復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)微積分理論的比較與應(yīng)用(共13頁)

1、復(fù)變函數(shù)(hnsh)與實(shí)變函數(shù)微積分理論的比較與應(yīng)用眾所周知(zhng su zhu zh)復(fù)變函數(shù)(hnsh)論是 HYPERLINK /wiki/ o 數(shù)學(xué) t _blank 數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的分支學(xué)科，它的研究對象是復(fù)變數(shù)的 HYPERLINK /wiki/ o 函數(shù) t _blank 函數(shù)，本學(xué)期我們數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生開始學(xué)習(xí)這門課程。復(fù)變函數(shù)論歷史悠久，內(nèi)容豐富，理論十分完美。它在數(shù)學(xué)許多分支、力學(xué)以及工程技術(shù)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。 這里先略微簡述一下復(fù)變函數(shù)的歷史。 HYPERLINK /wiki/ o 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)起源于求代數(shù)方程的根。復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)

2、展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的 HYPERLINK /wiki/ o 數(shù)學(xué)家 t _blank 數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué) HYPERLINK /wiki/ o 分支 分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的 HYPERLINK /wiki/ o 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的

3、學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門 HYPERLINK /wiki/ o 學(xué)科 t _blank 學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。 下面我將對已學(xué)的復(fù)變函數(shù)微積分的相關(guān)知識做以總結(jié)和歸納。復(fù)變函數(shù)(hnsh)的微積分理論 復(fù)變函數(shù)的微分(wi fn)性質(zhì) 我們(w men)知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由極限來定義的，所以我先把復(fù)變函數(shù)的極限理論做以梳理。 復(fù)變函數(shù)極限的概念： 函數(shù)=f(z)定義在z0的去心鄰域0z-z0內(nèi)，如果有一確定的數(shù)A存在，對于任給的0，相應(yīng)的必有一個(gè)正數(shù)()使得當(dāng)0z-z0（0)時(shí)，有f(z)-A。即稱zz0是的

4、極限，記為 另外復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性敘述與實(shí)變函數(shù)中的敘述是相似的，此處不細(xì)表在實(shí)變函數(shù)時(shí)另有說明。 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念： 設(shè)函數(shù)=f(z)在包含z0的鄰域D內(nèi)有定義，如果極限 存在，那么f(z)在z0處可導(dǎo)（或可微）。該極限成為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記做f(z0)=z=z。 = 復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則 1，（C）=0,C為復(fù)常數(shù) 2，（Zn）=nZn-1,n為正整數(shù) 3，f(z)g(z) = 4,f(z)g(z)=g(z)+f(z) 5,= 6, fg(z)=,其中(qzhng)=g(z) 7= ，其中=f(z)與z=()是兩個(gè)(lin )互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 0 由以上(yshng)的定義及性

5、質(zhì)可以看出復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣, 因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的。在之后的實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的微積分比較中還會進(jìn)一步闡明。 復(fù)變函數(shù)可微的必要、充分、充要條件： 必要條件，設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，則必有 偏導(dǎo)數(shù)ux、uy、vx、vy在點(diǎn)(x,y)存在； u(x,y) 、v(x,y)在點(diǎn)（x,y），滿足C.-R方程 充分條件，設(shè)函數(shù)f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iv可微的充分條

6、件是 ux、uy、vx、vy在點(diǎn)（x,y）處連續(xù)； u(x,y) 、v(x,y)在點(diǎn)（x,y）處滿足C.-R方程 充要條件，設(shè)函數(shù)f(z)= u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iv可微的充要條件是 二元函數(shù)u(x,y) 、v(x,y)在點(diǎn)（x,y）處可微 u(x,y) 、v(x,y)在點(diǎn)（x,y）處滿足C.-R方程 此處引入解析函數(shù)的概念，方便后邊(hu bian)討論復(fù)變函數(shù)的積分。 解析函數(shù)的相關(guān)理論(lln) 定義：函數(shù)(hnsh)=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微，則稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。 解析函數(shù)的四個(gè)等價(jià)定理如下： u(x,y) 、v(x,y

7、)在D內(nèi)可微；滿足C.-R方程 ux、uy、vx、vy在點(diǎn)D內(nèi)連續(xù)；滿足C.-R方程 f(z)在D內(nèi)連續(xù)；D內(nèi)任意周線C，使得=0 v(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)；滿足C.-R方程 解析函數(shù)的n階可導(dǎo)性 區(qū)域D的邊界是周線C（或者復(fù)周線）,函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在=C+D上連續(xù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且有 (z) n=1,2復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì) 這一部分我將分為四個(gè)部分來闡明，分別為不定積分、定積分、柯西定理、積分的計(jì)算。 復(fù)變函數(shù)的不定積分 區(qū)域D內(nèi)f(z)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)F（z）+C成為 f(z)在D內(nèi)的不定積分，記為,F（z）+C 這里f(z)為被積函數(shù)，z

8、為積分變量。 不定積分的性質(zhì)： = =K 復(fù)變函數(shù)的定積分 復(fù)變函數(shù)的定積分依然是以黎曼和的形式定義的。 函數(shù)(hnsh)=f(z)定義在區(qū)域(qy)D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)的起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)位A=z0,z1, zk-1,zkzn=B,每個(gè)弧段(k=1、2n)上任(shng rn)取一點(diǎn)k作和式Sn=(zk-zk-1)=zk 記=maxsk,(sk為)，當(dāng)n無限增加，且 0時(shí)，如果不論C的分法及的取法，Sn有唯一極限，那么稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為= 復(fù)變函數(shù)定積分的性質(zhì)： =- ； =K（K為常數(shù)） = ; 設(shè)曲線C的長度為

9、L，函數(shù)f(z)在C上滿足 f(z)M,那么ML =+,其中L由L1和L2組成。 復(fù)變函數(shù)的柯西定理（柯西積分定理） 定義：f(z)在Z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任意一條周線，則=0 另外由柯西定理可知如果函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域上的解析函數(shù)，則有以下性質(zhì)： 若C是D內(nèi)連接兩點(diǎn)z0及z的一條簡單曲線，那么沿曲線C的積分的值不依賴于曲線C，而只由z0及z決定。 固定(gdng)z0,而z在D內(nèi)任意取值，上述(shngsh)積分所確定的函數(shù) F（z）=在D被解析(ji x)，且(z)=f(z) 若（z）為f(z)在區(qū)域D內(nèi)的原函數(shù)，那么（z）-（z0） 這里z0,z為D內(nèi)的點(diǎn)。 復(fù)變函數(shù)

10、積分的計(jì)算 定義法，利用黎曼和式的極限來計(jì)算 ) 利用復(fù)變函數(shù)積分與坐標(biāo)曲線的聯(lián)系 =+i 利用柯西積分定理=0 但須滿足以下三條件之一 C為單連通區(qū)域D內(nèi)的周線或復(fù)周線，f(z)在D內(nèi)解析 f(z)在=C+D上解析，C為單連通區(qū)域D的邊界 f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，在=C+D上連續(xù) 利用柯西積分公式（積分曲線須滿足上述三條件之一） =2 參數(shù)方程法， 如可求得被積曲線的參數(shù)方程，如C：Z=Z（t）t, =(t)dt 利用復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(滿足上述條件之一) = 實(shí)變函數(shù)的微積分性質(zhì)及與復(fù)變函數(shù)微積分的比較 實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某個(gè)鄰域U（x0）內(nèi)有定義，

11、當(dāng)自變量x在x0處取得增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量=f(x0+)-f(x0)，如果極限 = 存在，則稱函數(shù)y=f(z)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。記為 實(shí)變函數(shù)的微分 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域U（x0）內(nèi)有定義， x0+在U（x0）內(nèi)，如果f(x0)在點(diǎn)x0處的增量可以表示為 其中A與無關(guān)，是的高階無窮小量，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處是可微的，且稱為函數(shù)y=f(x)在x0處的微分，記為dy。 實(shí)變函數(shù)微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且有dy=區(qū)別(qbi) ：由此可以看出復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)關(guān)于(guny)導(dǎo)數(shù)概念的敘述是相似的，即都是由函數(shù)值

12、的差與自變量的差之商的極限來定義導(dǎo)數(shù)，它們的聯(lián)系也是密切的，區(qū)別則是整個(gè)取值的差異。復(fù)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域中取值，實(shí)變函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)取值，但兩種微分的幾何意義是相同的。 對于(duy)微分的性質(zhì)，實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)有以下三大點(diǎn)的不同： 微分中值(zhn zh)定理 微分種植定理是微分學(xué)的重要內(nèi)容，表現(xiàn)形式一般為羅爾中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在復(fù)數(shù)域中是不成立的。 解析(ji x)函數(shù)零點(diǎn)的孤立性 區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可微的復(fù)變函數(shù)成為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。在復(fù)變函數(shù)論中，解析函數(shù)的零點(diǎn)總是孤立的。而實(shí)變函數(shù)體現(xiàn)出的性質(zhì)則截然相反。 解析函數(shù)的無窮可微性 在復(fù)變函數(shù)中，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則

13、f(z)在區(qū)域D內(nèi)具有(jyu)各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在區(qū)域D內(nèi)解析。復(fù)變函數(shù)的這一性質(zhì)稱為解析函數(shù)的無窮可微性。 實(shí)變函數(shù)中區(qū)間上的可微函數(shù)，是不一定具有二階導(dǎo)數(shù)的，更談不上具有高階導(dǎo)數(shù)，這樣的例子是很多的。 實(shí)變函數(shù)的不定積分 設(shè)F（x）是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C (C為任意的常數(shù))稱為f(x)的不定積分，記作,即 =F（x）+ C 實(shí)變函數(shù)不定積分的相關(guān)性質(zhì) =f(x)或df(x)dx=f(x)dx; =F(x)+C； =+ 其中為任意常數(shù)。 不定積分的計(jì)算方法 1，第一類換元法；2，第二類換元法 實(shí)變函數(shù)的定積分 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在a,b中任

14、意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，a=x0 x1x2xn=b,把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間 x0,x1,x1,x2 xn-1,xn,個(gè)小區(qū)間的長度依次為=x1-x0， =x2-x1, ,= xn- xn-1,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，做乘積f()(i=1,2, ,n)，再作和式S= ，記=max, , ，如果不論a,b怎樣分法，也不論xi-1,xi上點(diǎn) 怎樣取法，當(dāng)0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記做 =I,其中f(x)叫做被積函數(shù)， 叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a、b分別是積分上下限。 區(qū)別： 復(fù)變函數(shù)(hnsh)積分性質(zhì)與實(shí)變函數(shù)積分性質(zhì)的區(qū)別 復(fù)

15、變函數(shù)積分的定義類似數(shù)學(xué)分析里積分的方法，采取(ciq)的是分割、近似替代、求和、取極限等步驟來建立的，但形式像一元積分，而實(shí)質(zhì)像曲線積分，也就是復(fù)變函數(shù)的積分在本質(zhì)上與實(shí)變函數(shù)中第一類曲線積分相似。 復(fù)變函數(shù)(hnsh)積分的牛頓萊布尼茲公式與實(shí)一元函數(shù)的牛頓萊布尼茲公式在形式和結(jié)果上幾乎是完全一致，但實(shí)一元函數(shù)積分對函數(shù)的要求比復(fù)變函數(shù)積分對函數(shù)的要求要低得多。用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分，首先要解決的是，積分上下限的兩點(diǎn)是否可以包含在一個(gè)單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)f（z）是否在該單連通域內(nèi)解析。 復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)積分最大的不同之處是復(fù)變函數(shù)積分主要研究簡單閉曲線上的積分f（z）dz，

16、方法不同于高等數(shù)學(xué)中的方法，但思想有相同之處。復(fù)合閉路定理或留數(shù)定理，表達(dá)了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系，在高等數(shù)學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達(dá)了邊界與內(nèi)部的聯(lián)系。 復(fù)變函數(shù)微積分理論在實(shí)際中的應(yīng)用 復(fù)變函數(shù)論的方法在力學(xué)、物理學(xué)、以及工程技術(shù)中都有應(yīng)用，就是把流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、電工以及通訊中的一些問題轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)中的一些問題，用解析函數(shù)來解決。而計(jì)算一些實(shí)積分可以采用留數(shù)定理。 利用復(fù)變函數(shù)的微分性質(zhì)研究平面向量場的相關(guān)問題 以靜電場為例。我們知道場內(nèi)沒有其他物體帶電的平面靜電場既是無源場也是無旋場。我們可以利用復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)來構(gòu)造場E的復(fù)勢。 因?yàn)镋為無源場

17、，所以divE= + ，從而我們知道在B內(nèi)-dx+dy是某二元函數(shù)u(x,y)的全微分，即d u(x,y)= -dx+dy,由于等值線u(x,y)=c1上任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向與等值線在該點(diǎn)處的切線方向相同，等值線就是向量線，也是場E的電力線，。因此稱u(x,y)為該場的力函數(shù)。又因?yàn)閳鯡為無旋場，所以-=0。所以可以知道在B內(nèi)-dx+dy也是某二元函數(shù)v(x,y)的全微分，即d v(x,y)= -dx+dy。所以v(x,y)是場E的勢函數(shù)，等勢值v(x,y)=c2就是等勢線。 綜上所述，如果E是單連通區(qū)域B內(nèi)的無源無旋場，那么u(x,y)與v(x,y)滿足C.-R方程，并且它們具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。所以函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，成為靜電場E的復(fù)勢。利用靜電場的復(fù)勢可以統(tǒng)一研究靜電場的里函數(shù)和勢函數(shù)，討論電力線和等勢線的分布，描繪出靜電場的圖像。 復(fù)變函數(shù)積分的相關(guān)理論在流體力學(xué)中的應(yīng)用把二維向量當(dāng)做流場，對于不可壓縮流體的平面穩(wěn)定流動，設(shè)流體在z=x+iy平面上某一區(qū)域(qy)D內(nèi)流動，流體的流速是v=vx+ivy。在D內(nèi)任取一條光滑曲線AB，可以知道流體通過(tnggu)曲線AB的流量是 Q=QAB=ds=）（dx-dy）= - 其中(qzhng)vx、vy、vn分別表示流體速度v=vx+ivt,沿x，y軸和法線方向的分量。 當(dāng)AB為