信號與系統(tǒng)第4章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析

1、第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)(xtng)的s域分析 4.1 引言4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 4.3 拉氏變換的基本性質(zhì)4.4 拉普拉斯逆變換 4.5 用拉普拉斯變換分析法分析電路(dinl)、S域模型4.6 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)共一百八十三頁4.7 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)(jdin)分布決定時域特性4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻域特性4.9 二階諧振系統(tǒng)的s平面分析4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布4.11 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.12 雙邊拉氏變換4.13 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系共一百八十三頁 這一章(y zhn)開始討論連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，即用

2、拉普拉氏變換這個工具來完成。 從頻域分析系統(tǒng)有其不足之處：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，即不滿足絕對可積（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析（不能求全響應(yīng)）（3）反傅里葉變換不好求 基于以上幾點(diǎn)引入了拉普拉氏變換，把頻域變成復(fù)頻域共一百八十三頁4.1 引言(ynyn)19世紀(jì)末，英國工程師赫維賽德(O.Heaviside)發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程計(jì)算中遇到的一些(yxi)基本問題。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)為赫維賽德找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)。共一百八十三頁4.2 拉普拉斯變換的定義(dngy)、收斂域 （一）從傅里葉變換(binhun)到拉普拉斯變換(b

3、inhun) 共一百八十三頁對于(duy)因果信號有狄利克雷條件(tiojin)共一百八十三頁 f1(t)=f(t)e-t e-t為收斂（衰減）因子，且f1(t)滿足絕對(judu)可積條件。 則令+j=s， 上式可表示(biosh)為 共一百八十三頁F1()的傅氏反變換(binhun)為 共一百八十三頁f(t)為原函數(shù)F(s)為象函數(shù)(hnsh) 拉普拉斯變換(binhun)式(或拉普拉斯變換(binhun)對) 拉氏變換L f(t)拉氏逆變換L -1 F(s)共一百八十三頁共一百八十三頁注意： 傅氏變換將f(t)變換為F()，或作相反(xingfn)變換。 時域中的變量t和頻域中的變量都是

4、實(shí)數(shù)。 拉氏變換是將f(t)變換為F(s)，或作相反變換。 這時t是實(shí)數(shù)s卻是復(fù)數(shù)。 共一百八十三頁 s稱為“復(fù)頻率”。 傅里葉變換建立(jinl)了時域和頻域間的聯(lián)系。 拉氏變換則建立了時域與復(fù)頻域(s域)間的聯(lián)系。共一百八十三頁單邊拉普拉斯變換(binhun)雙邊(shungbin)拉普拉斯變換共一百八十三頁(二) 從算子(sun z)符號法的概念說明拉氏變換的定義共一百八十三頁共一百八十三頁(三)拉氏變換的收斂收斂域是使f(t)e-t滿足(mnz)絕對可積的取值范圍， 或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的取值范圍。 共一百八十三頁共一百八十三頁 =0做收斂(shulin)坐標(biāo)，是實(shí)軸上的一

5、個點(diǎn)。 穿過0并與虛軸j平行的直線叫做收斂軸。 收斂軸的右邊為收斂區(qū)， 收斂區(qū)不包括收斂軸。滿足(mnz)的函數(shù)為指數(shù)階函數(shù)。共一百八十三頁0收斂(shulin)坐標(biāo)收斂(shulin)軸Oj收斂區(qū)共一百八十三頁1、有始有終(yu sh yu zhng)的信號： 收斂坐標(biāo)落于-，全部s平面都屬于收斂區(qū)。2、等幅度信號收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。3、隨時間成正比的信號收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。共一百八十三頁4、按指數(shù)規(guī)律增長eat的函數(shù)收斂坐標(biāo)落于0=a， a屬于收斂區(qū)。5、比指數(shù)函數(shù)增長得更快的函數(shù)不能找到收斂坐標(biāo)，不能進(jìn)行(jnxng)拉氏變換。共一百八十三頁(四)

6、 一些(yxi) 常用函數(shù)的拉氏變換(1) 階躍函數(shù)(hnsh)(2) 指數(shù)函數(shù)共一百八十三頁(3) tn (n是正整數(shù))共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三頁(4) 沖激函數(shù)共一百八十三頁表4-1 常用(chn yn)函數(shù)單邊拉氏變換 序號1234567共一百八十三頁序號891011121314共一百八十三頁 4.3 拉氏變換的基本(jbn)性質(zhì)(一) 線性(疊加) 若 K1、K2為常數(shù)(chngsh) 則 共一百八十三頁例4-1 求 的拉氏變換(binhun)F(s)。解：同理共一百八十三頁(二) 原函數(shù)微分(wi fn) 若則共一百八十三頁為什么與0-時刻有關(guān)系？當(dāng)f(t)在t=0時

7、刻不連續(xù)時，其導(dǎo)數(shù)在0時刻有沖激信號存在，為了在拉氏變換中反映(fnyng)0時刻前后的變化，所以下限從0-開始。共一百八十三頁11012共一百八十三頁例：求該系統(tǒng)(xtng)的全響應(yīng)，已知微分方程式共一百八十三頁例4-2 已知流經(jīng)電感(din n)的電流iL(t)的拉氏變換為IL(s)，求電感的電壓vL(t)的拉氏變換。解：若共一百八十三頁(三) 時域積分(jfn)若則式中共一百八十三頁證： 其中(qzhng) 共一百八十三頁例4-3 已知流經(jīng)電容的電流iC(t)的拉氏變換(binhun)為IC(s)，求電容的電壓vC(t)的拉氏變換。解：若共一百八十三頁例4-4 如圖所示電路在t=0時開關(guān)

8、閉合(b h)，求輸出信號vC(t)。解：(3) 求VC(s)的逆變換R+-ES+-C(1) 列寫微分方程(wi fn fn chn)(2) 將上式取拉氏變換共一百八十三頁(四)延 時(時域平移(pn y)證： 若則令共一百八十三頁共一百八十三頁例4-5 求如圖所示矩形脈沖的拉氏變換(binhun)。解：共一百八十三頁(五) s域平移(pn y) 若 則 證： 共一百八十三頁例4-6 求 和 的拉氏變換(binhun)。 解： 已知 由s域平移(pn y)定理 同理 由s域平移定理 共一百八十三頁(六) 尺度(chd)變換 證： 若 則 共一百八十三頁例4-7 求 ，若 ，求 解： 或 共一百

9、八十三頁例：如圖信號(xnho)的單邊拉氏變換f1(t)11f2(t)11-1共一百八十三頁例：T/201f(t)T/201f(t)T/201f(t)共一百八十三頁(七) 初值 若函數(shù)(hnsh)f(t)及其導(dǎo)數(shù) f(t)可以進(jìn)行拉氏變換， f(t)的變換式為F(s)，則共一百八十三頁證：共一百八十三頁終值適用的條件：僅當(dāng)sF(s)在s平面(pngmin)的虛軸上及其右邊都為解析時(原點(diǎn)除外)，終值定理才可應(yīng)用。(八) 終值 若f(t)及其導(dǎo)數(shù) f(t)可以進(jìn)行(jnxng)拉氏變換， f(t)的變換式為F(s)，而且 存在，則共一百八十三頁證： 令s0, 兩邊(lingbin)取極限得 共一

10、百八十三頁 當(dāng)信號 f ( t ) 的終值存在時，才能利用它求得終值，否則將得到錯誤的結(jié)果。而要使 f ( t ) 的終值存在，則要求 F ( s ) 的極點(diǎn)在左半 s 平面，如果 F ( s ) 在 jw 上有極點(diǎn)的話，也只能(zh nn)是在原點(diǎn)上的一階極點(diǎn)，其原因在于，只有滿足這種極點(diǎn)分布的信號才有終值存在。 終值和初值定理常用(chn yn)于由 直接求f(0-)和f()共一百八十三頁 (九) 卷積 若 則 證： 共一百八十三頁共一百八十三頁表4-2 拉氏變換性質(zhì)(xngzh)（定理） 共一百八十三頁共一百八十三頁4.4 拉普拉斯逆變換 拉普拉斯反（逆）變換(binhun)是將象函數(shù)F

11、(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。用定義式做比較困難，通常的方法(fngf)有：（1）查表。直接利用逆變換表（2）部分分式展開（重點(diǎn)）（3）留數(shù)法共一百八十三頁(一)部分分式分解 F(s)為s的有理函數(shù)(yu l hn sh)時， 一般形式可表示為 式中, ai、 bi為實(shí)常數(shù)(chngsh)， n、 m為正整數(shù)。 共一百八十三頁 將分母多項(xiàng)式表示為便于分解的形式 B(s)=bn(s-p1)(s-p2)(s-pn) 式中, p1, p2, , pn是B(s)=0方程式的根， 也稱F(s)的極點(diǎn)(jdin)。 同樣分子多項(xiàng)式也可以表示為 A(s)=am(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中,

12、 z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也稱F(s)的零點(diǎn)。 共一百八十三頁 1. mn， F(s)均為單極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁共一百八十三頁同樣, F(s)兩邊同乘(s-p2)， 然后(rnhu)令s=p2可得第二個系數(shù)以此類推， 任一極點(diǎn)pi對應(yīng)(duyng)的系數(shù)為共一百八十三頁例4-8 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：將F(s)寫成部分分式展開(zhn ki)形式共一百八十三頁或共一百八十三頁共一百八十三頁 2. mn， F(s)均為單極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁例4-9 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：用分子分母(fnm)(長除法)得到共一百八十三頁或

13、共一百八十三頁共一百八十三頁例4-10 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：部分(b fen)分式展開共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三頁例4-11 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：共一百八十三頁例4-10方法(fngf)二：共一百八十三頁共一百八十三頁 3. mn, F(s)有重極點(diǎn)(jdin) 設(shè)共一百八十三頁L tne-at=L -1共一百八十三頁共一百八十三頁例4-12 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：部分分式(fnsh)展開共一百八十三頁共一百八十三頁或共一百八十三頁共一百八十三頁(二)用留數(shù)定理(dngl)求逆變換共一百八十三頁s=pi為一階極點(diǎn)

14、(jdin) s=pi為k階極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁例4-12 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：s=0為一階極點(diǎn)(jdin) s=-1為3階極點(diǎn) 共一百八十三頁共一百八十三頁4.5 用拉普拉斯變換分析電路(dinl)、s域元件模型 (一) 利用拉氏變換(binhun)解微分方程共一百八十三頁共一百八十三頁1. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(jl)引起的響應(yīng)。得零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)為 共一百八十三頁2. 零輸入(shr)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲能引起的響應(yīng)。共一百八十三頁 3. 全響應(yīng)(xingyng) 共一百八十三頁(二) 利用(lyng)拉氏變換分析電路 例 4-

15、13 如圖所示電路，當(dāng)t0時，開關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時開關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)與vR(t)波形。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三頁解：首先(shuxin)求vC(t)(2) 取拉氏變換(binhun)(1) 列寫微分方程共一百八十三頁求vR(t)共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三頁(三) s域的元件(yunjin)模型 共一百八十三頁分別對上式進(jìn)行(jnxng)拉氏變換， 得到 不考慮(kol)起始條件 共一百八十三頁共一百八十三頁若對電流(dinli)求解， 得到 共一百八十三頁共一百八十三頁例 4-1

16、5 如圖所示電路，當(dāng)t0時，開關(guān)(kigun)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時開關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三頁+-E+-vC(t)CRVC(s)-+I(s)解：畫出s域網(wǎng)絡(luò)(wnglu)模型共一百八十三頁例 4-15 如圖所示電路，當(dāng)t0時，開關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)(zhungti)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時開關(guān)從“1”端打到“2”端，求iL(t) 。-E2+-E1iL(t)21LR0R2R1+共一百八十三頁解：-E2iL(t)LR0R2+-E1iL(t)R1sLIL0(s)E2R2共一百八十三頁共

17、一百八十三頁例 電路(dinl)如圖, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 共一百八十三頁解：共一百八十三頁共一百八十三頁分別計(jì)算零狀態(tài)(zhungti)、 零輸入響應(yīng)。 (1) 零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng) 共一百八十三頁(2) 零輸入(shr)響應(yīng) 共一百八十三頁4.6 系統(tǒng)(xtng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)(xtng)函數(shù)在零狀態(tài)下定義為 系統(tǒng)函數(shù)共一百八十三頁例4-17 如圖所示在t=0時開關(guān)S閉合，接入信號源e(t)=sin(2t)，電感起始(q sh)電流等于零，求電流i(t)。解：共一百八十三頁共一百八十三頁共一百八十三

18、頁共一百八十三頁策動點(diǎn)函數(shù)：激勵與響應(yīng)(xingyng)是同一端口2) 策動(cdng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)1) 策動點(diǎn)阻抗函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳輸函數(shù))：激勵與響應(yīng)不在同一端口2) 轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)1) 轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)3) 轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)4) 轉(zhuǎn)移電流比函數(shù)共一百八十三頁n階系統(tǒng)(xtng)微分方程的一般形式為 (1) 由微分方程求系統(tǒng)(xtng)函數(shù)共一百八十三頁零狀態(tài)(zhungti)下拉氏變換系統(tǒng)(xtng)函數(shù)為共一百八十三頁(2) 電路系統(tǒng) 舉例說明用s域等效(dn xio)模型， 可以得到網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。如圖所示電路系統(tǒng)， 輸入為v1(t)，輸出為v2(t)，試求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。共一百八十三頁解：畫零狀態(tài)(zhungti)s域模型圖共一百八十三頁4.7 由系統(tǒng)(xtng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時域特性(一) H(s)零、極點(diǎn)分布與h(t)波形特性的對應(yīng)極點(diǎn)： H(s)分母(fnm)多項(xiàng)式之根。零點(diǎn)： H(s)分子多項(xiàng)式之根。為有限值s=p1處為一階極點(diǎn)。直到K=n時才為有限值s=p1處為n階極點(diǎn)。共一百八十三頁的極點(diǎn)(jdin)即零點(diǎn)(ln din)。的零點(diǎn)即極點(diǎn)。(二階)零點(diǎn)：(一階)