數(shù)值分析 第一章 基礎(chǔ)知識(shí)資料

1、數(shù)值(shz)分析Numerical Analysis任課教師：任國彪rengbQQ:1336648313525524413Department of Mathematics of Zhengzhou University（鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系）23/jzyusername: yan2015password: yan2015鄭州大學(xué)碩士研究生課程（2014-2015學(xué)年第一(dy)學(xué)期） 共七十七頁2/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis計(jì)算的目的不在于數(shù)據(jù)，而在于洞察(dngch)事物。 理查德哈明The purpose

2、of computing is insight，not numbers. RichardWesleyHamming理查德哈明美國工程院院士,1968年圖靈獎(jiǎng)得主。共七十七頁3/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程主題 討論如何構(gòu)造高效適用的計(jì)算機(jī)數(shù)值算法，來解科學(xué)與工程中的數(shù)值計(jì)算問題(wnt)。課程內(nèi)容 各類數(shù)值算法的構(gòu)造、理論評(píng)價(jià)及程序?qū)崿F(xiàn)。 各應(yīng)用學(xué)科的共性問題共七十七頁4/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis算法和誤差分析；數(shù)據(jù)代數(shù)

3、插值；數(shù)據(jù)擬合；數(shù)值微分和數(shù)值積分；解線性代數(shù)方程組的直接法和迭代法；非線性方程和非線性方程組解法(ji f)；常微分方程初值問題的數(shù)值解法；計(jì)算工具C/Matlab和Mathematica；課程主要內(nèi)容共七十七頁5/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis微積分和常微分方程；線性代數(shù)；數(shù)值計(jì)算(j sun)程序設(shè)計(jì) （C/Matlab和Mathematica） 預(yù)備知識(shí)共七十七頁6/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis參考(cnko)教材教材李慶揚(yáng),

4、王能超,易大義.數(shù)值分析(第五版).北京:清華大學(xué)出版社,2008 李清善，宋士倉. 數(shù)值方法. 鄭州：鄭州大學(xué)出版社，2007.參考資料1.關(guān)治，陳景良. 數(shù)值計(jì)算方法. 北京：清華大學(xué)出版社，1990.2.周鐵，徐樹方等. 計(jì)算方法. 北京：清華大學(xué)出版社，2006.3.徐翠微，孫繩武. 計(jì)算方法引論. 北京：高等教育出版社，2005.4.John H.Mathews, Kurtis D.Fink. 數(shù)值方法(MATLAB版). 北京：電子 工業(yè)出版社，2005.5.徐士良. 數(shù)值分析與算法. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.6.葛哲學(xué).精通Matlab.北京：電子工業(yè)出版社，2008.7

5、.任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn).北京：高等教育出版社,2007.共七十七頁7/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學(xué)活動(dòng)和計(jì)劃 周次課次 課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 備注 2周二 3課時(shí) 第一章 基礎(chǔ)知識(shí) 3周二3課時(shí)第二章 代數(shù)插值14周二 3課時(shí)第二章 代數(shù)插值25周二3課時(shí)第三章 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法16周二3課時(shí)第三章 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法27周二3課時(shí)第四章 數(shù)值微分與數(shù)值積分18周二3課時(shí)第四章 數(shù)值微分與數(shù)值積分29周二3課時(shí)習(xí)題課10周二3課時(shí)第五章 解線性代數(shù)方程組的直接法111周二3

6、課時(shí)第五章 解線性代數(shù)方程組的直接法21.8.1 教學(xué)內(nèi)容時(shí)間安排共七十七頁8/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學(xué)活動(dòng)和計(jì)劃 周次課次 課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 備注 12周二 3課時(shí) 第六章 解線性代數(shù)方程組的迭代法113周二3課時(shí)第六章 解線性代數(shù)方程組的迭代法214周二 3課時(shí)第七章 非線性方程的數(shù)值解法115周二3課時(shí)第七章 非線性方程的數(shù)值解法216周二3課時(shí)第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法117周二3課時(shí)第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法218周二3課時(shí)習(xí)題課19周二3課時(shí)總復(fù)習(xí)1.8.1

7、教學(xué)內(nèi)容時(shí)間安排注：數(shù)值算法演示主要用Matlab和C語言實(shí)現(xiàn)，有時(shí)采用Mathematica實(shí)現(xiàn)。課后實(shí)驗(yàn)題可用任何一種計(jì)算工具完成。共七十七頁9/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學(xué)活動(dòng)和計(jì)劃 1.8.1 電子教案和課后習(xí)題請(qǐng)登錄163郵箱 賬戶： 密碼：zzumoe2014(請(qǐng)不要修改)下載電子教案、算法實(shí)現(xiàn)代碼及課后習(xí)題。 1.每周周一上傳本周課程電子教案，每周周三上傳本周課程的算法實(shí)現(xiàn)代碼。每章學(xué)習(xí)完成上傳本周習(xí)題。 2.請(qǐng)結(jié)合教材及電子教案課前預(yù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容，課后及時(shí)復(fù)習(xí)并調(diào)試算法代碼，完成

8、習(xí)題。 共七十七頁10/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis第一章 基礎(chǔ)知識(shí) 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)(kxu)方法1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 1.3 浮點(diǎn)數(shù)系1.4 誤差的基本概念 1.5 數(shù)值算法的穩(wěn)定性 1.6 計(jì)算工具 1.7 參考教材1.8 課程教學(xué)活動(dòng)和計(jì)劃 共七十七頁11/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1 計(jì)算(j sun)第三種科學(xué)方法 “當(dāng)今，科學(xué)活動(dòng)可分為三種:理論、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算。定義計(jì)算科學(xué)最好是通過比較它的核心活動(dòng)和實(shí)

9、驗(yàn)及理論的核心活動(dòng)。試驗(yàn)科學(xué)家從事于測(cè)量和設(shè)計(jì)科學(xué)設(shè)備及利用這些設(shè)備去進(jìn)行測(cè)量，致力于可控、可重復(fù)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)以及分析這些試驗(yàn)的誤差；理論科學(xué)家研究實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系、這些關(guān)系滿足的原理（如牛頓定律、對(duì)稱性原理等）及把這些原理運(yùn)用到具體特殊情形所需的數(shù)學(xué)概念和技術(shù)；計(jì)算科學(xué)家構(gòu)造求解科學(xué)問題的計(jì)算方法，把這些方法軟件化，設(shè)計(jì)和進(jìn)行試驗(yàn)，分析這些數(shù)值試驗(yàn)的誤差。他們研究計(jì)算方法的數(shù)學(xué)特征，通過計(jì)算揭露所求解科學(xué)問題的基本性質(zhì)和規(guī)律。” 諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、計(jì)算物理學(xué)者Wilson教授共七十七頁12/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Anal

10、ysis 試驗(yàn)(shyn)方法伽利略Galileo1564-1642理論方法牛頓Newton1643-1727計(jì)算方法馮.諾依曼Neumann 1903-19571.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十七頁13/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1 計(jì)算(j sun)第三種科學(xué)方法全球高性能計(jì)算機(jī)500強(qiáng)（TOP 500）2010.05.31共七十七頁14/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.1 計(jì)算第三種科學(xué)(kxu)方法2010年6月的Top

11、500()超級(jí)計(jì)算機(jī)排行上，來自中國的超級(jí)計(jì)算機(jī)“星云”以其峰值理論運(yùn)算能力為2.98 PFlop/s，而Linpack性能則為1.27PFlop/s，位于第35屆超算排行榜第二位，這是中國超級(jí)計(jì)算機(jī)在Top500榜單歷史上的最高名次。 位列本次Top500第一名的超級(jí)計(jì)算機(jī)是來自Cray的美洲豹“Jaguar”，憑借1.75 PFlop/s(每秒1750萬億次)的計(jì)算能力繼去年12月份之后再次成為冠軍。而值得注意的是，“Jaguar”采用了224162個(gè)處理器核心，而名列第二的“星云”則只用了120640個(gè)處理器核心。 Top10排名中IBM “Roadrunner” 位列第三，Cray K

12、raken位列第四,而德國的JUGENE憑借IBM藍(lán)色基因位列第五。而從國家角度來看，有7臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)位于美國，歐洲1臺(tái)，而中國有2臺(tái)，分別是星云與位于第七的天河一號(hào)。 共七十七頁15/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 美洲豹Jaguar 美國橡樹嶺國家實(shí)驗(yàn)室 目前，橡樹嶺國家實(shí)驗(yàn)室承擔(dān)著很多科學(xué)計(jì)算相關(guān)(xinggun)項(xiàng)目，其中包括惡劣天氣模擬、星體研究、生物元素研究、新型燃料、聚變以及火山爆發(fā)模擬等等。 橡樹嶺實(shí)驗(yàn)室承擔(dān)著全球首個(gè)對(duì)極端天氣變化的模擬以及全球變暖 的進(jìn)程等等。 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十

13、七頁16/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis IBM走鵑 美國洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室 走鵑超級(jí)計(jì)算機(jī)造價(jià)高達(dá)1.33億美元，它由IBM和洛斯阿拉莫斯 (Los Alamos)國家實(shí)驗(yàn)室技術(shù)人員共同開發(fā)和組裝。走鵑提供給美國軍方使用，其運(yùn)算速度達(dá)到了1.026 petaflop，即每秒鐘可進(jìn)行(jnxng)1026萬億次浮點(diǎn)運(yùn)算，是全球首個(gè)突破千萬億次的超級(jí)計(jì)算機(jī)。 主要用于運(yùn)算分析美國軍方的機(jī)密軍事數(shù)據(jù)，如核武器及其他軍事戰(zhàn)略數(shù)據(jù)等，并模仿核戰(zhàn)爭爆發(fā)后對(duì)人類生存環(huán)境的破壞情況。正在做的項(xiàng)目有：納米技術(shù)、核聚變，激光技

14、術(shù)、磁重聯(lián)技術(shù)、艾滋病毒研究、暗物質(zhì)、銅反應(yīng)和流體動(dòng)力學(xué)等研究。 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十七頁17/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 曙光魔方 上海超級(jí)計(jì)算中心位于上海超級(jí)計(jì)算機(jī)中心的曙光5000A首次亮相就讓中國的身影再一次躋身(j shn)前十行列。該系統(tǒng)總計(jì)擁有30720個(gè)計(jì)算核心、122.88TB內(nèi)存，最大性能180.6TFlops，峰值性能233.472TFlops. 據(jù)2008年統(tǒng)計(jì)，“魔方”上面運(yùn)行的應(yīng)用，包括氣象預(yù)報(bào)、生物藥物、生命科學(xué)、汽車、核電、鋼鐵、新材料、土木工程、物理、化學(xué)、航空、

15、航天、船舶等數(shù)十個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。上海市著力發(fā)展的九大高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)，如商用飛機(jī)、新材料、醫(yī)藥、重大裝備、新能源以及電動(dòng)汽車等六個(gè)領(lǐng)域都將依賴高性能計(jì)算技術(shù)。未來，“魔方”將助力上海國際金融中心建設(shè)，為金融機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)衍生產(chǎn)品、控制風(fēng)險(xiǎn)、提供各種計(jì)算解決方案。 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十七頁18/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis MareNostrum巴塞羅那超級(jí)計(jì)算中心 MareNostrum擁有10240顆處理器，峰值計(jì)算速度能夠達(dá)到每秒94.21萬億次浮點(diǎn)計(jì)算。組成MareNostrum的2560臺(tái)JS21刀片式計(jì)

16、算結(jié)點(diǎn)占據(jù)了大約半個(gè)籃球場(chǎng)（120平米）的面積，現(xiàn)在位于西班牙的巴塞羅那超級(jí)計(jì)算中心。 MareNostrum目前(mqin)的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，包含人類基因的研究、天氣預(yù)報(bào)、藥品研究等等領(lǐng)域。 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十七頁19/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 中國-科學(xué)計(jì)算 2010年6月的Top500()超級(jí)計(jì)算機(jī)排行中，來自中國的HPC超級(jí)計(jì)算機(jī)有24臺(tái)，在數(shù)量上與德國并列第四位。而Top10中“星云”排名第二，“天河一號(hào)”排名第七，中國超算首次進(jìn)入前兩名的行列。計(jì)算(j sun)數(shù)學(xué)方面，我國已故著名學(xué)者

17、馮康先生獨(dú)立于西方學(xué)者發(fā)展了有限元方法、辛幾何算法等重要方法，這些方法現(xiàn)在已經(jīng)是計(jì)算數(shù)學(xué)中具有核心地位的算法。我國科學(xué)家在計(jì)算科學(xué)和力學(xué)、材料工程、化學(xué)等學(xué)科的交叉領(lǐng)域也做出了諸多貢獻(xiàn)。 1.1 計(jì)算第三種科學(xué)方法共七十七頁20/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis實(shí)際(shj)問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序設(shè)計(jì)編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋說明 在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的算法步驟，編制出正

18、確的計(jì)算程序，再上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。 共七十七頁21/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 晶體生長模擬 海浪沖擊(chngj)結(jié)構(gòu)物模擬 橋墩受力模擬分子動(dòng)力學(xué)模擬發(fā)電機(jī)磁場(chǎng)模擬共七十七頁22/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2 計(jì)算機(jī)算法(sun f)及其評(píng)價(jià) 算法（Algorithm） 是一系列解決問題的清晰指令。也就是說，能夠?qū)σ欢ㄒ?guī)范的輸入，在有限時(shí)間內(nèi)獲得所要求的輸出。算法特性 有窮性：算法必須保證執(zhí)行有限步之后結(jié)束

19、。 確切性：算法的每一步驟必須有確切的定義。輸入：算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻畫運(yùn)算對(duì)象的初始情況。輸出：算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。可行性：算法原則上能夠精確地運(yùn)行，而且人們用筆和紙做有限次運(yùn) 算后即可完成。 共七十七頁23/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 1.2 計(jì)算機(jī)算法(sun f)及其評(píng)價(jià) 共七十七頁24/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis例1.2.1 （秦九韶算法(sun f)）設(shè)計(jì)算法求多項(xiàng)式的值.解：引

20、進(jìn)記號(hào)1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 共七十七頁25/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis可設(shè)計(jì)如下(rxi)算法：1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 請(qǐng)輸入多項(xiàng)式階數(shù)(單位:10000):10000請(qǐng)輸入自變量x的值:0.0001100000000階多項(xiàng)式在點(diǎn)0.000100的 取值:100010002.000100秦九韶算法運(yùn)行時(shí)間:0.750000 秒100000000階多項(xiàng)式在點(diǎn)0.000100的 取值:100010002.000100常規(guī)算法運(yùn)行時(shí)間:41.547000 秒Press any key to continu

21、eVC6.0環(huán)境C語言編程結(jié)果共七十七頁26/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 常規(guī)(chnggu)方法（用重復(fù)乘法計(jì)算冪，再把各項(xiàng)相加） 需要次加法和次乘法 秦九韶算法 次加法和次乘法 需要1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 共七十七頁27/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1.2 計(jì)算機(jī)算法(sun f)及其評(píng)價(jià) 算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)乘除法與加減法相比花費(fèi)的CPU時(shí)間較多，通常將算法所需要的乘除法的總次數(shù)作為計(jì)算量大小的尺度。 例如兩個(gè)n階矩陣相

22、乘的乘法次數(shù)是 , 則稱兩個(gè)n階矩陣相乘這一問題的時(shí)間復(fù)雜度為 .共七十七頁28/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2 計(jì)算機(jī)算法(sun f)及其評(píng)價(jià) 例1.2.2 試分析用定義法和消去法計(jì)算n階行列式的時(shí)間復(fù)雜度。解：n階行列式的計(jì)算需要計(jì)算n!項(xiàng),每項(xiàng)做n-1次乘法,因而用定義計(jì)算n階行列式的時(shí)間復(fù)雜度為n! (n -1). 消去法的第k步要把第k行的后n+1-k個(gè)元素同乘以某個(gè)值加到第k+1,k+2,n行相應(yīng)元素(k=1,2,n-1)，因而消去法的時(shí)間復(fù)雜度是共七十七頁29/76 鄭州大學(xué)2014-201

23、5學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis當(dāng)n=100的時(shí)候，可見兩種算法在時(shí)間復(fù)雜度上想去甚遠(yuǎn)，后者用個(gè)人電腦(千兆1G= )只需不到1秒，而前者用千萬億次計(jì)算機(jī)(每秒1千萬億次浮點(diǎn)運(yùn)算, )需要約 秒，需要的時(shí)間太長已經(jīng)(y jing)使得計(jì)算失去了意義。1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 共七十七頁30/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis當(dāng)前計(jì)算機(jī)的加減運(yùn)算(yn sun)和乘除運(yùn)算(yn sun)的速度相差甚微，因此有人提出將算法的所有運(yùn)算次數(shù)的總和作為時(shí)間復(fù)雜度的度量?，F(xiàn)代計(jì)

24、算機(jī)的運(yùn)算速度已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于數(shù)據(jù)的傳輸速度，這使得一個(gè)算法實(shí)際運(yùn)行的快慢在很大程度上依賴于該算法實(shí)現(xiàn)后數(shù)據(jù)傳輸量的大小，這一點(diǎn)對(duì)并行算法尤其重要。 1.2 計(jì)算機(jī)算法及其評(píng)價(jià) 如果時(shí)間復(fù)雜度對(duì)問題的大小n來說是多項(xiàng)式級(jí)(例如 )，則稱問題是可計(jì)算的，否則稱為不可計(jì)算的。一個(gè)問題可能有多種算法，達(dá)到算法復(fù)雜性下界的算法稱為最優(yōu)算法。共七十七頁31/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 所有的數(shù)值算法將要在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行，因而需要了解實(shí)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是如何(rh)表示的。在一臺(tái)典型的計(jì)算機(jī)中，每個(gè)數(shù)是由有限位二進(jìn)制數(shù)

25、字組成，實(shí)際上是用實(shí)數(shù)系R的一個(gè)離散子集來表示所有實(shí)數(shù)。 共七十七頁32/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 在IBM 3000系列計(jì)算機(jī)中，單精度浮點(diǎn)數(shù)(float)由32位二進(jìn)制數(shù)字表示(biosh)，其中 它表示如下形式的數(shù)其中7位二進(jìn)制數(shù)字的階，范圍是0127，但對(duì)每個(gè)階將自動(dòng)減去64，因此階的實(shí)際范圍是-6463. 稱(1.3.1)表示了一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)系。共七十七頁33/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis考慮機(jī)器數(shù) 的

26、正負(fù)指示符是0,表示 是正數(shù)。接著7位是1000 010是階，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制是最后24位數(shù)表示尾數(shù)(wish)，等價(jià)于因此，機(jī)器數(shù) 精確表達(dá)的十進(jìn)制數(shù)是1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 共七十七頁34/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis和實(shí)數(shù)系不同，在浮點(diǎn)數(shù)系(1.3.1)中，可以(ky)找到比 大的相鄰數(shù)c和比小的相鄰數(shù)b 這意味著實(shí)數(shù)在浮點(diǎn)數(shù)系(1.3.1)中表示的時(shí)候，位于區(qū)間 上的實(shí)數(shù)并不能得到準(zhǔn)確描述。實(shí)際上，區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是用 來表示的。 1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 共七十七頁35/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研

27、究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis為保證表示的唯一性，要求每個(gè)機(jī)器數(shù)在尾數(shù)的最左四位中至少有一個(gè)(y )位是1. 因此，在浮點(diǎn)數(shù)系(1.3.1)中，最小的正機(jī)器數(shù)是而最大的正機(jī)器數(shù)是在計(jì)算中，出現(xiàn)量級(jí)小于 的數(shù)的狀況稱為下溢，這時(shí)一般由將該數(shù)置為零；出現(xiàn)量級(jí)大于 的數(shù)的狀況稱為上溢，這種狀況導(dǎo)致計(jì)算停止。 1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 共七十七頁36/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3 浮點(diǎn)數(shù)系 對(duì)計(jì)算機(jī)而言，凡是在機(jī)器數(shù)系量級(jí)范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，除了部分是機(jī)器數(shù)外，大部分是由最相近的機(jī)器數(shù)為

28、近似值。 因此，實(shí)數(shù)在計(jì)算機(jī)中一般為近似值，這種近似值是通過數(shù)制轉(zhuǎn)換，并依據(jù)機(jī)器字長及確定的舍入規(guī)則(guz)產(chǎn)生的。由此而產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。 實(shí)際上，在實(shí)數(shù)的輸入、計(jì)算、輸出等每一個(gè)環(huán)節(jié)都有舍入誤差產(chǎn)生。目前的機(jī)器字長能夠保證舍入誤差足夠小，不會(huì)影響大部分科學(xué)和工程計(jì)算的精確度。共七十七頁37/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 誤差的來源誤差來自應(yīng)用計(jì)算手段解決實(shí)際問題的各個(gè)環(huán)節(jié)。建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)計(jì)算算法算法機(jī)器實(shí)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果分析算法設(shè)計(jì)編碼計(jì)算數(shù)學(xué)模型結(jié)果分析誤差共七十七頁3

29、8/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 模型誤差 /* Modeling Error */ 從實(shí)際問題(wnt)中抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)產(chǎn)生的誤差 觀測(cè)誤差 /* Measurement Error */ 通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 導(dǎo)致輸入數(shù)據(jù)的 誤差 方法誤差 (截?cái)嗾`差 /* Truncation Error */ ) 近似求解時(shí)產(chǎn)生的誤差 舍入誤差 /* Roundoff Error */ 由于計(jì)算機(jī)字長有限而在數(shù)值運(yùn)算的每一步所產(chǎn)生的誤差共七十七頁39/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng)

30、 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 例1.4.1 設(shè)一根鋁棒在溫度t時(shí)的實(shí)際長度為 ,在t=0時(shí)的實(shí)際長度為 .如果假定鋁棒的單位長度增長量與溫度成正比，得到如下數(shù)學(xué)模型其中 表示鋁棒在溫度t時(shí)的長度（理論長度）， 是通過試驗(yàn)觀測(cè)到的常數(shù), 則稱 為此模型的模型誤差，而 是比例系數(shù) 的觀測(cè)誤差。1.4.1 誤差的類型共七十七頁40/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 例1.4.2 對(duì)給定的數(shù) ，計(jì)算 的值.解：由冪級(jí)數(shù)展開式取前面有限n+1

31、項(xiàng)來近似計(jì)算，可得稱 為此算法的截?cái)嗾`差（方法誤差）。 1.4.1 誤差的類型共七十七頁41/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 誤差的類型總結(jié) 1.4.1 誤差的類型共七十七頁42/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 定義1.4.1 設(shè) 是某個(gè)量的準(zhǔn)確值， 為其近似值，稱 為近似值 的絕對(duì)誤差。 如果 ，則稱 為近似值 的絕對(duì)誤差限。 定義1.4.

32、2 稱 為近似值 的相對(duì)誤差。 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，也將 作為近似值 的相對(duì)誤差。如果 或 ，則稱 為近似值 的相對(duì)誤差限。 共七十七頁43/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 例1.4.3 用最小刻度為毫米的直尺測(cè)量桌子長度，讀數(shù)為1235mm. 設(shè)桌子的準(zhǔn)確長度為 ,而其近似值為 則近似值的絕對(duì)誤差限為0.5(mm),記為共七十七頁44/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差

33、(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 萬有引力常數(shù) 真空中光速 普朗克常數(shù) 電子的基本電荷 電子的靜質(zhì)量 常用物理量的取值范圍共七十七頁45/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 定義1.4.3 設(shè)實(shí)數(shù) 的近似值為 其中每個(gè) 是 中的一個(gè)數(shù)字，且 如果 的絕對(duì)誤差滿足就稱用 近似 時(shí)具有n位有效數(shù)字，或者說 準(zhǔn)確到該位。共七十七頁46/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4

34、 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 圓周率的近似值和有效數(shù)字 有效數(shù)字n 3位 5位 6位 共七十七頁47/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis練習(xí):設(shè) x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?3位5位4位共七十七頁48/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis有效數(shù)字與相對(duì)誤差(xin du w ch)的關(guān)系 有效數(shù)字 相對(duì)誤差限已知 x* 有 n 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤

35、差限為 相對(duì)誤差限 有效數(shù)字已知 x* 的相對(duì)誤差限為則可見 x* 至少有 n 位有效數(shù)字。共七十七頁49/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis初始數(shù)據(jù) 引起計(jì)算函數(shù)值的誤差1、函數(shù)(hnsh)值 A*的絕對(duì)誤差略去高階項(xiàng)：1.4 誤差的基本概念 1.4.3 誤差的累積共七十七頁50/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 問題(wnt)： 2、函數(shù)值 A*的相對(duì)誤差引起A 的很大誤差病態(tài)問題、壞條件問題共七十七頁51/76 鄭州大學(xué)2014-2

36、015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis3、初始數(shù)據(jù)誤差(wch)與計(jì)算結(jié)果誤差(wch)之間的關(guān)系共七十七頁52/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis3、初始數(shù)據(jù)誤差(wch)與計(jì)算結(jié)果誤差(wch)之間的關(guān)系共七十七頁53/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.1 設(shè) 是 的近似值， 是 的近似值，則 的絕對(duì)誤差界是 的絕對(duì)誤差界

37、是當(dāng) 且 時(shí)， 的絕對(duì)誤差界是共七十七頁54/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.2 設(shè) 是 的近似值， 是 的近似值，則 的相對(duì)誤差界是 的相對(duì)誤差界是當(dāng) 且 時(shí)， 的相對(duì)誤差界是共七十七頁55/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積例1.4.4 計(jì)算 并估計(jì)誤差，其中原始數(shù)據(jù)的誤差界為解：由定理1.4.1可得可見計(jì)算結(jié)果

38、 有三位有效數(shù)字。(?)共七十七頁56/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.3 設(shè) 是 的近似值，函數(shù) 在包含 和 的區(qū)間上有足夠階的導(dǎo)數(shù)，且 與 相比不太大，則有共七十七頁57/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積例1.4.5 設(shè) 求 的誤差解：因?yàn)?,則有定理1.4.3可知共七十七頁58/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)

39、年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis4、推論(tuln)1.在乘、除、開方運(yùn)算時(shí)，問題數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果 的相對(duì)誤差影響不大。2.盡量避免兩相近數(shù)的減法運(yùn)算。3.不宜用絕對(duì)值很小的數(shù)做除數(shù).當(dāng)x 與 y 同號(hào)且 x y 0 時(shí)，由公式 ( f ) 至少有一個(gè)絕對(duì)值大于1 x y 時(shí) , 至少有一個(gè)的絕對(duì)值很大y很小時(shí),很大共七十七頁59/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計(jì)算基本原則.避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。 由定理1.4

40、.2可見，若兩個(gè)相近的數(shù)相減，相對(duì)誤差會(huì)很大。這是因?yàn)槎咔懊娴挠行?shù)字相同，相減以后有效數(shù)字位數(shù)嚴(yán)重減少。例如當(dāng)充分大時(shí)應(yīng)變換來進(jìn)行運(yùn)算。共七十七頁60/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計(jì)算基本原則.兩個(gè)相差很大的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)。調(diào)整運(yùn)算次序可以避免這種情況發(fā)生。 例如 則有在計(jì)算 時(shí)由于對(duì)階 將 “吃掉了”， .共七十七頁61/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.

41、4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計(jì)算基本原則例1.4.6 在8位十進(jìn)制的機(jī)器上解方程利用求根公式而方程的根是 和1，即 錯(cuò)誤。這是因?yàn)樵?的計(jì)算式子中，分子遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減。使用求根的韋達(dá)公式 可以避免這種情況。共七十七頁62/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計(jì)算基本原則.盡量簡化計(jì)算步驟，不但可以節(jié)約解題的時(shí)間，還能減少舍入誤差。.避免被除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于除數(shù)絕對(duì)值的除法。這有可能導(dǎo)致上溢，也會(huì)增大原有的誤差 共七十七頁63/76 鄭州大學(xué)20

42、14-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 一個(gè)算法，如果在執(zhí)行它的過程中，舍入誤差可以在一定條件下得到控制，從而不影響算法得到可靠的結(jié)果，則稱它是數(shù)值穩(wěn)定的。否則稱之是不穩(wěn)定的。如果對(duì)輸入數(shù)值的微小誤差，經(jīng)過某個(gè)算法的運(yùn)算，輸出結(jié)果產(chǎn)生了較大變化，則稱算法是病態(tài)的；否則稱算法是良性的。共七十七頁64/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 例1.5.1建立一個(gè)算法來計(jì)算積分解：注意到兩邊在區(qū)間0,1上積分

43、可得從而可得迭代遞推格式共七十七頁65/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 按照以上關(guān)系編程計(jì)算可得 n= 0 積分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 積分值I(n)= 5.001673e-004 n= 2 積分值I(n)= 3.328343e-004 n= 3 積分值I(n)= 8.318346e-004 n= 4 積分值I(n)= -5.810028e-001 n= 5 積分值I(n)= 5.806218e+002 n= 6 積分值I(n)= -5.800410e

44、+005共七十七頁66/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 計(jì)算結(jié)果可靠碼？首先當(dāng) ，所以因此 是單調(diào)遞減收斂于0的數(shù)列，因此計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重錯(cuò)誤。產(chǎn)生計(jì)算謬誤的原因是： 如果 ，則計(jì)算 時(shí)產(chǎn)生999倍 的誤差，計(jì)算 時(shí)產(chǎn)生 倍 的誤差，誤差的傳播像洪水沖破閘門一樣泛濫成災(zāi)！可見以上的算法是病態(tài)和不穩(wěn)定的。共七十七頁67/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 我們可以改變以上格式

45、，取按照以上關(guān)系編程計(jì)算可得 n= 0 積分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 積分值I(n)= 5.001668e-004 上限1/n =1.000000 n= 2 積分值I(n)= 3.334167e-004 上限1/n= 0.500000 n= 3 積分值I(n)= 2.500500e-004 上限1/n =0.333333 n= 4 積分值I(n)= 2.000333e-004 上限1/n =0.250000 n= 5 積分值I(n)= 1.666905e-004 上限1/n= 0.200000 n= 6 積分值I(n)= 1.428750e-004 上限1/n =0.

46、166667算法是穩(wěn)定的舍入誤差得到良好的控制 共七十七頁68/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.6 計(jì)算(j sun)工具 本書涉及的數(shù)值算法已由前人用各種編程語言實(shí)現(xiàn)，它們經(jīng)歷了數(shù)十年的考驗(yàn)和無數(shù)專業(yè)人士的調(diào)試、優(yōu)化，是成熟、可靠的。在今后的學(xué)習(xí)和工作中，我們完全可以利用這些已有的算法庫減輕編程負(fù)擔(dān)，提高工作效率?？梢詫⒅饕Ψ旁趯?duì)問題的描述和對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析上面，而把繁瑣的算法實(shí)現(xiàn)和優(yōu)化細(xì)節(jié)交給現(xiàn)成的科學(xué)計(jì)算與工程軟件/庫來處理。然而，在應(yīng)用中要想準(zhǔn)確的選擇及靈活使用已實(shí)現(xiàn)的各種算法，必須對(duì)該算法的數(shù)學(xué)理論有

47、透徹的了解，并根據(jù)自己的課題做取舍。這也是工科各專業(yè)研究生學(xué)習(xí)本課程的切入點(diǎn)和動(dòng)因。共七十七頁69/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis數(shù)學(xué)軟件包：針對(duì)某一類數(shù)值計(jì)算問題的子程序集，大部分為自由軟件。常用的數(shù)學(xué)軟件包有：( ,/petsc)LAPACK(Linear Algebra PACKage),它是用于求解線性代數(shù)方程組、線性最小二乘問題和矩陣特征值問題的Fortran77子程序包；ITPACK，它是用于迭代求解大型(dxng)稀疏線性代數(shù)方程組的Fortran77子程序包；1.6 計(jì)算工具 共七十七頁70/76 鄭

48、州大學(xué)2014-2015學(xué)年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical AnalysisMINPACK，它是用于求解非線性方程組和非線性最小二乘問題的Fortran77子程序包；FITPACK,它是用于解決曲線和曲面擬合、數(shù)值微積分問題的Fortran77子程序包；ODEPACK,它是用于求解常微分方程問題的Fortran77子程序包；PETSc，它是求解偏微分方程問題的并行計(jì)算C程序包，而且還具有(jyu)計(jì)算性能分析和圖形可視化功能，主要用于在超級(jí)計(jì)算機(jī)上求解大規(guī)模問題。 1.6 計(jì)算工具 共七十七頁71/76 鄭州大學(xué)2014-2015學(xué)年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis數(shù)學(xué)軟件庫：面向各類數(shù)值計(jì)算問題的子程序集，一般是由軟件公司在一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件包的基礎(chǔ)上進(jìn)一步開發(fā)和包裝而產(chǎn)生(chnshng)的。目前常用的數(shù)學(xué)軟件庫有：NAG，是由NAG(Numerical Algorithms Group)公司開發(fā)的數(shù)值計(jì)算和統(tǒng)計(jì)算法的Fortran和C程序庫，可以在各種硬件平臺(tái)使用。()NR,是與數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中的經(jīng)典工具書Numerical Recipes一起發(fā)布的Fortran/C+語言數(shù)值計(jì)算程序庫。()SL