2022年分式、整式、圖形和變換知識點(diǎn)整理

1、初一數(shù)學(xué) 分式、整式、圖形變換知識點(diǎn)匯總整式代數(shù)式 ：用括號和運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是代數(shù)式。代數(shù)式的書寫 ：1、代數(shù)式中出現(xiàn)乘號通常寫作“則。*” 或省略不寫，但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原2、數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)要寫在無理數(shù)的前面。3、帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)形式。4、相同字母相乘通常不把每個(gè)因式寫出來，而寫成冪的形式。5、代數(shù)式不能含有“=、 、 、” 符號。代數(shù)式的值： 用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。注意： 1、代數(shù)式中省略了乘號，帶入數(shù)值后應(yīng)添加 。2、若帶入的值是

2、負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號。3、注意解題格式規(guī)范，應(yīng)寫“ 當(dāng).時(shí)，原式 = .” . 1、單項(xiàng)式 ：由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng) 式，如 a，5。例：判斷下列各代數(shù)式哪些是單項(xiàng)式x 1（1）2； (2)y；(3)xy2； (4)5 2、單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)：系數(shù)：與字母相乘的數(shù)字叫單項(xiàng)式的系數(shù)。次數(shù)：所有字母的指數(shù) 的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)例：判斷下列各代數(shù)式是否是單項(xiàng)式。如不是， 請說明理由； 如是，請指出它的系數(shù)和次數(shù)。3x1；1；r2；x2a2b 注：圓周率 是常數(shù)；當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1 或 1 時(shí)，“ 1” 通常省略不寫，如,等；單項(xiàng)式次數(shù)只與字母指數(shù)有關(guān)單項(xiàng)

3、式的特征 ：1、分母都不含字母。2、不含數(shù)與字母或字母與字母的加減運(yùn)算。3、不含數(shù)與字母或字母與字母的開方運(yùn)算。3、多項(xiàng)式： 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中，不含字母的 項(xiàng)，叫做常數(shù)項(xiàng)例：多項(xiàng)式3x22x5有三項(xiàng)，它們是2 3x ， 2x，5，其中 5 是常數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)例：多項(xiàng)式3x22x5是一個(gè)二次三項(xiàng)式。注： 多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和；多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號多項(xiàng)式的特征：1、分母都不含字母。2、不含字母的開方運(yùn)算例：指出下列多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)：(1)3x13(

4、2) x例：已知代數(shù)式是關(guān)于 x 的三次二項(xiàng)式，求m、n 的條件。8x2y4(x1 )例：7，54.降冪、升冪排列：把多項(xiàng)式5x23x2x31 按 x 的指數(shù)從大到小的順序排列，可以寫成2x35x23x1，這叫做這個(gè)多項(xiàng)式按字母x 的降冪排列。若按 x 的指數(shù)從小到大的順序排列，則寫成 13x5x22x3，這叫做這個(gè)多項(xiàng)式按字母的升冪排列。例：把多項(xiàng)式重新排列。(1)按 a 升冪排列；(2)按 a 降冪排列。注： 重新排列多項(xiàng)式時(shí)，每一項(xiàng)一定要連同它的符號一起移動，原首項(xiàng)省略的“ ” 號交換到后面時(shí)要添上；含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，常常按照其中某一字母升 (降)冪排列。5.整式： 單項(xiàng)式

5、與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式6. 同類項(xiàng)： 所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類項(xiàng)。常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。注： 對同類項(xiàng)的理解要抓住兩個(gè)相同和兩個(gè)無關(guān)兩個(gè)相同：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同。兩個(gè)無關(guān)：同類項(xiàng)與系數(shù)大小無關(guān)，與所含字母的排列順序無關(guān)。合并同類項(xiàng)： 把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫合并同類項(xiàng)。為合并后的系數(shù)，所含字母和字母的指數(shù)不變。把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果做注： 1、如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并結(jié)果為0. 2、不要漏掉不能合并的項(xiàng)。3、只要不再有同類項(xiàng)就是結(jié)果。整式的運(yùn)算7、整式的加減：本質(zhì)上就是去括號，合并同類項(xiàng)。非同類項(xiàng)間用加號連接。；3、(ab )nanbn添、去括號法則

6、：變括號，看符號；是正號，不變號；是負(fù)號，全變號。舉例 : ，8、冪的運(yùn)算： 1、同底數(shù)冪相乘：aman=am n；2、冪的乘方： ( amn )mn a4、同底數(shù)冪相除：aman= am n其中 m、n 為正整數(shù)（ 4 中滿足 mn，a 0），a、b 可以是單項(xiàng)式也可以是多 項(xiàng)式。9、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式10、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加11、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)

7、式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加12、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除數(shù)里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式13、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則 項(xiàng)式，再把所得的商相加：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單整式乘法的常見錯誤：（1） 所含不相同字母雖不做相乘運(yùn)算，但結(jié)果不要漏寫（2） 結(jié)果書寫不規(guī)范：在書寫代數(shù)式時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，若有帶分?jǐn)?shù)一律 要化成假分?jǐn)?shù)或小數(shù)形式（3） 忽略混合運(yùn)算中的運(yùn)算順序 整式的混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算相同，“ 有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加減：如果有括號，先算括號里面的”（

8、4） 運(yùn)算結(jié)果不是最簡形式運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)時(shí)，要合并同類項(xiàng)，化成最簡形式（5） 忽略符號而致錯 在運(yùn)算過程中和計(jì)算結(jié)果中最容易忽略“ 一” 號而致錯14、乘法公式應(yīng)用：1乘法公式 ：平方差公式（a+b）（ab）=a 2+b 2，完全平方公式： （ a b）2=a 2 2ab+b2運(yùn)用平方差公式應(yīng)注意的問題：（1）公式中的 a 和 b 可以表示單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；（2）有些多項(xiàng)式相乘，表面上不能用公式，但通過適當(dāng)變形后可以用公式如（abc）（b a+c）=（b+（ac）b（ a c）=b 2 （ ac）23運(yùn)用完全平方公式應(yīng)注意的問題 式、多項(xiàng)式， 只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，：（1）公式中的

9、字母具有一般性，它可以表示單項(xiàng) 就可以用公式計(jì)算； （ 2）在利用此公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不要丟掉中間項(xiàng)“2ab” 或漏了乘積項(xiàng)中的系數(shù)積的“2”倍；（3）計(jì)算時(shí)，應(yīng)先觀察所給題目的特點(diǎn)是否符合公式的條件，如符合， 則可以直接用公式進(jìn)行計(jì)算；如不符合， 應(yīng)先變形為公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再利用公式進(jìn)行計(jì)算，如變形后仍不具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則應(yīng)運(yùn)用乘法法則進(jìn)行計(jì)算分式分式的定義一般地，如果A，B 表示兩個(gè)整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式， A 為分子，BB 為分母。與分式有關(guān)的條件分式有意義：分母不為0（B0）A0）A0）分式無意義：分母為0（B0）分式值為0：分子為 0 且分母不為0（B0分式

10、值為正或大于0：分子分母同號（A0或B0B0分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號（A0或A0）B0B0分式值為1：分子分母值相等（A=B）A+B=0）分式值為 - 1：分子分母值互為相反數(shù)（分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變。字母表示：AAC，AAC，其中 A、B、C是整式， C0。BBCBBC拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，即AAAAC0 這個(gè)限制條件和隱含條件B0。BBBB注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意分式的約分 定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分

11、。步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。注意： 分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然 后約去分子分母相同因式的最低次冪。分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。知識點(diǎn)四：最簡分式的定義 一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。分式的通分 分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最 簡公分母。確定最簡公分母的一般步驟： 取各分母系數(shù)的

12、最小公倍數(shù)； 單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最大的。 保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。注意：分式的分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。分式的四則運(yùn)算與分式的乘方 分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：acacbdbd分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為acadadbdbcbc分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子ann abn b分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為abac

13、bcc異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為acadbcbdbd整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為 1 的分式，再通分。 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。注意： 在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式（或整式）。整數(shù)指數(shù)冪 引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正整數(shù)冪的法則

14、對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即amanamna0m anamnmn（a0）a bnanbnamanan（an1（a0）aanbbnan11）a0） （任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于其中 m，n 均為整數(shù)。科學(xué)記數(shù)法若一個(gè)數(shù) x 是 0 x10 的數(shù)則可以表示為a10n（1a10，即 a 的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n 的確定 n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少1。如 120 000 000=1.21089 個(gè)數(shù)字分式方程的解的步驟去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。解整式方程，得到整式方程的解。檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：（產(chǎn)生增根的過程）如果最簡公分母為 0，則原方程

15、無解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為 0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分母后值為 0。列分式方程基本步驟審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。設(shè)合理設(shè)未知數(shù)。列根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）解解出方程（組） 。注意檢驗(yàn) 答答題。圖形和變換平移變換1. 平移的概念：平面內(nèi)將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，這種圖形變換稱為平移注：平移變換的兩個(gè)要素：移動的方向、距離2. 平移變換的性質(zhì)（1）平移前后的圖形全等即：平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小：（2）對應(yīng)線段平行（或共線）且相等；（3）對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等如圖所示，且共線，且例

16、 1. 下列各組圖形，可經(jīng)過平移變換由一個(gè)圖形得到另一個(gè)圖形的是（ D. ）A. B. C. 軸對稱變換 1. 軸對稱的概念： 把一個(gè)圖形沿一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱或軸對稱這條直線就是對稱軸兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)（即兩圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn)）叫做對稱點(diǎn)如圖所示，關(guān)于直線 l 對稱， l 為對稱軸2. 軸對稱圖形：把一個(gè)圖形沿一條直線對折，對折的兩部分能夠完全重合，那么就稱這個(gè)圖形為軸對稱圖形，這條直線就是這個(gè)軸對稱圖形的對稱軸一個(gè)圖形的對稱軸可以有 1 條，也可以有多條3. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：軸對稱區(qū)別聯(lián)系軸對稱是指兩個(gè)圖形的對稱關(guān)

17、系把軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“ 整體” （一個(gè)圖形），則稱軸對稱軸對稱圖形是指具有某種對稱特性的為軸對稱圖形；把軸對稱圖形圖形一個(gè)圖形的互相對稱的兩個(gè)部分看成“ 兩個(gè)圖形” ，則它們成軸對稱4. 軸對稱的性質(zhì)：（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形全等；（2）對稱點(diǎn)的連線段被對稱軸垂直平分；（3）對應(yīng)線段所在的直線如果相交，則交點(diǎn)在對稱軸上；（4）軸對稱圖形的重心在對稱軸上如圖 被直線 l 垂直平分5. 軸對稱變換的作圖：已知四邊形 ABCD和直線 l ，求作四邊形 ABCD關(guān)于直線 l 的對稱圖形例 1. 下列圖形中，是軸對稱圖形的為（） A. B. C. D. 例2. 如 圖 所 示 ，關(guān) 于

18、直 線l對 稱 ， 將向 右 平 移 得 到由此得出下列判斷：；其中正確的是（） C. D. A. B. 旋轉(zhuǎn)變換1. 旋轉(zhuǎn)變換的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)O沿某個(gè)方向（逆時(shí)針或順時(shí)針）轉(zhuǎn)動一定的角度， 這樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)這個(gè)定點(diǎn) O叫旋轉(zhuǎn)中心， 轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角注：旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角2. 旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（意味著：旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線上）（3）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角 3. 旋轉(zhuǎn)變換的作圖：（1）確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；（2）找出能確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3

19、）連結(jié)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，并按旋轉(zhuǎn)的方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，得到此關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（4）按原圖形的順序連結(jié)這些對應(yīng)點(diǎn)，所得圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形旋轉(zhuǎn)對稱性： 如果某圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定角度（小于 這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形360 ）后能與自身重合，那么中心對稱： 把一個(gè)圖形繞著某個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ，如果它能和另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè) 圖形關(guān)于這個(gè)定點(diǎn)對稱或中心對稱這個(gè)定點(diǎn)叫做對稱中心，兩個(gè)圖形中對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對 稱中心的對稱點(diǎn)1. 中心對稱的性質(zhì)：中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此，它具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，另外，還有自己特殊的性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形全等；（2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分（即：對稱中心是兩個(gè)對稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)）；（3）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或共線）；（4）中心對稱圖形的重心在其對稱中心；且過對稱中心的直線平分該圖形的面積如圖所示， 若且關(guān)于點(diǎn) O中心對稱， 則對稱中心O是線段共同的中點(diǎn)，且；反過來，若線段都經(jīng)過點(diǎn)O 且 O 是它們的中點(diǎn)，那么關(guān)于點(diǎn) O中心對稱 2. 中心對稱的作圖：以上圖為例，作 關(guān)于點(diǎn) O的對稱圖形：（1）找出能確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn) A、 B、C；（2）分別作出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)如：連結(jié) AO，并在 AO的延長線上截取，則點(diǎn) A為點(diǎn) A 關(guān)于