(完整版)電磁場與電磁波(第四版)課后答案詳解-謝處方

1、 電磁場與電磁波（第四版）課后答案第一章習題解答1.1給定二個矢量a、b和c如下:A=e+e2一e3xyzB=一e4+eyzC=e5e2求：(1)a;(2)a-B;(3)a.b；(4)e；(5)a在b上的分AAB量；(6)AxC；(7)A.(BxC)和(AxB)C；(8)(AxB)xC和Ax(BxC)。e+e2e3123=e+ee-12+22+(3)2x14yv14z14AB=|(e+e2e3)(e4+e)=le+e6e4=753xyzyz/yz1AB=(e+e2-e3)(e4+e)=_11解(1)a=A2)(3)xy(4)由Cos0ABzAB1111,得|A|B|J14x*72380AB=C

2、0S1(一気)=135.55)238A在B上的分_11AC0S0AB=阿藥AB6)AxC=ex15ey20ez32=e4e13e10 xyz7)由于BxC=AxB=ex05ey40ez12=e8+e5+e20 xyzex10ey24ez31=e10e1e4xyz所以A(BxC)=(e+e2e3)(e8+e5+e20)=42xyzxyz(AxB)C=(e10e1e4)(e5e2)=42xyzxz8)ex(AxB)xC=10ee=e2e40+e5xyzey25z320=e55e44e11xyz1.2三角形的三個頂點為P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,5)。判斷APPP是否為一直角三角

3、形；3(2)求三角形1的23面積。解(1)三個頂點P(0,1,2)、別為1P(4,1,3)和P(6,2,5)的位置矢量分231yz2xyzR=rr=e4e，R1221xz23R=rre6ee73113xyz則由此可見r=ee2，r=e4+ee3，r=e6+e2+e53xyz=rr=e2+e+e8，32xyz123(2)三角形的面積s=2氣2x力=2氣2卜唱=2歷=17-13RR=(e4e)(e2+e+e8)=0故APPP為一直角三角形。%1.3求P(3,1,4)點到P(2,2,3)點的距離矢量R及R的方向解r=e3+e+e4，則Pxyz且R與x、PPpr=e2e2+e3，xyzPxyzR=rr

4、=e5e3eZ軸的夾角分別為eR、xPP)=cos1R1PPIeRPP)=COS10=cos1(x0=COS1(y,yRPplc0z=COS%|IPPIeRPP)=COS1(z32.31120.47=99.731.4給定兩矢量A=e2+e3e間的夾角和A在B上的分量；解A與B=cos1(310=COS1(AB4和B=eyz之間的)=131v29x幣)A在B上的分量為Ap=4e5+e6，求它們之xyz夾角AB=1.5給定兩矢量A=e2+e3e4和B=e6e4+e，求AxB在C=e-e+e上的分量。zzxyz-6ez-4=e13+e22+e10所以AxB在C上的分量為(AxB)=(AXB)CCPl

5、25忑=1443xyz】6證明：如果Ab=AC和AxB=AxC，則B=C；解由AxB=AxC，則有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(A.A)B=(AC)A(AA)C由于AB=AC，于是得到(A.A)B=(AA)C故B=C1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，p=AX而P=axx，p和p已知，試求x。解由P=AxX，有AxP=Ax(AxX)=(AX)A(AA)X=pA(AA)X故得x=pAAxpAA1.8在圓柱坐標中，一點的位置由(4,王,3)定出，求該點在：(1)3直角坐標中的坐標；(2)球坐標中的坐標。解在直角坐標系中x

6、=4cos(2兀=-2、y=4sin(2兀=2打、z=3_故該點的直角坐標為(2,273,3)。(2)在球坐標系中r=韶2+32=5、=tan-1(4=53.1。、()=2兀/3=120故該點的球坐標為(5,53.1,120)1.9用球坐標表示的場e=e蘭，rr2求在直角坐標中點(3,4,-5)處的|E|和E；求在直角坐標中點(34-5)處E與矢量B=e2-e2+e構(gòu)成的夾角。xyz解(1)在直角坐標中點(3,4,5)處，r2=(3)2+42+(5)2=50，25err21-33邁=x=rx25邁20(2)在直角坐標中點(3,4,5)處，r=-e3+e4-e5，所以xyz2525re3+e4e

7、5E=xyzr2r3102EB0cos1()cos1(EBEB=eE=Ecos0 xx故E與B構(gòu)成的夾角為宵)=153.6。1.10球坐標中兩個點(r,0e)和(r,0,e)定出兩個位置矢量R和R。證明R和R間夾角的余弦為22212解得到由cosY12cosYcos0cos0+sin0sin0cos(QQ)121212Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos0 x111y111z11Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos0 x222y222z22RRHYPERLINKlbookmark119oCurrentDocument1cIRIR1V2sin0cosQsi

8、n0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos01122112212sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos0121211212sin0sin0cos(QQ)+cos0cos01212121.11的值。一球面s的半徑為5，球心在原點上，計算：丄(e/sin0)dSs解丄(ee3sin0)edsdQf3sin0 x52sin0d075兀2rrr丁Ss1.12在由r5、zo和z4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量Aer2+e2z驗證散度定理。rz解在圓柱坐標系中y.A1(rr2)+1(2z)-3r+2rdrdz所以又fyAdtfAdS(eSSff52x5dQdz

9、+ff2x4rdrdQ1200fdzfdQf(3r+2)rdr1200兀000r2+e2z)(edS+edS+edS)rzrrQQzz故有00Adt1200兀=8 =8 1.13求(】)矢量a=ex2+ex2y2+e24x2y2z3的冃攵度；(2)求VA對中心在原點的一個單位立方體的積分；(3)求A對此立方體表面的積分，驗證散度定理。2)3)Q(x2)0(x2y2)Q(24x2y2z3)A=+=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydzA對中心在原點的一個單位立方體的積分為1(21(21(21JVAdt=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=刃A對此立方體表面1的積分(JA

10、dS=JJ(2)2dydzJJ(-)2dydz+-12-12-12-121(21(211(21(21JJ2x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+.2.2-12-12-12-121(21(224x2y2(丄)3dxdy-:-2-12-12故有半半11JJ24x2y2(-)3dxdy=可-12-12JVAdT=6AdS24TS計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求vr對球體積的積分。JrdS=iredS=予d亦aa2sin0d0=4兀a3rSS001.14又在球坐標系中，v.r=丄2(r2r)=3，所以r2QrJvrdt=3r2sin0drd0d=4兀a3T0001.1

11、5求矢量a=ex+ex2+ey2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求VxA對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。Adl=Jxdx-Jxdx+J22dy-J0dyVxA=0.ex8_Qx0eyQQyx200ezQcc=e2yz+e2xQzxzy2z 所以故有AdIxdx+xy2dy2f(一a2cosQsinQ+a4cos2Qsin2Q)dQc4Rex+ey+ez，xyz解(1)vR-竺+空+竺-3dxdydz2)3)VxRexQQxx/L設(shè)AeA+eAeyd_QyyezQQz0貝UA9RAx+Ay+Az，故xxyyzzxyzQQV(A

12、R)e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+xQxxyzyQyxyzQe(Ax+Ay+Az)eA+eA+eAAzQzxyzxxyyzz+eA，zzfvxAdS=ff(e2yz+e2x)edxdy=8xzz00Adl8=fVxdS1.16求矢量Aex+exy2沿圓周x2+y2-a2的線積分，再計算VxA對此圓面積的積分。解0dAQAa2斤兀a4JVxAdSJe(片-l)edSJy2dSJJr2sin2QrdQdrzQxQyz4117證明S(1)VR-3；(2)SvxR0；V(A.R)-A。其中A為一常矢量。Qx徑向矢量場f-ef(r)表示，如果vF-0，那么函數(shù)f(r)會有什么特點呢？r

13、解在圓柱坐標系中，由可得到VF1丄f(r)0rdrCf(r)rC為任意常數(shù)。VF丄r2f(r)0r2dr在球坐標系中，由Cf(r)-可得到r2給定矢量函數(shù)Eey+ex，試求從點P(2,1,一1)到點P(8,2,-1)的線積分JEdl:(1)沿拋物線xy2；(2)沿逢接該兩點的直線。這個E是保守場嗎？解(1)JEdl=JEdx+Edy=Jydx+xdy=xyCCCfyd(2y2)+2y2dy=f6y2dy=14連接點P(2,1,-1)到點P(8,2,-1)直線方程為12TOC o 1-5 h zx-2x-8=即y-1y-2故JEdl=JEdx+EdyJyd(6y-4)+(6y-4)dy=f(12

14、y-4)dy二14xy屮在一個指定方向的方向5定出；求(231)點的方50CC1由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。1.20求標量函數(shù)屮=x2yz的梯度及導數(shù)，此方向由單位矢量e丄+e2+e向?qū)?shù)值。解dddV屮=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=xdxydyzdze2xyz+ex2z+ex2yxyz=e上+e-L+e仝的方向x50y、50z50 xy750zdA故沿方向?qū)?shù)為dL=Ve=處+竺+空dl15/50750750點(2,3,1)處沿e的方向?qū)?shù)值為l竺亠+4L+4L=型dlx/5050507501.21試采用與推導直角坐標中TOC o 1-5 h zVA=竺+竺+絲相

15、似的方法推導圓柱坐dxdydzVA二-(rA)+笠+rdrrrd標下的公式解在圓柱坐標中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場A沿e方向穿出該六面體的表面的通量為rW=于于人(r+Ar)drd-rrr+Arz(r+Ar)A(r+Ar,z)一rA(r,z)AAz-&(丿ArAAz=1&(丿Atrrdrrdr同理r+Arz+Azdrdz-JJ+AAdrdz-A(r,+A,z)A(r,z)ArAz-r+AJAzz+AzA|rdrdzzrrA(r,z+Az)一A(r,z)rArAAz沁zzdAdA人丁rArAAz=丁Atdzdz屮二屮+屮+屮丄四+dArzrdr+rd故得到圓柱坐標下的散度表達式VA=

16、lim=AtTOAy2+蘭給出一橢球族。求b2c21d(rA)QAdArrdr1.22方程u=三+a2的單位法向矢量。解由于橢球表面上任意點Vu二e2X+e彳+exa2yb2因此，矢量場A穿出該六面體的表面的通量為|Vu|-2J()2+()2+(三)2a2b2c2故橢球表面上任意點的單位法向矢量為1.23Vuxyzn=(e+e+e一Vuxa2yb2zc2現(xiàn)有三個矢量A、+(占)2+(三)2a2b2c2B、C為A=esin0cos+ecos0cos-esinr0B=ez2sin+ez2cos+e2rzsinrzC=e(3y2-2x)+ex2+e2z哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可

17、以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？求出這些矢量的源分布。解(1)在球坐標系中VA=丄(r2A)+r2drr1drsin0d0(sin0A)+01dA=rsin0d1d1d1d(r2sin0cos)+(sin0cos0cos)+(-sin)=r2drrsin0d0rsin0dVxA二r2sineeraarArreeaaerAersineeaarsineA1r2sineI1arsinecosreeaaercosecosrsineea-rsinesin故矢量A既可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標系中1aiaBaBVB=(rB)+JrarrraQz-(rz2sin)+丄

18、(z2cos)+(2rzsin)rarraaz竺泌-皿+2rsin-2rsinVxB二-reraarBrreea那rBrezaazBeraarz2sin故矢量B可以由一個標量函數(shù)的梯度表示;reeaarz2cosezaaz2rzsin直角在坐標系中VxC=acacac_axayazaaa(3y2-2x)+(x2)+(2z)0axayazezaaz2zexaax3y2-2xeyaayx2=e(2x-6y)z故矢量C可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。（2）這些矢量的源分布為VA0，VxA0；VB=2rsin，VXB0；VC0，VxCe(2x-6y)1.24利用直角坐標，證明V(fA)fVA+AVf解在

19、直角坐標中1.25證明QAQAQAQfQfQffVA+AVf二f(J+片+2)+(Af+A竺+A里)二QxQyQzxQxyQyzQzQAQfQAQfQA(f丁+Af)+(f才+Af)+(f=+AQxxQxQyyQyQzzQQQ(fA)+-(fA)+-(fA)=V(fA)QxxQyyQzz(AxH)=HVxA-AVxH解根據(jù)V算子的微分運算性質(zhì)，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)表示只對矢量H作微分運H式中v表示只對矢量A作微分運算，算。A由a(bxc)=c(axb)，可得V(AxH)=H(VxA)=H(VxA)同理V(AxH)=-A(VxH)=-A(VxH)故有xA-AVxH1.26利

20、用直角坐標，證明x(fG)=fVxG+VfxG解在直角坐標中QGQGQGdG6GQGfVxG二fe學-才)+e(-x-些)+e(才-RxQyQzyQzQxzQxQyVfxG=e(G-f-GQf)+e(GQf-G-f)+e(G-f-GxzQyyQzyxQzzQxzyQxx所以fVxG+VfxG=e(GQ+f學)-(GQ+f學)+xzQyQyyQzQze(Gf+f學)-(Gf+f+yxQzQzzQxe(Gf+f讐)-(Gf+fzyQxQxxQyeQ(fG)Q(fG)+eQ(fG)Q(fG)+ez+exl+xQyQzyQz-QyQxe=Vx(fG)zQxQy1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更

21、普遍的意義下證明Vx(Vu)=0及V(VxA)=0，試證明之。解(1)對于任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，由斯托克斯定理有題1.27圖 由于曲面S是任意的，故有Vx(Vu)=0(2)對于任意閉合曲面S為邊界的體積，由散度定理有V(VxA)dt(VxA)dS=f(VxA)dS+f(VxA)dS其中S和S如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有2f(VxA)dS=Adl，f(VxA)dS=iAdl由題1.27圖可知SC和j是方向相反的同一回路C2，則有Adl=(fAdl所以得到fV(VxA)dt-fAdl+(fAdl-Adl+iAdl-0由于體積t是任意的，故有V】VxA)-02第二章習題解答一個

22、平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為P二-4Ud-43X-23，式中陰極板位于x=0，陽極板位于x=d，極間電900壓為U。如果U-40V、d=lcm、橫截面s二10cm2，求:（1）x=0和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q；（2）x=d-2和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q。解（1）Q=Jpdi=f（-Ud-43x-23）Sdx=-US=-4.72x10-nC9003d00（i02Q=pdi=f（-4Ud-43x-23）Sdx=-_（1丄）US=-0.97x10-iiC,9003dV20022一個體密度為p=2.32x10-7Cm3的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束

23、直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7x10-27kg、電量q=1.6x10-19C。由口mv2=qU2v=、；2mqU=1.37x106m：sJ=pv=0.318Am2I=J兀（d/2）2=10-6A一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度o繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點p的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為則P點的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為v=oxr=eorsin00p=Q4兀a33故J=pv=eQorsin0=eQrsin004兀a3204兀a3一個半徑為a的導體球帶總電荷量

24、為Q，同樣以勻角速度o繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任-點P的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為0，則P點的線速度為v=oxr=eoasin0球面的上電荷面密度為04兀a2cv=eoasin0=e-Q0sin0s04兀a204兀a2.5兩點電荷q=8C位于z軸上z=4處，q=4C位于y軸上y=4處，求(400)處的電場強度。2解電荷q、在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為qrr2e4e4E=ii14kerrf電荷q在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為12qrr1e4e424kejq2=xz3珥(42)3E2故(4,0,0)處的電場為=xy-3兀(4J

25、2)3e+ee2E=E+E=yz1232播匕2.6一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷p,求垂直于圓平面的軸線上z=a處的電場強度E(0,0,a)，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a，如題2.6圖所示。解半圓環(huán)上的電荷元pdl=padg在軸線上z=a處的電場強度為lldE=4冊(屈)30pe(ecosg+esing)lxydg8J2兀匕a在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上z=a處的電場強度為E(0,0,a)=JdE=pt2P(e兀e2)iJe(ecosg+esing)dg=1zx82兀azxy8為；2兀a0t202.7三根長度均為l，均勻帶電荷密度分別為p、p和p地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)p=2p=2p，計算三角形中心

26、處的電場強度。解建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為d=tan30=L26則題2.7圖E=ePn(cos30cosl50)=e西y4ksdy2ksL00E=(ecos30+esinSO)=(e3+exy2KSLxy8ksL00E=(ecos30esinSO)=(e3e)-xy2KSLxy8ksL0故等邊三角形中心處的電場強度為0題2.10圖題2.10圖E=E+E+E=123e3n-(eJ3+e)+(e3-e)=eP/iy2K8Lxy8兀8Lxy8兀8Ly4K8L28點電荷+q位于(-a,0,0)處，另一點電荷-2q位于(a,0,0)處,空間有沒有電場強度E=0的點？解電荷+q在

27、(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為qe(x+a)+ey+ezExyz14兀8(x+a)2+y2+z232電荷-2q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為2qe(x-a)+ey+ezExyz24兀8(x-a)2+y2+z232(x,y,z)處的電場則為E-E+E。令E0，則有12e(x+a)+ey+ez2e(x-a)+ey+ezxyzxyz(x+a)2+y2+z232(x-a)2+y2+z232由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到(x+a)(x一a)2+y2+z2322(x一a)(x+a)2+y2+z232y(x一a)2+y2+z2322y(x+a)2+y2+z232z(x一a)2+y2+z2322z(x+a)2+

28、y2+z232當y豐0或z豐0時，將式或式代入式，得a-0。所以，當y豐0或z豐0時無解；當y-0且z0時，由式，有(x+a)(x-a)32(x-a)(x+a)3解得x(-3土2/2)a但x-3a+2邁a不合題意，故僅在(-3a-2邁a,0,0)處電場強度E-0。2.9一個很薄的無限大導電帶電面，電荷面密度為&。證明：垂直于平面的z軸上z-z處的電場強度E中，有一半是有平面上半徑0為打z的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解半徑為r、電荷線密度為Pdr的帶電細圓環(huán)在z軸上z-z處的電場強度為l0r&zdr8r&zdraz1EeJ0-ez28(r2+z2)32z28(r2+z2)i200000dEez28(r2

29、+z2)32故整個導電帶電面在z軸上z-z處的。電場強度為08Oez280014而半徑為J3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z二z0處的電場強度為%C1-=e=一Ez4&2003z0r&zdr&z1E=eJ0=e0-z2s(r2+z2)32z2s(r2+z2)1200.00.00000000一個半徑為a的導體球帶電荷量為Q，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度解球面上的電荷面密度為&Q4兀a2當球體以均勻角速度o繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r=ea點處的電流面密度為rJ=ovxr=oeoxea=Szreonasin0=e0Qsin9ee4兀a將球面劃分為無

30、數(shù)個寬度為dl=ad9的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為dl=ad9細圓環(huán)的電流為dI=Jdl=0Qsin9d9S4兀細圓環(huán)的半徑為b=asin9，圓環(huán)平面到球心的距離d=acos9，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為卩b2dI卩oQa2sm39d9uoQsin39d9dB=e0=e0=ez2(b2+d2)32z8兀(a2sin29+a2cos29)32z8兀a故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B=eL巴0Qsin39d9=e卩oQz08兀az6兀a2.11兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有n匝，相互隔開距離為d，如題2.11圖所示。電流/以相同的方向流過這兩個線圈

31、。xx求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度B=eB；證明：在中點處dB/dx等于零；求出b與d之間的關(guān)系，使中點處d2Bdx2也等于零。解(1)由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度uIa2B=e0-z2(a2+z2)32得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為B=e卩0N血x(b2+d2:4)32(2)兩線圈的電流在其軸線上x(0 xd)處的磁感應(yīng)強度為fuNIb2uNIb20+02(b2+x2)322b2+(dx)232所以dB3uNIb2x3uNIb2(dx)x=0+0dx2(b2+x2)522b2+(dx)25215 故在中點x=d2處，有3巴NIb2d,；2*3巴Nb2d,;2_Q2b2+d245

32、22b2+d2452d2B15卩Nib2x23卩Nib2x=00dx2dBxdx3)d2Bdx2.0+2(b2+x2)722(b2+x2)5215NIb2(dx)23NIb2002b2+(dx)2722b2+(dx)2525d2/41即故解得2.12一2a，中心線與zI。證明在第一象B一打a，x4兀ar和r如題2.121解2將導體dx，的細條帶，每,=0b2+d2472b2+d24525d2f4=b2+d2I4d=b題2.12圖扁平的直導體帶，寬為軸重合，通過的電流為限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為B上In=y4兀ar圖所示。1帶劃分為無數(shù)個寬度為一細條帶的電流式中a、di二dx，。由安x，處的細條帶的電流

33、di在點P(x,y)處的磁場為卩dI卩Idx，卩Idx，dB0002兀R4兀aR4兀a(x一x)2+y212dB=-dBsin9=-愛竺一x4兀a(x一x，)2+y2dB=dBcos0=0I(xx，)dx，y4兀a(xx，)2+y2所以Iydx，0-4兀a(xx，)2+y2培環(huán)路定理，可得位于arctan卩I0arctan4兀a(、axarctan出Iarctan4兀alarctanIy丿一o(aa)=4兀a21fI(x一x，)dx，B=0y4兀a(x一x)2+y2Iy丿口i0a4兀aa卩I0ln(xx)2+y28兀aa卩(x+a)2+y2卩IroIn=In8兀a(x-a)2+y24兀ar如題

34、2.13圖所1示，有一個電矩為p1的電偶極子，位于坐標原點上，另一個電矩為p2的電偶極子，位于矢徑為r的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為F二312(sin0sin0cos-2cos0cos0)r4ksr41212式中0=,0=,，是兩個平面(r,p)和(r,p)間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解電偶極子p在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為1E=丄2少-鼻14ksr5r3E“丄衛(wèi)衛(wèi)吐-X4ksr5r300=，貝U2pr=prcos0111p*r二prcos0222又因為是兩個平面(r,p)和(r,p)間的夾角，所以有12(rxp)(rxp)=r2ppsin0sin0co

35、s另一方面，利用矢量恒等式可得12(rxp)(rxp)二(rxp)xrp二1212r2(pp)(rp)(rp)1212因所以與P2之間的相互作用能為因為0=,11(pp)=(rxp)(rxp)+(p)(p)=ppsin0sin0cos+ppcos0cos012r2121212121212于是得到W二1“2(sin0sin0cos-2cos0cos0)e4兀r31212故兩偶極子之間的相互0作用力為F竺rr)rW二一pe2二-(sin0sin0cos2cos0cos0)Q(丄)二q=const4KS1212dr廠303pp(sin0sin0cos一2cos0cos0)4kr41212由上式可見，

36、當0廣02=0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。兩平行無限長直線電流I1和I2，相距為d，求每根導線單位長度受到的安培力F。mBe卩IB=eO-1ie2兀r到的安培力為解無限長直線電流I產(chǎn)生的磁場為1直線電流I每單位長度受21pIIF=JIexBdz=e012m122z1122兀d式中e是由電流I指向電流I的單位矢量。同1理可得，1直線電流I每單位長度受到的安培力為1pIIF=F=e012m21m12122兀d2.15一根通電流I的無限長直導線和一個通電流I的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導線的距離為d,如題2.15圖所示。間相互作用的安培力為F=p11(seca一1)這里a是圓環(huán)在直線最接

37、近0圓環(huán)的點所張的角。解無限長直線電流I產(chǎn)生的磁場為1pIB=e-11e2兀r圓環(huán)上的電流元Idl受到的安培力為22pIIdF=IdlxB=dlxe012m2212y2兀x圖可矢口dl=(esin0+ecos0)ad02xzx=d+acos0F=JP012(esin0ecos0)d0=m2兀(d+acos0)zx0由題2.15所以2證明：兩電流卩all2eo1-2.x2兀(d+acos0)0卩alI/2兀d2兀eo12(+)=ep11(seca1)x2兀aad2a2x012證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞坐標原點所受到的力矩為rx(pV)E+pxE。解如題2.16圖所示，設(shè)p=qdl(d

38、l1)，則電偶極子p繞坐標原點所受到的力矩為2.16cos0T=rxqE(r)一rxqE(r)=2211dldldldl(r+q)xqE(r+q)(ry)xqE(ry)=題2.16圖 E(r-乎)沁E(r)-(dl-)E(r)故得到T-rx(qdl-V)E(r)+qdlxE(r)=rx(pV)E+pxE第三章習題解答3.1真空中半徑為a的一個球面，球的兩極點處分別設(shè)置點電荷q和-q，試計算球赤道平面上電通密度的通量(如題3.1圖所示)。解由點電荷q和-q共同產(chǎn)生的電通密度為赤道平面q題3.1圖D=2tR-=4kR3R3+qer+e(za)er+e(z+a)4kr2+(za)232r2+(z+a

39、)232則球赤道平面上電通密度的通量JDdS=JDeIS(一a)=JDdS=S旦f2兀rdr=4兀(r2+a2)32(r2+a2)320dS=zz=0qa1)q=0.293q度表達式為Do=er4”Ze1工，試證明之。r2r3V丿a解位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為(r2+a2)121911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為r的球體原子模型，a其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為-Ze的電子云，在球心有一正電荷Ze(Z是原子序數(shù)，e是質(zhì)子電荷量)，通過實驗得到球體內(nèi)的電通量密Ze3Ze題3.3圖(a)D=e空1r4kr2bPTOC o 1-5 h z原子內(nèi)電子云的電荷體密度為P4344kr3/

40、34kr3電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為aap4kr33ZerD=e=e-2r4kr2r4kr3故原子內(nèi)總的電通量密度為3.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為P。Cm3,兩圓柱面半徑分別為a和b，軸線相距為c(cb區(qū)域中，由高斯定律6EdS旦，可求得大、小圓柱中的S正、負電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為E=e竺巴二込ir2兀r2r200bacPo題3.3圖(b)bPacB丄兀a2PPa2rE=e0=1r2兀r2r200點P處總的電場為在ra區(qū)域中，產(chǎn)生的電場分別為E=E+E(空旦)ii2r2r2同理可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點PE=e巴遲=-PT2r2兀r200點P處總的電場為E

41、=E+E22ef=e2r2兀r0Pza2rr(r_28r2Pa2r28r20在ra的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為點P處總的電場為兀r2pPrE=e0=03r2兀8r2800E=E+E=33-兀r2PPrrE=e0=3r2兀r2800(r-r)=c28283.4半徑為a的球中充滿密度p(r)的體電荷：已知電位移分布為r3+Ar2(ra)其中A為常數(shù)，試求電荷密度P(r)0、r2解由D=P，有P(r)-VD-1d(r2D)r2drr故在ra區(qū)域p（r）=丄r2（a5+Aa4）=00r2drr2一個半徑為a薄導體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電

42、荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E=e（rfa）4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算:（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為1d1dr4r3p=VE=(r2E)=(r2)=6s00r2dr0r2dra40a4（2）球體內(nèi)的總電量Q為Q=Jpcfc=f6s4兀r2dr=4兀sa20a40,T0球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-Q，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷為2Q，故球殼外表面上的電荷面密度為o二二色二2s4兀a203.6兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為r=a和r=b（ba），圓柱表面分別帶有密度

43、為o和o的面電荷。（1）計算各處的電位移D；（2）12欲使rb區(qū)域內(nèi)D=0，則o和o應(yīng)具有什么關(guān)系？012由高斯定理&D0dS=q，當rVa時，有解（1）aVrVb時，S2兀rD=2兀ao，則021D=e02當bVrVa時，2)令D=e032兀rD二2兀ao+2兀bo0312竺1+竺2二0，則得到r，則D二001ao1rao+boD=e1203rrboa23.7計算在電場強度E=ey+ex的電場中把帶電量為-2卩C的xy點電荷從點P(2丄-1)移到點P(8,2,-1)時電場所做的功：(1)沿曲線x=2y2；(2)沿連接該兩點的直線。解(1)W=fFdl=qfEdl=qfEdx+Edy=xyCC

44、Cqfydx+xdy=qfyd(2y2)+2y2dy=C1qf6y2dy=14q=28x10-6(J)x6y+4=0連接點p（2丄-1）到點p2（&2，-1）直線方程為y1y2故qfydx+xdy=qfyd(6y-4)+(6y-4)dy二C1qf(12y-4)dy二14q二-28x10-6(J)138長度為L的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為P。(1)計算線電荷平分面上任意點的電位Q；(2)利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場E，并用E二-V核對。解(1)建立如題3.8圖所示坐標系。根據(jù)電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點P的電位為/小L2PdzQ(r,0)=fio4兀wvr2+z

45、2o41n(z+pr2+z2)4兀w0PL2一L2r2+(L2)2+L24Kw0v；r2+(L2)2-L2Pr2+(L2)2+L24ln2兀w0可得兩個對稱線電荷元Pdz在點P的電場為i0PdznPrdz玲cosnei0dE二edE二errr2兀wr2+z20故長為L的線電荷在點P的電場為f*Lf2PrdzEJdE=eJior2兀w(r2+z2)3200LPei(r2兀wr0Z=)r2+z2ei0r4Kw0r,：r2+(L2)2由E-VQ求E，有r2兀w(r2+z2)320lnL2+Jr2+(Lf2)2-eer4Kw0rJr2+(L2r2吐r，試用定義式03.9已知無限長均勻線電荷p的電場E=

46、ePl申(r)=Tedl求其電位函數(shù)。其中r為電位參考點。P解p(r)=Edl=j由于是無限長的線電荷，不能將r選為無窮遠點。P3.10一點電荷+q位于(-a,0,0),另一點電荷-2q位于(a,0,0),求空間的零電位面。解兩個點電荷+q和-2q在空間產(chǎn)生的電位p1q2qP(x,y,z)=1dr=1Inr2兀r2ksrp亠Inrpr2兀r令申(x,y,z)=0，則有4冊o(x+a)2+y2+z2;(x-a)2+y2+z212=0f(x+a)2+y2+z2*：(x-a)2+y2+z24(x+a)2+y2+z2=(x-a)2+y2+z2(x+a)2+y2+z2=(a)2由此可見，零電位面是一個以

47、點(-5a,0,0)為球心、3a為半徑的球面。3.11證明習題3.2的電位表達式為p(r)=三(丄+二-三)4兀r2r2r解位于球心的正電荷Ze在原子外產(chǎn)生的電通量密度為=ZeD=e-1r4兀r2電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為即故得D=e12=-e空2r4兀r2r4兀丫2所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為p(r)=ddr=空()dr=4ksr2r3Ze1r23(+-)4耐r2r2r3.12電場中有一半徑為a的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為a2p(r)=A(r-一)cosQra、r求圓柱內(nèi)、外的電場強度；這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之解(1)由E=-Vp，可得到ra

48、時,E=-Vp=-eA(r一)cosQ一e乞A(r一)cosQ=rQrrQrQQr-eA(1+)cosQ+eA(1-)sinQrr2Qr22)該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.13（1）（2）（3）（4）（5）=seE|=-2sAcos驗證下列標量函數(shù)在它們各自的坐標系中滿足V23=0其中h2=k2+l2；圓柱坐標；圓柱坐標；球坐標；球坐標。a=snEsin(kx)sin(ly)e-hrncos(n)+Asin(n)r-ncos(n)rcosr-2cos1）在直角坐標系中a23a2m823V23=+ax2ay2az2a2=sin(kx)sin(ly)e-h

49、z=-k2sin(kx)sin(ly)e-hzax2a2=sin(kx)sin(ly)e-hz=-l2sin(kx)sin(ly)e-hz2ia2aya2sin(kx)sin(ly)e-h=h2sin(kx)sin(ly)e-haz2V23=(-k2-l2+h2)sin(kx)sin(ly)e-hz=02）在圓柱坐標系中1aa3a23a23V23=(r)+rararr2a2az2(r)=rrncos(n)+Asin(n)=n2rn-2cos(n)+Asin(神)rararrarar83=-n2rn-2cos(n)+Asin(n)r2a2cos(n)+Asin(n)=0a23a2=r-naz2a

50、z223=0-(r空)=12rr-ncos(n)=n2r-n-2cos(n)rararrarar83=-n2r-n-2cos(n)r2a2a23a2=r-ncos(n)=0az2az223=0(4)在球坐標系中=丄2(r2型)+舟(sing樂)+o人r28r8rr2sin08080r2sin20a2丄乞(r2竺)=丄r22(rcos0)=2cos0r2ararr2ararr5）云注Q9(sin9Q9)1Q291給sin9J?(rcos9)二r2sin9Q9Q91Q(-rsin29)=一2cos9r2sin9Q9rQ2一(rcos9)=02r2sin29Q2r2sin29QV29=0(r2理)=

51、r2(r-2cos9)=cos9r2QrQrr2QrQrr21Q,cQo、1Q.aQ(fi)sin9(r-2cos9)=r2s.n9Q9Q91(-r-2sin29)=-Zcos9r2s.n9Q9r4Q2一(r-2cos9)=02r2sin9旳(Sin1Q291r2sin29Q2r2sin29QV29=0已知y0的空間中沒有電荷，下列幾個函數(shù)中哪些是可能的電位的解故3.14（1）（2）（3）（4）e-ycoshx；e-ycosx；e-2ycosxsinxsinxsinysinz。Q2Q2Q2解(1)(e-ycoshx)+(e-ycoshx)+(e-ycoshx)=2e-ycoshx豐0Qx2Qy

52、2Qz2所以函數(shù)e-ycoshx不是y0空間中的電位的解；(2)Q2Q2Q2(e-ycosx)+(e-ycosx)+(e-ycosx)=-e-ycosx+e-ycosx=0Qx2Qy2Qz2所以函數(shù)e-ycosx是y0空間中可能的電位的解；(e-、2ycosxsinx)+-(e2ycosxsinx)+-(e-2ycosxsinx)=Qx2Qy2Qz2-4e-2ycosxsinx+2e-2ycosxsinx豐0所以函數(shù)e-2ycosxsinx不是y?？臻g中的電位的解；Q2Q2Q2(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)=Qx2Qy2Qz2-3sin

53、xsinysinz主0所以函數(shù)sinxsinysinz不是y0空間中的電位的解。3.15中心位于原點，邊長為l的電介質(zhì)立方體的極化強度矢量為P=P(ex+ey+ez)。(1)計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；(2)0 xyz證明總的束縛電荷為零。3）4）解（1）p二一yp=3PP0a(x=)=nP=ePP2x=L2xLPx_L220LPx_L220同理a(y_)_a(y_上)_a(z_)_a(z_L)_LPP2P2P2P220dS_3PL3+6L2x-P_0p020/L、“a(x_)_nPp2L、LePx_L2xL2）3.16由電荷P，2p2q_fpdP+app一半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為

54、o證明中心點的電位為88，r0其內(nèi)均勻分布自28+1（pr28r解由6DdS=q，可得到SrVR時，0rR0時,故中心點的電位為d_pt，3r4兀R34兀r2D_03pR3D_023r2Di-88r0E=D2809(0)_fEdr+fEdr_丁一dr+f-PRL1238838r2pr388r0PR30-38r20dr=_PRL+PR22868838上（R）R2283803.17一個半徑為2的介質(zhì)球，介電常數(shù)為8，球內(nèi)的極化強度P_eKr，其中K為一常數(shù)。（I）計算束縛電荷體密度和面密度；（2）計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布。解（1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為1d/K、Kp

55、_P_（r2）_pr2drrr2在r_R的球面上，束縛電荷面密度為_Kr_R_R(2)由于D_8E+P，所以0(l8)yd_yp8=Pr=Rr8yD=8ye+yp=oyd+yp08由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為888Kp_yd_yp_p8888P00(88)r20總的自由電荷量q=Jpdu=*Kf丄4兀r2dr=4兀*RKs-sr2（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度分別為Pr(s-s)r0sRK=e-rs(s-s)r200E=es-s0E=eq-r4兀sr2介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為P=fEdZ=fEdr+fEdr=112TOC o 1-5 h zrrRdr=dr+fSRK(s-s)rs(s-s

56、)r2r0R00KRsKIn+(s-s)rs(s-s)000fsRKsRK/廠、P=JEdr=Jdr=(rR)22s(s-s)r2s(s-s)r3.18(1)證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時可能存在束縛電荷體密度；（2）導出束縛電荷密度pp的表達式。解（1）由D=sE+P，得束縛電荷體密度為0p=P=VD+sEP0在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時，VD=0，則有p”=s的E由于D=sE，有VD=（sE）=sVE+EVs=0所以EVss故在不均勻電介質(zhì)由此可見，當電介質(zhì)不均勻時，V.E可能不為零,中可能存在束縛電荷體密度。（2）束縛電荷密度的表達式為p=sVE=-人E.VsPP0s3.19兩種電介

57、質(zhì)的相對介電常數(shù)分別為s=2和s=3,其分界r1r2面為z=0平面。如果已知介質(zhì)1中的電場的E=e2y-e3x+e（5+z）1xyz那么對于介質(zhì)2中的E和D，我們可得到什么結(jié)果？能否求出介質(zhì)222中任意點的E和D？22解設(shè)在介質(zhì)2中E(x,y,0)=eE(x,y,0)+eE(x,y,0)+eE(x,y,0)2x2xy2yz2zD=ssE=3sE在z=0處，由ex(E-E)10和(D-D)=0，可得z12z12e2y-e3x=eE(x,y,0)+eE(x,y,0)2xyx2xy2y2x5e=3eE(x,y,0)002z于是得到E(x,y,0)二2y2xE(x,y,0)=-3x2yE(x,y,0)

58、=10/3故得到介質(zhì)2中的E和D在z=0處的表達式分別為22E(x,y,0)=e2y-e3x+e(103)2xyzD(x,y,0)=s(e6y-e9x+e10)2不能求出介質(zhì)2中任意點的E和D。由于是非均勻場，介質(zhì)中22任意點的電場與邊界面上的電場是不相同的。3.20電場中一半徑為a、介電常數(shù)為s的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為=-Ercos0+0S-S0a3Es+2s0cos0r209=-0Ercos02s+2s0驗證球表面的邊界條件，并計算球0表面的束縛電荷密度。解在球表面上s-s9(a,0)=-Eacos0+aaEcos0二0s+2s003s9(a,0)=-0Eacos0s+2s0

59、0=-Ecos0-Ecos0=r=a0s+2s00=-3S0Ecos0r=as+2s000Eacos0s+2s00。91QrQ9Or一Ecos0s+2s00故有9(a,0)=9(a,0)，12s勢|=s|0Qrr=aQrr=a可見91和92滿足球表面上的邊界條件。球表面的束縛電荷密度為cp3.21=nP=(s-s)eE=-(s-s)0(s叮Ecos02r=a0r20Qrr=as+2s0平行板電容器的長、寬分別為a和b，極板間距離為d。電容器的一半厚度(0d)用介電常數(shù)為s的電介質(zhì)填充，如題3.21圖2所示。(1)板上外加電壓U0，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2)若已知板上的自由電荷總量

60、為Q，求此時極板間電壓 2 和束縛電荷；0題3.21圖00-(S+)d0=eE。z0SE=SE00E=02SUo-(s+s)d0故下極板的自由電荷面密度為上極板的自由電荷面密度為2ssU00-(s+s)d02ssU=sE=00-00(s+s)d0G=sE=下上表面上的束縛電荷面密度為得到故0題3.22圖電介質(zhì)中的極化強度P=(s-s)E=-e2管飛丫。0z(s+s)d0故下表面上的束縛電荷面密度為GeP2s(ss)Up下z(s+s)d02s(ss)UTOC o 1-5 h z=eP=一000-z(s+s)d02)Q2ssUG=0ab(s+s)d0(s+s)dQU=02ssab0G(ss)Qp下