高中數(shù)學(xué)選修知識點

1、選修數(shù)學(xué)知識點專題一：常用邏輯用語1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.常用小寫的拉丁字母，表示命題.2、四種命題及其相互關(guān)系四種命題的真假性之間的關(guān)系：、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3、充分條件、必要條件與充要條件、一般地，如果已知，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；若，則是的充分必要條件，簡稱充要條件、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系：、從邏輯推理關(guān)系上看：若，

2、則是充分條件，是的必要條件；若，但，則是充分而不必要條件;若，但，則是必要而不充分條件;若且，則是的充要條件；若且，則是的既不充分也不必要條件.、從集合與集合之間的關(guān)系上看：已知滿足條件，滿足條件：若,則是充分條件；若,則是必要條件；若A B，則是充分而不必要條件;若B A，則是必要而不充分條件;若，則是的充要條件；若且，則是的既不充分也不必要條件.4、復(fù)合命題復(fù)合命題有三種形式：或（）；且（）；非（）.復(fù)合命題的真假判斷“或”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一真必真；“且”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；“非”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：真假相對.5、全稱量詞與存在量詞全稱量詞與全稱命題

3、短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.存在量詞與特稱命題短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.全稱命題與特稱命題的符號表示及否定全稱命題：，它的否定：全稱命題的否定是特稱命題特稱命題：，它的否定：特稱命題的否定是全稱命題.專題二：圓錐曲線與方程1橢圓焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）第二定義與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即范圍且且頂點、軸長長軸的長 短軸的長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

4、焦點、焦距離心率準(zhǔn)線方程焦半徑左焦半徑：右焦半徑：下焦半徑：上焦半徑：焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：（焦點）弦長公式，焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程第一定義到兩定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)，即（）第二定義與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即范圍或，或，頂點、軸長實軸的長 虛軸的長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、焦距離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程焦半徑在右支在左支在上支在下支焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：2雙曲線3拋物線圖形標(biāo)準(zhǔn)方程定義與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線上)頂點離心率對稱軸軸軸范圍焦

5、點準(zhǔn)線方程焦半徑通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：焦點弦長公式參數(shù)的幾何意義參數(shù)表示焦點到準(zhǔn)線的距離，越大，開口越闊關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：設(shè)為過拋物線焦點的弦，直線的傾斜角為，則 以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 焦點對在準(zhǔn)線上射影的張角為專題三：定積分1、定積分的概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記作，即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.說明：（1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2）用定

6、義求定積分的四個基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限.2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果，且在上可積，則，【其中叫做的一個原函數(shù)，因為】3、常用定積分公式（為常數(shù)）4、定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中;利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若是上的奇函數(shù),則;若是上的偶函數(shù),則.5、定積分的幾何意義定積分表示在區(qū)間上的曲線與直線、以及軸所圍成的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即.（在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負(fù)號）6、求曲邊梯形面積的方法與步驟畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限；寫出定積分表達(dá)式；求出曲邊

7、梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.7、定積分的簡單應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用：幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:（1）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1）；圖（1）由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2）；圖（2）由一條曲線【當(dāng)時，當(dāng)時，】與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3）；圖（3）由兩條曲線（與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（4）圖（4）（2）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（5）；圖（5）由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（6）；圖（6

8、）由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，然后利用求出（如圖（7）；圖（7）定積分在物理中的應(yīng)用：變速直線運動的路程作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分，即.變力作功物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所作的功.專題四：推理與證明推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學(xué)歸納法間接證明 比較法類比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法知識結(jié)構(gòu)1、歸納推理把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某

9、些相同的性質(zhì)； 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；檢驗猜想。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理

10、從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷Ma S用集合的觀點來理解：若集合中的所有元素都具有性質(zhì),是的一個子集,那么中所有元素也都具有性質(zhì)P.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.5、直接證明與間接證明綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示： 要點：順推證

11、法；由因?qū)Ч?分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 框圖表示： 要點：逆推證法；執(zhí)果索因.反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止； (3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.6、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)的命題的一種方法.用數(shù)學(xué)歸納法證

12、明命題的步驟;（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個值時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立，推證當(dāng)時命題也成立. 只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立.用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、幾何中的計算問題等.專題五：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；復(fù)數(shù)的實部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).2、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)3、相關(guān)公式指兩復(fù)數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復(fù)數(shù)）.4、復(fù)數(shù)運算復(fù)數(shù)加減法：；復(fù)數(shù)的乘法：；復(fù)數(shù)的除法：（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化）5、常見的運算規(guī)律設(shè)是1的立方虛根

13、，則，6、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中軸叫做復(fù)平面的實軸，軸叫做復(fù)平面的虛軸.專題六：排列組合與二項式定理1、基本計數(shù)原理 分類加法計數(shù)原理：(分類相加)做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法. 分步乘法計數(shù)原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.2、排列與組合排列定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的

14、元素中任取個元素的一個排列.組合定義：一般地，從個不同的元素中任取個元素并成一組，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個組合.排列數(shù)：從個不同的元素中任取個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素中任取個元素的排列數(shù)，記作.組合數(shù)：從個不同的元素中任取個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同的元素中任取個元素的組合數(shù)，記作.排列數(shù)公式：；，規(guī)定.組合數(shù)公式：或；，規(guī)定.排列與組合的區(qū)別：排列有順序，組合無順序.排列與組合的聯(lián)系：，即排列就是先組合再全排列. 排列與組合的兩個性質(zhì)性質(zhì)排列；組合.解排列組合問題的方法特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置

15、優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.有序問題組合法.選取問題先選后排法.至多至少問題間接法.相同元素分組可采用隔板法.分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.3、二

16、項式定理二項展開公式：.二項展開式的通項公式：.主要用途是求指定的項.項的系數(shù)與二項式系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù).如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)等于二項式系數(shù)；二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)不一定為正.的展開式：，若令，則有.二項式奇數(shù)項系數(shù)的和等于二項式偶數(shù)項系數(shù)的和.即二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)取

17、得最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值.系數(shù)最大項的求法設(shè)第項的系數(shù)最大，由不等式組可確定.賦值法若則設(shè) 有：專題七：隨機(jī)變量及其分布知識結(jié)構(gòu)1、基本概念互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件.如果事件，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件彼此互斥.當(dāng)是互斥事件時，那么事件發(fā)生（即中有一個發(fā)生）的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的和，即.對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件的對立事件通常記著.對立事件的概率和等于1. . 特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件，因此

18、，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.相互獨立事件：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，（即其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響）.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.當(dāng)是相互獨立事件時，那么事件發(fā)生（即同時發(fā)生）的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的積.即.若A、B兩事件相互獨立，則A與、與B、與也都是相互獨立的.獨立重復(fù)試驗一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗稱為次獨立重復(fù)試驗.獨立重復(fù)試驗的概率公式如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個試驗恰好發(fā)生次的概率條件概率：對任意事件A和事件B

19、，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.公式：2、離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用字母等表示.離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.連續(xù)型隨機(jī)變量: 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)

20、變量的結(jié)果不可以一一列出. 若是隨機(jī)變量，是常數(shù)）則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機(jī)變量的分布列概率分布（分布列）設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，的每一個值（）的概率，則稱表為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.性質(zhì)：兩點分布如果隨機(jī)變量的分布列為01則稱服從兩點分布，并稱為成功概率.二項分布如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是其中，于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01kn我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作，并稱p為成功概率.判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有三點：對立性：即一次試驗中事件發(fā)生與否二

21、者必居其一；重復(fù)性：即試驗是獨立重復(fù)地進(jìn)行了次;等概率性：在每次試驗中事件發(fā)生的概率均相等.注：二項分布的模型是有放回抽樣；二項分布中的參數(shù)是超幾何分布一般地,在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件,其中恰有件次品數(shù),則事件發(fā)生的概率為,于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01其中,.我們稱這樣的隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列,且稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.注:超幾何分布的模型是不放回抽樣；超幾何分布中的參數(shù)是其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.4、離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）.它反映了離

22、散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 性質(zhì)：若服從兩點分布，則若，則離散型隨機(jī)變量的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為離散型隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，的穩(wěn)定性越高，波動越小，取值越集中；越大，的穩(wěn)定性越差，波動越大，取值越分散.性質(zhì)：若服從兩點分布，則若，則5、正態(tài)分布正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達(dá)式：，其中是參數(shù)，且.記作如下圖：專題八：統(tǒng)計案例1、回歸分析回歸直線方程，其中相關(guān)系數(shù)：2、獨立性檢驗假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為x1, x2和y1, y2，其樣本頻數(shù)22列聯(lián)表為： y1y2總

23、計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d若要推斷的論述為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機(jī)變量的值，其中為樣本容量，K2的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.隨機(jī)變量越大，說明兩個分類變量，關(guān)系越強(qiáng)；反之，越弱。時，X與Y無關(guān)；時，X與Y有95%可能性有關(guān)；時X與Y有99%可能性有關(guān).專題九：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換的作用下，點對應(yīng)到點，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2、極坐標(biāo)系

24、的概念M在平面內(nèi)取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。O圖1點的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數(shù)對叫做點的極坐標(biāo)，記為. 注：極坐標(biāo)與表示同一個點。極點的坐標(biāo)為.若,則,規(guī)定點與點關(guān)于極點對稱，即與表示同一點。如果規(guī)定，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)表示（即一一對應(yīng)的關(guān)系）；同時，極坐標(biāo)表示的點也是唯一確定的。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)惟一點P