數(shù)值分析實驗題( 華科)

1、數(shù)值分析實驗作業(yè)專業(yè): 姓名: 學號:實驗2.1多項式插值的振蕩現(xiàn)象問題提出:考慮在一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)， 次數(shù)就越高，我們自然關(guān)心插值多項的次數(shù)增加時， 是極著名并富有啟發(fā)性的，設(shè)區(qū)間-1,1上函數(shù)顯然Lagrange插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的Ln(x)是否也更加靠近逼近的函數(shù)，Runge給出的例子f (x)=1 + 25 x 2實驗內(nèi)容:考慮區(qū)間-1，1的一個等距離劃分，分點為i = 0,1,2,., nx =-1 + 生,i n則拉格朗日插值多項式為其中，I.(x)， i=0,1,2,.,n 是 n 次 Lagrange 插值函數(shù)。實驗要求:選擇不斷增大的分點數(shù)目n

2、=2, 3, .畫出原函數(shù)f(x)及插值多項式函數(shù)Ln(x)在-1，1上的圖像， 比較并分析實驗結(jié)果。選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間-5, 5上的函數(shù)，h( x) = x, g (x) = arctan x1 + x 4重復(fù)上述的實驗看其結(jié)果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的為插值點用“*”表示，朗格朗日擬合曲線用連續(xù)曲線表示。通過三個函數(shù)的 拉格朗日擬合可以看到，隨著插值點的增加，產(chǎn)生Rung現(xiàn)象。(1) f(x)x(3) g(x)+g(x).ajaige（*）rTJJL1多項式求值的振蕩現(xiàn)象n=321.50.50-0.5-1-1.5-2-5-4-3-2-1012345xx實驗3

3、.1最小二乘法擬合=j最編制以函數(shù)xk n為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對表中的數(shù)據(jù)作三次多項 k=0式最小二乘擬合。xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取權(quán)數(shù)三1,求擬合曲線甲*=況a*xk中的參數(shù)a ，平方誤差5 2，并作離散數(shù)據(jù)x ,y ikki ik = 0的擬合函數(shù)y=中*(x)的圖形。解：三次多項式的擬合曲線為:y =9 (x) = a + a x + a x2 + a x30123此題中權(quán)函數(shù) (x) = 1，即 W=(1,1,1,1,1,1,1)利用法方程ATAa = AtY求解

4、這個方程組，就可以得到系數(shù)a。解之得：a0 = 0.54912,% =-3.9683x10-5,a2 =2.9977,a3 = 1.9991故擬合的函數(shù)為:y = 0.54912 - 3.9683 x 10-5 x - 2.9977 x 2 + 1.9991x 3,平方誤差為：2.176191667187105e-05擬合的函數(shù)圖像如下：y3次多項式擬合，平方誤差=2.1762e-05-1-0.5011.520.5 x實驗5.1常微分方程性態(tài)和R-K法穩(wěn)定性試驗試驗?zāi)康?考察下面的微分方程右端項中函數(shù)y前面的參數(shù)對方程性態(tài)的影響(它可使方程為好條 件的或壞條件的)和研究計算步長對R-K法計算穩(wěn)

5、定性的影響。實驗題目：常微分方程初值問題(y =ay-Ox +1, 0 x 1ty (0) = 1 ,其中，-50a 50。其精確解為y(x) = ex + x實驗要求:對于參數(shù)a，分別去四個不同的數(shù)值：一個大的正值，一個小的正值，一個絕對 值小的負值和一個絕對值大的負值。取步長h = 0.01，分別用經(jīng)典R-K法計算，將四組計 算結(jié)果畫在同一張圖上，進行比較并說明相應(yīng)初值問題的性態(tài)。對于參數(shù)a為一個絕對值不大的負值和兩個計算步，一個計算步使參數(shù)ah在經(jīng) 典R-K法的穩(wěn)定域內(nèi)，另一個步長在經(jīng)典的R-K法的穩(wěn)定域外。分別用經(jīng)典R-K法計算并 比較計算結(jié)果。取全域等距的10個點上的計算值，列表說明

6、。解:對于4階R-K法絕對穩(wěn)定區(qū)為：-2.785 X h 0 這里人=a，所以絕對穩(wěn)定區(qū)為：-2.785ah0(1)對于h = 0.01，絕對穩(wěn)定區(qū)：-278.5a 0a21-1-2h0.010.010.010.01(2)對于 a =20，穩(wěn)定區(qū) 0 h 0.1391a-20-20h0.010.15xy （精確解）數(shù)值解y1 (a=-20,h=0.01)y1-y數(shù)值解y2 (a=-20,h=0.15)y1-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.

7、4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可見h=0.01時，數(shù)值解穩(wěn)定h=0.15時，數(shù)值解不穩(wěn)定。程序源代碼function testCharpt2_1%對數(shù)值分析實驗題第2章第1題進行分析promps=輸入f為選擇地)；輸入h為選擇h(x)；輸入g為選擇g(x);result=inputdlg(

8、promps,請選擇實驗函數(shù));chooseFunction=char(result);switch chooseFunctioncase ff=inline(1./(1+25*x.A2);a=-1;b=1;nameFuc=f(x);case hf=inline(x./(1+x.A4);a=-5;b=5nameFuc=h(x)case gf=inline(atan(x);a=-5;b=5nameFuc=g(x)end% promps2=n=;% nNumble=inputdlg(promps2，請輸入分點數(shù) n);nNumble=2:11for i=1:length(nNumble)x=lin

9、space(a,b,nNumble(i)+1);y=feval(f,x);xx=a:0.1:b;yy=lagrange(x,y,xx)figurefplot(f,a,b,*)hold onplot(xx,yy,LineWidth,2)xlabel(x)ylabel(y)legend(nameFuc,lagrange(x)nameTitle=多項式求值的振蕩現(xiàn)象,n=,num2str(nNumble(i)title(nameTitle,FontSize,14);grid on endfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s實現(xiàn)拉格朗日插值%輸入?yún)?shù)x, y分別為已知插值點的自

10、變量和因變量%輸入?yún)?shù)xx為擬合點的自變量值%輸出參數(shù)yy為對應(yīng)自變量xx的擬合值 xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLengthyy(i1)=0;for i2=1:xLengthp=1;for i3=1:xLengthif(i2=i3)p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3);endendyy(i1)=yy(i1)+p*y(i2);endendfunction testCharpt3_1()%對數(shù)值分析實驗題第3章第1題進行分析%輸入?yún)?shù)：自變量x,因變量y%輸入?yún)?shù)：多項式擬合次數(shù)nclcclearform

11、at longx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x)A=A;1 x(i) x(i)A2 x(i)A3endA2=A*A;a=inv(A2)*A*y%多項式的系數(shù)% a=roundn(a,-6)yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3;r=(y-yy)*(y-yy) % 平方誤差clfhold onplot(x,y,or);x2=-1:0.01:2;y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.A2+a(4

12、)*x2.A3;plot(x2,y2,LineWidth,2);legend(離散值,擬合曲線)xlabel(x);ylabel(y);title(3 次多項式擬合，平方誤差=,num2str(r),FontSize,14);gridonfunction testCharpt5_1%對數(shù)值分析實驗題第3章第1題進行分析%輸入?yún)?shù)：參數(shù)a,步長h%精確解和數(shù)值解圖形對比%第1問輸入a=2 1 -1 -2%輸入a的取值h=0.01 0.01 0.01 0.01%輸入 h 的取值%第2問輸入% a=-20 -20% 輸入a的取值% h=0.01 0.15%輸入h的取值%func=inline(1+(y-x).*a);% 定義函數(shù)for i=1:length(a)x=0:h(i):1;%求解區(qū)間y=x;N=length(x);y(1)=1;for n=1:N-1k1=func(a(i),x(n),y(n);k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2);k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2);k4=func(a(i),x(n)+h(i),y(n)+k3*h(i);y(n+1)=y(n)+h(i)*(k1