一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“ y2Xzn-2”的方 陣群.整數(shù)n次冪的除法法則和事實(shí)告訴我們，只存在 xn xn -2=x2 (含 yn* y2=yn-2 )等式，絕不會(huì)有 xn zn -2=x2 (含yn zn-2=y2 )的計(jì)算結(jié)果.因此