數(shù)值分析第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法講義.課件

1、2022年7月26日1例如： 時 ，第9章 常微分方程初值問題數(shù)值解法9.1 引言微分方程：包含自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)導數(shù)或微分的方程。例如： ，求定解條件：求解微分方程時，所附加的條件定解問題。初始條件：給出積分曲線在初始時刻的值初值問題。例如： 時 ，邊界條件：給出積分曲線在首末兩端的值邊值問題。常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)。偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)。2022年7月26日2一階常微分方程的初值問題：求解注意：解函數(shù)、積分曲線；微分函數(shù)。確定初值問題的解存在而且唯一：李普希茲條件。，2022年7月26日3如果存在實數(shù) ，使得稱 關(guān)于 滿足利普希茨條件， 為 的利普希茨常數(shù)。說明：

2、條件可理解為解函數(shù)無限接近時，微分函數(shù)也無限接近。定理1 設(shè) 在區(qū)域 上連續(xù)，且關(guān)于 滿足利普希茨條件，則對任意常微分方程初值問題當 時存在唯一的連續(xù)可微解 。2022年7月26日4關(guān)于方程的解對擾動的敏感性，有結(jié)論：定理2 設(shè) 在區(qū)域 上連續(xù)，且關(guān)于 滿足利普希茨條件，設(shè)初值問題 ， ，其解為 ，則說明： 定理表明解對初值的敏感性，即初值不同，解也有差異； 解得敏感性與微分函數(shù) 有關(guān)：當 的利普希茨常數(shù) 較小時，解對初值相對不敏感；當 較大時，初值的擾動會引起解劇烈變化病態(tài)問題；2022年7月26日5數(shù)值解法：在一系列離散點 上，求解近似值 ?！安竭M式”：順著節(jié)點排列順序，一步一步地向前推進

3、。步長：常用等步長 ，節(jié)點為單步法：計算 時，只用到前一點的值 步法：計算 時，用到前面 點的值2022年7月26日69.2 簡單的數(shù)值方法9.2.1 歐拉法與后退歐拉法初值問題：解的形式： 是通過點 的一條曲線積分曲線。特點：積分曲線上每一點 的切線斜率為2022年7月26日7尤拉方法： 將解區(qū)間 離散化，選擇步長 ，得到離散點： ； 由 切線 ，切線與 交點 ： 的近似值 ； 再由 向前推進到 ，得到折線 ，近似 。2022年7月26日8任意折線 ：過點 作直線 ，斜率 ，歐拉方法若初值 已知，由此可逐次算出：2022年7月26日9P281例1 求解初值問題解：歐拉公式為，2022年7月2

4、6日10局部截斷誤差：設(shè)前一步值準確，算下一步出現(xiàn)的誤差假設(shè)：泰勒展開函數(shù) ：局部截斷誤差：2022年7月26日11后退的歐拉法：離散化：求解微分方程的關(guān)鍵，消除導數(shù)項， 基本方法之一是用差商替代導數(shù)項。例如：向前的歐拉公式（顯式）2022年7月26日12同理：后退的歐拉公式（隱式）注意： 顯式計算方便，隱式穩(wěn)定性較好； 上式隱含 ，采用迭代法求解。2022年7月26日13歐拉公式的另一種理解：將常微分方程 改寫對微分方程從 到 積分由積分左矩形公式得再以 代替 ，以 代替向前的歐拉公式2022年7月26日14對微分方程從 到 積分由積分右矩形公式得再以 代替 ，以 代替后退的歐拉公式同理：2

5、022年7月26日15迭代法求解：后退的 歐拉公式逐步顯示 先用尤拉格式，求出初值 ： 再將結(jié)果代入微分函數(shù) ： 反復迭代，直到收斂：2022年7月26日16討論迭代的收斂性：因函數(shù) 對 滿足利普希茨條件比較歐拉的后退公式和其 次迭代結(jié)果兩式相減得由此可知：只要 迭代法就收斂到解 。2022年7月26日17可以證明：局部截斷誤差后退的歐拉公式向前的歐拉公式因此：平均可減少誤差梯形格式。（注意：誤差不可能消除，兩公式 不同。）2022年7月26日189.2.2 梯形方法向前 歐拉方法：后退 歐拉方法：梯形方法：兩者平均注意：梯形公式可有效減小誤差， 計算結(jié)果更接近實際值。（圖示表示梯形法計算結(jié)果

6、）2022年7月26日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即將上次結(jié)果代入 ）反復迭代，直到兩次迭代結(jié)果達到誤差要求。問題：每個節(jié)點，都需迭代計算，計算量太大。2022年7月26日20分析迭代過程的收斂性：比較梯形公式和其迭代公式，并相減兩式由利普希茨條件，有若選取 充分小，使得 ，則 時有2022年7月26日219.2.3 改進歐拉公式 先用向前歐拉公式，求得一個初步的近似值預測： 再用梯形公式，將結(jié)果校正一次校正：平均化形式：2022年7月26日22P284例2 用改進的 歐拉方法求解初值問題：解：2022年7月26日239.2.4 單步法的局部截斷誤差與階初值問題單步法求解的一

7、般形式為（其中多元函數(shù) 與 有關(guān)）當 含有 時，方法是隱式的，否則為顯式方法。顯式單步法可表示為稱為增量函數(shù)，例如對歐拉法有2022年7月26日24定義1 設(shè) 是初值問題的準確解，稱為顯式單步法的局部截斷誤差。注意：上述中假設(shè)在 前各步?jīng)]有誤差，故誤差是局部的。當 時，計算一步，則有局部截斷誤差：是計算一步的誤差，也是公式誤差。2022年7月26日25如果將函數(shù) 在 處泰勒展開歐拉法的局部截斷誤差為這里 稱為局部截斷誤差主項。顯然2022年7月26日26定義2 設(shè) 是初值問題的準確解，若存在最大整數(shù) 使顯式單步法的局部截斷誤差滿足則稱該方法具有 階精度。若將局部截斷誤差展開，寫成則 稱為局部截

8、斷誤差主項。2022年7月26日27以上定義對隱式單步法也適用。同樣將函數(shù) 在 處泰勒展開后退歐拉法的局部截斷誤差為這里 是一階方法，局部截斷誤差主項為2022年7月26日28同樣對梯形公式局部截斷誤差為故梯形法是二階方法，局部截斷誤差主項為2022年7月26日299.3 龍格-庫塔方法9.3.1 顯式龍格-庫塔法的一般形式對歐拉法歐拉法為 階，其增量函數(shù)為對改進的歐拉法其增量函數(shù)為比起歐拉法，增加了計算一個右函數(shù) 的值，有 階精度。2022年7月26日30提高公式階數(shù) ：增加增量函數(shù) 中的 值對于一階常微分方程，等價的積分形式提高公式階數(shù)：必須提高數(shù)值求積精度，需增加求積節(jié)點說明： 求積節(jié)點

9、 越多，積分精度越高，求解公式階數(shù)越大 增量函數(shù)注意： 級數(shù)， 階數(shù)，兩者不同2022年7月26日31對于二級顯式龍格-庫塔法：考察區(qū)間 內(nèi)一點 用 、 兩點的函數(shù)值 、 ：構(gòu)造增量函數(shù)2022年7月26日32對于 可用歐拉公式預測：因此有二級顯式龍格-庫塔法：2022年7月26日33同理，三級顯式龍格-庫塔法：注意：需用 、 的線性組合計算2022年7月26日34 級顯式龍格-庫塔法：R-K 方法這里 均為常數(shù)時為歐拉法，階數(shù)2022年7月26日359.3.2 二階顯式 R-K 法 時，R-K 方法計算公式：這里 均為待定常數(shù)期望：適當選取系數(shù)，使公式階數(shù) 盡量提高2022年7月26日36局

10、部截斷誤差為這里將函數(shù) 在 處泰勒展開注意 是二元函數(shù)，其導數(shù)應為全導數(shù)。2022年7月26日372022年7月26日38將結(jié)果代入局部截斷誤差：2022年7月26日39要使公式具有 階，必有即非線性方程組的解不是唯一的?？闪?022年7月26日40若取 ： ， 改進的歐拉法若取 ： ， ，中點公式：相當于數(shù)值積分的中矩形公式2022年7月26日419.3.3 三階與四階顯式 R-K 方法要得到三階顯式 R-K 方法，必須取 均為待定參數(shù)2022年7月26日42公式的局部截斷誤差為將 按二元函數(shù)泰勒展開，使這是8個未知量、6個方程的非線性方程組，解不是唯一的。2022年7月26日43常見的公式

11、之一：庫塔三階方法2022年7月26日44經(jīng)典公式之一：四階龍格-庫塔方法可以證明：四階龍格-庫塔方法的截斷誤差為2022年7月26日45P289例3 設(shè)取步長 ，從 到 用四階龍格-庫塔方法求解初值問題：解：公式為2022年7月26日46計算結(jié)果：注意：這里步長增大為 ， 計算精度比改進的歐拉法要高。2022年7月26日479.3.4 變步長的龍格-庫塔方法步長減小，局部截斷誤差減小，但： 求解范圍內(nèi)的計算步數(shù)增加，計算量增大； 步數(shù)增加會導致舍入誤差的嚴重積累。選擇步長時，需要考慮的兩個問題： 怎樣衡量和檢驗計算結(jié)果的精度？ 如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？2022年7月26日48考察經(jīng)典的四階龍格-庫塔公式：從節(jié)點 出發(fā)，先以 為步長求出一個近似值將步長折半，從 跨兩步到 ，再求得近似值比較兩者的局部截斷誤差：步長折半后，誤差減小2022年7月26日49因而，可得誤差估計式步長折半前后兩次計算結(jié)果的偏差檢查偏差 是否滿足給定精度 要求，來選擇合適步長： 若 ，反復將步長折半進行計算，直到 為止； 若 ，反復將步長加倍進行計算，直到 為止，這時再將步長折半