1.3.3最大值與最小值 (5)

1、一、知識回顧： 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點。 如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說f(x0)是函數(shù)的一個極小值。記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點。 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值. 1、函數(shù)極值的定義1、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量(x)的值，極值指的是函數(shù)值(y)。注意2、極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。3

2、、函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。4、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示， 是極大值點， 是極小值點，而 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，求出極大值和極小值.2、求函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)f(x);(2)求方程f(x)=0的根；(x為極值點.)注意:：如果可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值,就意味著xX2oaX3bx1y 觀察右邊一個定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象.發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)

3、間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 函數(shù)的最大值與最小值高郵市臨澤中學(xué) 周群林二、新課講授1、最值的概念(最大值與最小值) 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值；最值是相對函數(shù)定義域整體而言的. 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最小值.2、如何求函數(shù)的最值?(1)利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)

4、利用函數(shù)的圖象;(3)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù);如:求y=2x+1在區(qū)間1,3上的最值.如:求y=(x2)2+3在區(qū)間1,3上的最值. (2)將y=f(x)的各極值與f(a)、 f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值 (1)求f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)極值； (極大值或極小值)3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上最值的步驟: 例1、求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間1，5內(nèi)的最大值和最小值 解: f(x)=2x- 4令f(x)=0，即2x4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5/0/-+3112故函數(shù)f(x)在區(qū)間1，5內(nèi)的最大值為11，最小值為2 三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例2、 解令解得x

5、0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0延伸:設(shè) ,函數(shù) 的最 大值為1,最小值為 ,求常數(shù)a,b. 解:令 得x=0或a.當(dāng)x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知,當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b=1. f(x)的最小值為f(-1)= -1-3a/2+b，故a=五、課堂小結(jié)1、最值的概念(最大值與最小值)2、求函數(shù)最值的常用方法：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用函數(shù)的圖象;(3)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的最值的步驟: (2)將y=f(x)的各極值與f(a)、 f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值 (1)求f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)極值(極大值或極小值)；