數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 4

1、第六編 數(shù) 列6.1 數(shù)列的概念(ginin)與簡(jiǎn)單表示法要點(diǎn)梳理1.數(shù)列的定義 按照 排列著的一列(y li)數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中 的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).一定順序基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)共四十六頁2.數(shù)列(shli)的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an+1 an其中nN*遞減數(shù)列an+1 an常數(shù)列an+1=an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動(dòng)數(shù)列an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，-1，1，-1，有限(yuxin)無限共四十六頁3.數(shù)列的表示法： 數(shù)列有三種表示法，它們分別是 、 和 .4.數(shù)列的通項(xiàng)公式(gngsh)

2、如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與 之間的關(guān)系可 以用一個(gè)公式 來表示，那么這個(gè)公式叫 做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.列表(li bio)法圖象法解析法序號(hào)nan=f(n)S1Sn-Sn-1an-1an+1an-1an+1共四十六頁基礎(chǔ)自測(cè)1.下列對(duì)數(shù)列的理解有四種： 數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*（或它的有限子集 1，2，3，n）上的函數(shù)； 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的； 數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立 的點(diǎn)； 數(shù)列的通項(xiàng)公式(gngsh)是惟一的. 其中說法正確的序號(hào)是 （ ） A. B. C. D. 解析 由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系知對(duì)，由數(shù) 列的分類知不對(duì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式不是惟一 的，不對(duì). C共四十六頁2.數(shù)列

3、1， ，的一個(gè)通項(xiàng)公式an是（ ） A. B. C. D. 解析 1可以寫成 ，分母(fnm)為3，5，7，9， 即2n+1,分子可以看為13,24,35,46,故 為n(n+2)，即 . 此題也可用排除法求解，只需驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，A 選項(xiàng)為 ，B選項(xiàng)為 ，C選項(xiàng)為 ，均不為1，故 排除A、B、C，從而選D.D共四十六頁3.在數(shù)列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*), 則a100等于 （ ） A.1B.-1C.5D.-5 解析(ji x) 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得該數(shù)列為1，5，4，-1，-5，-4， 1，5，4，. 由

4、此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1， 兩式相加可得an+3=-an，an+6=an， a100=a166+4=a4=-1. B共四十六頁4.若數(shù)列(shli)an的前n項(xiàng)和Sn=n2-1, 則a4等于( ） A.7B.8C.9D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7. A共四十六頁5.數(shù)列(shli)an中， ，Sn=9，則n= . 解析99共四十六頁題型一 由數(shù)列(shli)的前幾項(xiàng)寫數(shù)列(shli)的通項(xiàng)公式【例1】 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一 個(gè)通項(xiàng)公式： （1）-1，7，-13，19， （2）0.8，0.

5、88，0.888， （3） （4） （5）0，1，0，1， 題型分類(fn li) 深度剖析共四十六頁思維啟迪 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系.解 （1）符號(hào)問題(wnt)可通過（-1）n或（-1）n+1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5).（2）將數(shù)列變形為共四十六頁(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)?,原數(shù)列可化為(4)將數(shù)列統(tǒng)一為 對(duì)于分子3，5，7，9，是序號(hào)的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)

6、公式為bn=2n+1，對(duì)于分母2，5，10，17，聯(lián)想到數(shù)列1，4，9，16，即數(shù)列n2，可得分母的通項(xiàng)公式為cn=n2+1因此可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為共四十六頁 （1）由數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見(chn jin)數(shù)列的通項(xiàng)公式來求.（2）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn),對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整. 探究(tnji)提高共四十六頁知能遷移(qiny)1 寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （1）4，6，8，10，（2） （3） （4）3，3

7、3，333，3 333， 解（1）因?yàn)楦黜?xiàng)是從4開始的偶數(shù)， 所以an=2n+2. （2）由于每一項(xiàng)分子比分母少1，而分母可寫為 21，22，23，24，25，故所求數(shù)列的一個(gè)通 項(xiàng)公式可寫為 . 共四十六頁（3）由于帶有正負(fù)號(hào)，故數(shù)列可以用（-1）n+1來調(diào)整，而后去掉負(fù)號(hào)，觀察可得.將第二項(xiàng)-1寫成 .分母可化為3,5,7,9,11,13,為正奇數(shù)，而分子(fnz)可化為12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，故其一個(gè)通項(xiàng)公式可寫為（4）將數(shù)列各項(xiàng)改寫為 ，分母都是3，而分子分別是10-1，102-1，103-1，104-1，,所以共四十六頁題型二 由數(shù)列的遞推公式求通

8、項(xiàng)an【例2】根據(jù)下列條件(tiojin)，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式. （1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an； （3）a1=2，an+1=an+ （1）構(gòu)造等比數(shù)列；（2）轉(zhuǎn)化后 利用累乘法求解；（3）轉(zhuǎn)化后利用累加法求解. 解 （1）an+1=3an+2，an+1+1=3（an+1）， 數(shù)列an+1為等比數(shù)列，公比q=3,又a1+1=2, an+1=23n-1，an=23n-1-1.思維(swi)啟迪共四十六頁共四十六頁共四十六頁探究提高 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常(tngchng)用累加、累乘、構(gòu)造法求解.當(dāng)出現(xiàn)an=an-1+m時(shí)，

9、構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an=xan-1+y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an=an-1+f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) 時(shí)，用累乘法求解.共四十六頁知能遷移(qiny)2 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和基本 關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n2); （2）a1=1,an= an-1 (n2). 解 （1）an=an-1+3n-1 (n2), an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, a2=a1+31. 以上（n-1）個(gè)式子相加得 an=a1+31+32+3n-1 =1+3+32+3n-1= .共四十六頁共四十六頁題型三 由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)

10、an【例3】（12分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足 an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an. 由已知條件可將an=Sn-Sn-1（n2)代 入等式，得關(guān)于Sn與Sn-1的一個(gè)(y )等式，經(jīng)變形推 得數(shù)列 具有等差數(shù)列的特征，進(jìn)而求得Sn， 再得an. 思維(swi)啟迪共四十六頁解 當(dāng)n2, nN*時(shí)，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，共四十六頁 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系(gun x)是 ,此公式經(jīng)常使用，應(yīng)引起足夠的重視.已知an求Sn時(shí)方法千差萬別，但已知Sn求an時(shí)方法卻是高度統(tǒng)一.當(dāng)n2時(shí)求出an也適合n=1時(shí)的情形,可直接

11、寫成an=Sn-Sn-1,否則分段表示.探究(tnji)提高共四十六頁知能遷移(qiny)3 已知下列數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,求an 的通項(xiàng)公式： （1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b. 解 （1）a1=S1=2-3=-1， 當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1 =（2n2-3n）-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5， 由于a1也適合此等式，an=4n-5. （2）a1=S1=3+b, 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 當(dāng)b=-1時(shí)，a1適合此等式； 當(dāng)b-1時(shí)，a1不適合此等式. 當(dāng)b=-1時(shí)，an=23n-1; 當(dāng)b-1時(shí)，共四十六頁題型

12、四 數(shù)列的性質(zhì)【例4】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . （1）0.98是不是它的項(xiàng)？ （2）判斷此數(shù)列的增減性. （1）令an=0.98,看能否求出正整數(shù)n; （2）判斷an+1-an的正負(fù). 解 （1）假設(shè)0.98是它的項(xiàng)，則存在(cnzi)正整數(shù)n, 滿足 =0.98，n2=0.98n2+0.98. n=7時(shí)等式成立，0.98是它的項(xiàng). 思維(swi)啟迪共四十六頁此數(shù)列為遞增數(shù)列. （1）看某數(shù)k是否為數(shù)列中的項(xiàng)，就是看關(guān)于(guny)n的方程an=k是否有正整數(shù)解.（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性就是比較an與an+1的大小. 探究(tnji)提高共四十六頁知能遷移4 已知數(shù)列(shli)an的前n項(xiàng)和

13、Sn=-n2+24n （nN*）. （1）求an的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)n為何值時(shí),Sn達(dá)到最大?最大值是多少? 解 （1）n=1時(shí)，a1=S1=23. n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1) =-2n+25. 經(jīng)驗(yàn)證，a1=23符合an=-2n+25, an=-2n+25（nN*）.共四十六頁（2）方法(fngf)一 Sn=-n2+24n，n=12時(shí)，Sn最大且Sn=144.方法二 an=-2n+25，an=-2n+250，有n .a120，a130，故S12最大，最大值為144. 共四十六頁方法與技巧1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法（對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般(

14、ybn)用（-1）n或(-1)n+1來區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào)）；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系:an=思想(sxing)方法 感悟提高共四十六頁3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路： （1）算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想； （2）“an+1=pan+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an+1+ =p(an+ ),由待定系數(shù)法求出 ，再化為等比數(shù)列； （3）逐差累加或累乘法.4.創(chuàng)新內(nèi)容：體現(xiàn)新情境，體現(xiàn)與其它(qt)知識(shí)的交匯.共四十六頁失誤與防范1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非

15、零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列(y li)函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.2.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征，應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.共四十六頁一、選擇題1.數(shù)列(shli)1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第 100項(xiàng)是 （） A.14B.12C.13D.15 解析 易知數(shù)字為n時(shí)共有n個(gè)，到數(shù)字n時(shí)，總共的數(shù)字的個(gè)數(shù)為1+2+3+n= .易得

16、n=13時(shí)，最后一項(xiàng)為第91項(xiàng)，n=14共有14個(gè)，故第100項(xiàng)為14.A定時(shí)(dn sh)檢測(cè)共四十六頁2. 已知數(shù)列an中，a1=b (b為任意正數(shù))，an+1= (n=1,2,3,)，能使an=b的n的數(shù)值是 （） A.14B.15C.16D.17 解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b, 此數(shù)列的周期(zhuq)為3, 能使an=b的n的數(shù)值滿足n=3k-2 (kN*).C共四十六頁3.在數(shù)列(shli)an中，a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n2,nN*), 則 的值是（） A. B. C. D. 解析 由已知得a2=1+(-1)2=2, a3a2=a2+(-1

17、)3,a3= , a4= +(-1)4,a4=3, 3a5=3+(-1)5,a5= , C共四十六頁4.已知數(shù)列(shli)an的前n項(xiàng)和Sn=n3，則a5+a6的值為 （） A.91B.152C.218D.279 解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.B共四十六頁5.已知數(shù)列an滿足a1=0,an+1= (nN*)， 則a20等于(dngy)（） A.0 B. C. D. 解析 a2= a4= =0,數(shù)列an是周期為3的一個(gè)循環(huán)數(shù) 列, a20=a36+2=a2= .B共四十六頁6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5ak 8,則k等于(dngy)（） A.9B.

18、8C.7D.6 解析 Sn=n2-9n n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-10 a1=S1=-8適合上式，an=2n-10 （nN*） 52k-108,得7.5k9.k=8. B共四十六頁二、填空題7.已知an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(mnz)log2(Sn+1)=n+1,則 an= . 解析 由已知條件可得Sn+1=2n+1. Sn=2n+1-1， 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3, 當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n， n=1時(shí)不適合an，an=3（n=1）2n（n2）3（n=1）2n（n2）共四十六頁8.（2008四川文，16）設(shè)數(shù)列an中，a1=2,an+1=an+

19、n+1,則通項(xiàng)an= . 解析(ji x) 由an+1-an=n+1可得， an-an-1=n， an-1-an-2=n-1, an-2-an-3=n-2， a3-a2=3， a2-a1=2， 以上n-1個(gè)式子左右兩邊分別相加得， an-a1=2+3+n， an=1+（1+2+3+n）= +1.共四十六頁9.(2009北京理,14)已知數(shù)列an滿足(mnz)：a4n-3=1, a4n-1=0,a2n=an,nN*,則a2 009= , a2 014= . 解析 a2 009=a4503-3=1,a2 014=a1 007=a2524-1=0.10共四十六頁三、解答題10.已知數(shù)列(shli)a

20、n的通項(xiàng)an=(n+1) (nN*)， 試問該數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由. 解 an+1-an=（n+2） 當(dāng)n9時(shí)，an+1-an0,即an+1an； 當(dāng)n=9時(shí)，an+1-an=0，即an+1=an； 當(dāng)n9時(shí)，an+1-an0,即an+1an. 故a1a2a3a9=a10a11a12, 所以數(shù)列中有最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng).共四十六頁11.已知數(shù)列an中，an= (nN*,aR, 且a0). （1）若a=-7，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； （2）若對(duì)任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍. 解 （1）an= （nN*，aR，且 a0）， a=-7,an= (nN*). 結(jié)合函數(shù)(hnsh)f(x)= 的單調(diào)性.共四十六頁可知1a1a2a3a4;a5a6a7an1 (nN*).數(shù)列(shli)an中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.（2）an=1+對(duì)任意的nN*,都有ana6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性，5 6,-10a-8.共四十六頁12.已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(xR)同時(shí)滿足： 不等式f(x)0的解集有且只有一個(gè)元素； 在定義域內(nèi)存在0