浙教版八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)試卷專題27面積法

1、專題27面積法閱讀與思考平面幾何學(xué)的產(chǎn)生源于人們測量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角.所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識來解決一些直接或間接與面積問題有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的一種方 法.有許多數(shù)學(xué)問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借助 于有關(guān)面積的知識求解，常常簡捷明快.用面積法解題的基本思路是：對某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計算，就可得到一 個含邊或角的關(guān)系式，化簡這個面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果.下列情況可以考慮用面積法：（1）涉及三角形的高、垂線等問題；（2）涉及角平分線的問題.例題與求解【例1】如圖，從等邊三角形內(nèi)一

2、點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1, 3, 5,則這個 等邊三角形的邊長為.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手.等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如圖，AAOB中，Z0= 90 , OA=OB,正方形CDEF的頂點C在DA上，點D在0B上，點F2在AB上，如果正方形CDEF的面積是AAOB的面積的則0C： 0D等于（）A. 3： 1B. 2： 1C. 3： 2D. 5： 3解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時通過設(shè)元，即可把幾何問題代數(shù)化來解決.【例3】 如圖，在DABC

3、D中，E為AD上一點，F(xiàn)為AB上一點，且BE=DF, BE與DF交于G,求證:ZBGC = ZDGC.（長春市競賽試題）解題思路：要證NBGC=NDGC,即證CG為NBGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口.【例4】如圖，設(shè)P為AABC內(nèi)任意一點，直線AP, BP, CP交BC, CA, AB于點D、E、F.求證：（1）PD PEAD BE(2)PA PBAD BE（南京市競賽試題）解題思路：過P點作平行線，產(chǎn)生比例線段.例5ADBD CD+DF DP= 1994,求任DSBD而CD的值.如圖，在 ABC中，E, F, P分別在BC, CA, AB上，已知AE, BF, CP相交于一點D,

4、且解題思路：利用上例的結(jié)論，通過代數(shù)恒等變形求值.(黃岡市競賽試題)例6如圖，設(shè)點E, F, G, H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB, BC, CD, DA上，且月E BF CG DH=(4是正數(shù))，求四邊形EFGH的面積.(河北省競賽試題)解題思路：連對角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比.線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問題的常用技巧.轉(zhuǎn)化的基本知識有:(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比;(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比;(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方.能力訓(xùn)練.如圖，正方形ABCD的邊長為4cm, E是AD的中點，BM1EC,垂

5、足為則BM=（福建省中考試題）CELDP 于 E, AD=, AB=占，貝iJCE=.如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點，AP= 2BP,（南寧市中考試題）第1題圖第2題圖第3題圖114, PR=13,則該八邊形.如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個正方形的面積分別為25, 48, 121,的面積為.（江蘇省競賽試題）.在4ABC中，三邊長為虞b=4 ,白=6,勾表示邊上的高的長，耳,知的意義類似，則（兒 +電 + 電）一+也%的值為（上海市競賽試題）A.如圖，ABC的邊AB=2, AC=3, I , II, III分別表示以AB, BC, CA為邊的正方形，則圖中三個陰影部分的面積之和的

6、最大值是（全國競賽試題）6.如圖，過等邊AABC內(nèi)一點P向三邊作垂線，PQ=6, PR=8, PS = IS,貝ij ABC的面積是（）.A192后B.190,回C.194道D196 后（湖北省黃岡市競賽試題）CinA第5題圖第6題圖第7題圖7.如圖，點D是AABC的邊BC上一點，若NCAD = NDAB =600, AC=3, AB=6,則AD 的長是（）.A. 2B-C. 38.如圖，在四邊形ABCD中，M, N分別是AB, CD的中點，AN, BN, DM, CM劃分四邊形所成的7個區(qū)域的面積分別為W，工國,工，號，兀，國,那么恒成立的關(guān)系式是（）.A.已知等邊ABC和點P,設(shè)點P到AA

7、BC三邊AB, AC, BC的距離分別為電，質(zhì),匈 ABC的高 為兒 若點P在一邊BC上（如圖1）,此時 電=0,可得結(jié)論：4+% +，%=請直接用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P在AABC內(nèi)（如圖2）、點P在AABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成 立.請給予證明；若不成立，缸,電，網(wǎng)與人之間又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.（黑龍江省中考試題）B圖】圖2圖310.如圖，已知D, E, F分別是銳角AABC的三邊BC, CA, AB上的點，且AD、BE、CF相交于P點，AP =BP=CP=6,設(shè)PD = , PE=, PF = ,若種+*+妹=28,求W的值.（“希望杯

8、”邀請賽試題）1L 如圖,在凸五邊形 ABCDE 中,已知 ABCE, BC/AD, BE/7CD, DE#AC,求證：AE/BD.S（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）A.如圖，在銳角ABC中，D, E, F分別是AB, BC, CA邊上的三等分點.P, Q, R分別是AADF, ABDE,GCEF的三條中線的交點.(1)求4DEF與AABC的面積比；(2)求4PDF與AADF的面積比；(3)求多邊形PDQERF與4ABC的面積比.BE e 尹 QG A.如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB ， BC, CD ， DA至E, F, G, H,使三二三三二三三二二二皆， AB BC CD DA(上海市競

9、賽試題)才*四邊用SFG1T二2y四通瑟Jl0D9求的值.BD CE AF ,.如圖，一直線截AABC的邊AB, AC及BC的延長線分別交于F, E, D三點，求證：=1 .DC EA FB(梅涅勞斯定理)DC EA FB 1 名謝.如圖，在AABC中，B- = - = -=-,求亞的值(“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽試題)A面積法例2 H提木，作FGCA F點。則雙；咨DCQ 于是 仃；=0（二一仃尸 八g,設(shè)ccfQD=,oa =OB=iz-CP=x.則北-2州+%*=以 勾股定理*由題設(shè)知/ =21 71-A - V ur i u即病+f-（承乂+ rr）;化簡科加力, |=4”即5?一即

10、產(chǎn)=0.工根2以=0,即川-n=2 I L故選民例3 .連結(jié)EC EG則S* =與，一號Sis . 過9也分別作RE. DF的垂踐分別為垂足，推 譯 CQ-cr.ra zu區(qū)=S二型邑二號心的HfRE S , C.F S W例3分別過F.A柞此的匪線，垂 足為P. H.Ph PE 、 FFAD 班 CFn0 X?3 昱除=1PD口一尸A . PA P囁 PE H：_ 、山, AD AD1 AD BE - BE CF一 1 一 wfer11+h H +尸+w l,將上式去分母，牝茴整理得工 -+* *1 2 11996,即瞿,器器7 996.- 3二不：=45二”.，5&性=S3的，場、皿=不巧

11、手*，；同理,Smw 一二十.，5w放學(xué)30- Shf =乙+1爐 t S&IM + &二w“十1產(chǎn)旌結(jié)皿問理毋.故5所JIEMUJJ=%口陽.wy銖儲一 I 尸(A+l)能力訓(xùn)揀鼠 3 . /3+/L,125+65心境丁為直用三角形,3D4工9提示;隹長.記到點尸,使CF-Gj,連培BE易 Kwxam.SML 凡.乂 cf-cx，SqjLJ = 5川*? i陽/3 0冕3 r同理4知;1其他的個二例形的面板加與&4BC的面粒相霹，而只有當(dāng)上網(wǎng)5於時r S*的出火假為:X 2 X 33二三個陰數(shù)部分的面積和最大為重.6, A 7. A8. B提用設(shè)兒M月到DC的距離分別為上，人冉,鼠 知尾兒l

12、2%_抽&訓(xùn)一3：十優(yōu)+%), -1-rx = ? im dc=Snr -故選區(qū)，,當(dāng)戊產(chǎn)在占仙內(nèi)時結(jié)愴隹十工.% ，仍成立；當(dāng) 息p在入4月外時尚;設(shè)乩十卜 九=不成立.它r 的關(guān)系息訴L% j&j =及m里如由例4的小曲，布+備+后?，梅比式去分母井牝簡整 理附3=1 倔3 U y+ jt-宅G - b OB3 X 24 =冽.11.怔嗓曷金組吃心即可.12. CL連箏H曰刻工,53少心 3 bSTK相乘得S網(wǎng)理可指S- A T f a，JUT評3 工 Mi.5, ,def _ JLS%3 0 12）他K D尸交AC于點M.惠片是孔/11 小三條中線的,網(wǎng)式相乘得二 AHF同理5皿故一式a =邑力=.-叼 而w：5生店出片3=5八足：5+S-=磊號燈放殳空及14K93.茂GA, H8ET.kD及對角蹦AC.JW.則S/.HtK Im+ DS沙網(wǎng)1 =5】十】mS-3, 何用一 鵬（加+ W 5.得5血.I3口八*r DSym問理s,曲 明（e