協(xié)調(diào)與談判（PPT 82頁）--納什談判解

1、協(xié)調(diào)與談判主要內(nèi)容： 4.1 協(xié)調(diào)博弈 4.2 4.3 納什談判解 4.4 初始參考點和其它談判解 4.5 威脅1 4.1 協(xié)調(diào)博弈 4.1.1 多重納什均衡 4.1.2 協(xié)調(diào)博弈24.1.1 多重納什均衡 多重納什均衡 多重納什均衡的一些選擇標準 3多重納什均衡 當一個博弈中存在有不止一個納什均衡時，稱為一個多重納什均衡博弈問題。 在多重納什均衡的情況下，有兩個基本問題： 一是在多個納什均衡中進行選擇的標準， 二是如何保證局中人的策略選擇能保證所選策略能實現(xiàn)納什均衡，而這兩個問題又是交織在一起的。4多重納什均衡的一些選擇標準 1. 帕累托占優(yōu)納什均衡。 2. 風險占優(yōu)納什均衡。 3. 聚點均

2、衡。5帕累托占優(yōu)納什均衡 定義4.1.1 在博弈 中，若 均為G的其納什均衡，若 滿足 則稱 為博弈G的帕累托占優(yōu)納什均衡。 例4.1.1 戰(zhàn)爭與和平博弈 設(shè)有兩個國家均有戰(zhàn)爭與和平兩策略，其博弈結(jié)果如右： 該博弈有三個納什均衡：（戰(zhàn)爭，戰(zhàn)爭）、（和平，和平）和一個混合策略納什均衡 。很顯然，（和平，和平）是一個帕累托占優(yōu)納什均衡。 6風險占優(yōu)納什均衡 例4.1.2 價格競爭博弈：設(shè)有兩個商家，均有“高價”和“低價”兩種策略，其收益情況見右表： 該博弈有三個納什均衡點：（高價，高價）、（低價，低價）和一個混合策略納什均衡點 。 經(jīng)過比較，（高價，高價）是一個帕累托占優(yōu)納什均衡。但是納什均衡（低

3、價，低價）對商家更有吸引力。因為采用帕累托占優(yōu)納什均衡（高價，高價）具有風險，當局中人1采用“高價”策略時，若對方局中人2采用“低價”時，他得到的收益將減少到0；而局中人出“低價”策略，可保證最低收入為7。7 若將此例的情況再特殊一點，假設(shè)這兩個商家相鄰，且出售同一品牌的同一種產(chǎn)品，其收益情況見右表： 此時，博弈仍有三個納什均衡，其中（高價，高價）和（低價，低價）仍是兩個純策略納什均衡點，（高價，高價）是帕累托占優(yōu)納什均衡。但此時商家一定會出“低價”策略，而避免出“高價”策略的風險。在這個博弈中，我們稱（低價，低價）為該博弈的“風險占優(yōu)納什均衡”。風險占優(yōu)納什均衡難以給一個準確的定義，它取決于

4、局中人的風險態(tài)度，歷史情況，外來影響等多種因素，只能具體情況具體分析。風險占優(yōu)納什均衡在經(jīng)濟和管理中的應用是非常普遍的現(xiàn)象8聚點均衡 在一些多重均衡的博弈中，人們對多個均衡點選取依賴于博弈之外的一些特定的環(huán)境狀態(tài)，包括共同的知識，共同的習慣，特殊的背景等。 在前面的第2章中，我們討論過夫妻愛好問題。該博弈中有三個納什均衡，其中兩個純策略納什均衡分別是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。夫妻雙方選擇什么樣的納什均衡呢？這里不存在上述的帕累托占優(yōu)納什均衡，也不存在風險占優(yōu)納什均衡，其均衡選擇依賴于該博弈之外的特定環(huán)境。如果丈夫工作勞累，妻子溫柔體貼，他們會選擇（足球，足球）；如果該周末正好是妻子的生日

5、，他們會選擇（芭蕾，芭蕾）。 在多重均衡的博弈中，我們稱這種有一致意向選擇的均衡為“聚點均衡”，它取決于該博弈之外的特定環(huán)境。9 例4.1.3 約會博弈現(xiàn)有兩個人約定第二天就一項重要事宜進行商討，但未給出具體時間。一旦約會成功，兩人都會有收益，約會不能見面會誤事，收益為負效應。假設(shè)第一人在時刻到達，而第二個人在時刻到達。顯然當時，是納什均衡點，這種納什均衡點有無窮多個。 進行約會的對方會選擇哪一時刻，取決于博弈之外的特定環(huán)境。如果雙方都知道對方的工作習慣是上午9點開始工作，他們會選擇會面時刻在上午9點。如果對方歷次見面都是中午12點吃工作餐，他們會選擇時刻在中午12點。 在多重均衡的博弈中，聚

6、點均衡只能具體問題具體分析。104.1.2 協(xié)調(diào)博弈 多重均衡的博弈的兩個難題 協(xié)調(diào)博弈的分類 純粹協(xié)調(diào)博弈的特征 博弈論專家對實現(xiàn)協(xié)調(diào)有一些共同的看法 11多重均衡的博弈的兩個難題第一個難題是，當理性的局中人面臨著多種策略可以達到均衡時，如何使所有局中人在策略選擇上實現(xiàn)納什均衡的一致性，即使每個局中人的選擇結(jié)果而組成的策略組合是一個納什均衡。第二個難題是，在多重均衡中，存在有社會最優(yōu)的帕累托占優(yōu)納什均衡，如何使所有的局中人選擇策略，使得組成的策略組合是一個帕累托占優(yōu)納什均衡。這構(gòu)成了協(xié)調(diào)博弈討論的問題。12協(xié)調(diào)博弈的分類對協(xié)調(diào)博弈可分為兩類：純粹協(xié)調(diào)博弈和非純粹協(xié)調(diào)博弈。 在一個純粹協(xié)調(diào)博弈

7、中，局中人對不同的均衡有相同的偏好。例如，例4.1.2 。在一個非純粹協(xié)調(diào)博弈中，局中人對不同的均衡有不同的偏好。例如夫妻愛好博弈。 13純粹協(xié)調(diào)博弈的特征純粹協(xié)調(diào)博弈有什么特征，我們先看一個例題。 例4.1.4 Cooper的協(xié)調(diào)博弈：設(shè)有兩個局中人A和B，兩人從事同一種生產(chǎn)。局中人努力的情況為 。假設(shè)人均消費量為 每個人的得益為 該博弈的得益矩陣如圖 該博弈有兩個純策略納什均衡(1，1)和(2，2)，很明顯（1，1）是風險占優(yōu)均衡。而（2，2）是帕累托占優(yōu)納什均衡。帕累托占優(yōu)納什均衡是社會最優(yōu)的。這顯然是個純粹協(xié)調(diào)博弈問題。14在該博弈中，若局中人A選擇了策略2，局中人B從第一個均衡（1，

8、1）轉(zhuǎn)向（2，2），B的收益將增加1個單位。局中人A和B位置交換結(jié)論也一樣。這表明，有一個局中人選擇了帕累托占優(yōu)納什均衡中的策略，能增加另一方選擇帕累托占優(yōu)納什均衡中策略的邊際收益。這種具有正反饋的特征稱之為策略的互補性。在實際的博弈中，局中人是否都會選擇策略2，或在多次同樣的博弈中局中人都會選擇策略2，以實現(xiàn)帕累托占優(yōu)納什均衡呢？答案是否定的。對純粹協(xié)調(diào)博弈，（下面簡稱協(xié)調(diào)博弈）的研究大多是用實驗博弈的方法進行的。下面將Cooper等人對協(xié)調(diào)博弈的研究介紹如下。 15CG是Cooperation Game 的簡稱，22是指2人雙矩陣非合作博弈。該博弈的得益矩陣如下：該博弈有兩純策略納什均衡1

9、，1和2，2，其中1，1是風險占優(yōu)均衡，2，2是帕累托占優(yōu)納什均衡，這與例4.1.4在本質(zhì)上是一樣的。庫珀（Cooper）對該博弈的實驗是這樣進行的：選擇了11個人，每人均與其余人進行上述得益矩陣下的兩次博弈，其博弈順序不是公共的知識。若每次博弈完后，則按上面得益矩陣計分。當實驗全部結(jié)束后，參與人按所得的分數(shù)進行獎勵。16實驗結(jié)果表明，自然協(xié)調(diào)成功的情況不存在。在實驗進行到最后11個階段的博弈中，出現(xiàn)了10次1，1的風險占優(yōu)均衡，有1次未出現(xiàn)均衡，而帕累托占優(yōu)納什均衡2，2未出現(xiàn)。庫珀對這種現(xiàn)象的解釋是：風險占優(yōu)在該博弈中的指導作用要好于帕累托占優(yōu)。 不少學者進行了類似的2人協(xié)調(diào)博弈實驗。取所

10、取得局中人的得益函數(shù)為 其中為局中人的策略，取值為自然數(shù)序列，可參考例4.1.4。這些實驗都與庫珀對CG-22的博弈實驗有類似結(jié)論。17例4.1.6 CG-33協(xié)調(diào)博弈：CG的意義同例4.5，33是指一個2人3策略的非合作博弈。 該博弈的得益矩陣為： 庫珀通過改變參數(shù)x和y的取值，實驗局中人對這些參數(shù)的理解和對均衡的影響。其中三個最典型的實驗為： 情形1：（x，y）=（1000，0） 情形2：（x，y）=（700，1000）在這兩種情況下，策略組合1，1和2，2都是純策略納什均衡，且1，1是風險占優(yōu)均衡，2，2是帕累托占優(yōu)納什均衡。18實驗的結(jié)果是：（1）博弈的結(jié)果基本上都是納什均衡；（2）在

11、情形1中，多數(shù)結(jié)果是1，1風險占優(yōu)均衡；在情形2中，多數(shù) 結(jié)果是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡。在該博弈中，策略組合3，3稱為次優(yōu)策略組合，但不是納什均衡。對策略3，情形1中局中人的最優(yōu)反應是策略1，而在情形2中，局中人的最優(yōu)反應是策略2。因此，庫珀對該博弈結(jié)果的解釋是：尋求次優(yōu)策略的最優(yōu)反映導致了均衡結(jié)果的選擇。 情形3：（x，y）=（700，650）。 這時，博弈的純策略納什均衡同情形1和情形2一樣，3，3仍然是次優(yōu)的策略組合。對策略3，局中人的最優(yōu)反應是策略1。但實驗結(jié)果表現(xiàn)為均衡2，2結(jié)果。因而庫珀得到“沒有出現(xiàn)完全和這些結(jié)果一致的解釋”。這里的“這些結(jié)果”是指上面提出的，尋求次優(yōu)策略的最優(yōu)

12、反映導致了均衡結(jié)果的選擇。19博弈論專家對實現(xiàn)協(xié)調(diào)有一些共同的看法1. 博弈前的交流。 假定在博弈前，局中人可以向?qū)Ψ絺鬟f信息，但這一信息并不約束局中人在博弈中對策略的選擇。這類博弈通常稱為廉價商議（cheap talk）博弈。庫珀對例4.1.5的協(xié)調(diào)博弈進行實驗，并發(fā)現(xiàn)，如果局中人雙方都發(fā)出聲明，即雙向溝通的情況下，最后n個階段中，91%的結(jié)果都是2，2帕累托均衡。而且，最后n個階段中，所有聲明的策略都是2。在單向溝通的情況下，廉價商議的結(jié)果則不那么明顯。實驗結(jié)果表明，53%的結(jié)果實現(xiàn)了帕累托占優(yōu)納什均衡，并且87%的情況下局中人宣布策略是2，并發(fā)出聲明的局中人并不總是遵守這一承諾，而接受聲

13、明的局中人也不一定采取策略2。202. 外部建議 假設(shè)在博弈前，存在一個局中人之外的建議者，他對局中人的策略選擇給出建議。范?？耍╒an Huyck）等人對下面三個博弈進行了外部建議的實驗。 （a） （b） （c） 對表4.17（a），在局中人未收到外部建議之前，40%的博弈實驗結(jié)果在三個純策略納什均衡上協(xié)調(diào)成功，當對三個局中人給出外部建議時，協(xié)調(diào)成功的概率是95%。 21 對表4.1.7（b），在局中人未收到外部建議之前，98%的博弈實驗結(jié)果是納什均衡（1，1）。而當外部建議選取均衡3，3時，只有17%的局中人接受了建議。而當外部建議選取2，2時，有75%的局中人接受了建議。這個結(jié)果表明，當

14、建議不符合局中人利益時，局中人并不接受建議。 對表4.1.7（c），在局中人未收到外部建議之前，70%的博弈實驗結(jié)果是納什均衡（2，2）。而當外部建議者給出一個1，1均衡（或3，3均衡）建議時，實驗博弈的結(jié)果與建議相符的只有16%。這個結(jié)果表明，若外部建議不是帕累托占優(yōu)納什均衡時，建議是無效的。22 3. 外部選擇： 假定在協(xié)調(diào)博弈之前增加一個對博弈之外的選擇，再進行協(xié)調(diào)博弈，會增加協(xié)調(diào)成功的可能性。 庫珀對CG-22協(xié)調(diào)博弈（即例4.1.5）進行了實驗。在協(xié)調(diào)博弈之前，局中人有兩個選擇：是選擇不參加博弈，直接得到900單位收益，二是參加例4.1.5的CG-22協(xié)調(diào)博弈。實驗結(jié)果是有40%的參

15、與人選擇了不參加博弈，直接得到900單位的收益，剩下的人參加協(xié)調(diào)博弈，77%的博弈結(jié)果是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡，只有2%的博弈結(jié)果是1，1風險占優(yōu)均衡。范海克對CG-22協(xié)調(diào)博弈進行了實驗。在協(xié)調(diào)博弈之前，對協(xié)調(diào)博弈的參與權(quán)進行拍賣。拍賣的方式是英國時鐘式拍賣，即先給一個較低的參與權(quán)價格，經(jīng)過一個固定時間，價格增加一個固定量，隨著價格的增加，對參與權(quán)不滿意的參與人可以宣布退出。該實驗最初有18位參與人，經(jīng)過參與權(quán)拍賣，最后留下9人參加博弈。再經(jīng)過兩兩成對的配對，對CG-22協(xié)調(diào)博弈進行純策略博弈。實驗的結(jié)果是，幾乎所有的結(jié)果都是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡。234.2 相關(guān)均衡 相關(guān)均衡 事前溝

16、通 的兩個例子 相關(guān)均衡是一種機制設(shè)計的思想 24相關(guān)均衡 在靜態(tài)博弈的納什均衡中，我們發(fā)現(xiàn)，納什均衡沒有考慮均衡的效率。這導致了人們對納什均衡的異議。例如，在例4.1.6，CG-33協(xié)調(diào)博弈中，無論（x，y）取什么樣的數(shù)對， 1，1和2，2都是純策略納什均衡點，而博弈中效率最高的結(jié)果（600，600）是策略組合3，3的結(jié)果。那么是否有辦法來實現(xiàn)這種效率最高的策略組合3，3呢？ 協(xié)調(diào)博弈的分析使我們看到，在博弈之前進行信息溝通有助于對博弈結(jié)果向理想方向轉(zhuǎn)變。相關(guān)均衡就是利用納什均衡的思想，通過事前溝通，以實現(xiàn)博弈結(jié)果向理想方向轉(zhuǎn)變。25事前溝通的兩個例子 我們再考察一下夫妻愛好博弈，其博弈的收

17、益見表 該博弈有2個純策略納什均衡（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。在靜態(tài)博弈中，局中人是不允許進行事前串通的。因此在博弈前，盡管丈夫和妻子知道（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）是純策略納什均衡，但當他們獨立同時進行策略選擇后，其結(jié)果未必是納什均衡。 這時，我們可以在博弈前作這樣的約定：拋一硬幣，若正面向上，在博弈中，雙方都選擇足球策略；若反面向上，在博弈中，雙方都選擇芭蕾策略。根據(jù)博弈前雙方的約定，保證了博弈的結(jié)果是一個純策略納什均衡。26設(shè)有兩個商家出售同一種商品。為了促進商品的銷售，可以進行廣告宣傳，但做廣告需要成本。假設(shè)兩個商家都做廣告，肯定雙方都有收益；都不做廣告，則雙方都無收益；若有一個

18、商家做廣告，而另一家不做，則做廣告的商家獨自承擔成本，但另一個商家則坐享廣告帶來的好處。兩商家分別是1和2，策略集都是做廣告，不做廣告，收益情況見下表。 廣告博弈與“戰(zhàn)爭與和平博弈”以及一般的競爭博弈有相同的結(jié)構(gòu)。在該博弈中，存在三個納什均衡做廣告，不做廣告，不做廣告，做廣告和 。前兩個是純策略納什均衡?；旌喜呗约{什均衡的結(jié)果是27兩個商家都是理性的局中人，他（她）經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，若實現(xiàn)了納什均衡，盡管兩個商家所得到的利益不一致，雙方都有一定的好處，否則可能出現(xiàn)均無收益的最壞結(jié)局。同時也發(fā)現(xiàn)，若雙方都采用“做廣告”的策略，其總收益比納什均衡下的總收益還要好。于是兩商家采用了納什均衡思想進行了事先

19、溝通，制定出進行博弈的約定。 約定1 ：拋一枚硬幣，若正面向上，采用（做廣告，不做廣告）策略組合；若反面向上，采用（不做廣告，做廣告）策略組合。由于拋硬幣時出現(xiàn)正面和反面的概率都是一樣的，則每個商家得到的期望收益為： 約定2：選擇一個博弈的局外人，按下面三步確立每個商家的策略選擇：28第一步，局外人在A,B,C中隨機地任取一個字母，然后進入下一步； 第二步，若局外人選取是A則通知商家1，不通知商家2；，若局外人選取是B，則通知商家2，不通知商家1；若局外人選取是C則兩個商家都不通知，然后進入第三步； 第三步，若商家1得到通知，則選擇不做廣告，否則選擇做廣告，若商家2得到通知，則選擇不做廣告，否

20、則選擇做廣告。 分析這種約定的結(jié)果是：（1）局外人選取了A，則有策略組合不做廣告，做廣告，導致一個納什均衡的出現(xiàn)；（2）局外人選取了B，則有策略組合做廣告，不做廣告，導致一個納什均衡的出現(xiàn)；（3）局外人選取了C，則有策略組合做廣告，做廣告，導致一個次優(yōu)策略組合的出現(xiàn)； 29 由第一步的選取是等可能的，則選取A，B和C的概率分別是 ，因而商家的期望收益為： 。 在廣告博弈中的兩種博弈前約定，與“夫妻愛好博弈”的事前約定一樣，滿足下面兩個要求： 1. 約定是公平合理的，雙方都愿意接受； 2. 在約定的要求下，沒有人愿意單獨的違背約定，否則可能導致自己得益的損失。 上面兩個條件的約定實際上是博弈中局

21、中人策略選擇的理性規(guī)定，稱之為博弈的相關(guān)均衡。相關(guān)均衡能夠提高博弈的效率。 30 在例4.2.1中，出現(xiàn)了兩種約定，哪一種約定更好呢？這要取決于博弈的得益結(jié)構(gòu)情況。在例4.2.1中，第一種約定比第二種約定的結(jié)果要好些 。但如果將例4.2.1的得益結(jié)構(gòu)作如下變化： 易知，約定2要比約定1好。（提示： ）31相關(guān)均衡是一種機制設(shè)計的思想 博弈的相關(guān)均衡的確立是一種機制設(shè)計的思想，這種機制設(shè)計滿足納什均衡的思想，這種機制設(shè)計必須使博弈的局中人對博弈有足夠的理解和相互的信任，因為約定是沒有法律效力的。 適用于相關(guān)均衡的博弈分析必須是局中人的收益情況是對稱的，這才能保證約定的公平合理。324.3 納什談

22、判解 納什談判解的實質(zhì) 二人談判問題 談判過程 納什公理體系 納什談判解的定義 納什談判解的三個定理 三個定理的說明 例題4.3.1 例題4.3.233納什談判解的實質(zhì) 納什談判解又稱為納什討價還價解。 在非合作博弈中，出現(xiàn)了納什均衡對效率考慮的失缺。納什本人也意識到這點，因而在他提出n人非合作博弈納什均衡的概念之后，提出了納什談判解（1950）。納什談判解的實質(zhì)是對博弈中所有局中人可能得到的最大收益集合的邊界上進行一種收益的分配。因而也是一種從非合作博弈向合作博弈的演變。這里的合作博弈具有非線性的可轉(zhuǎn)移支付。如何使局中人能得到的收益達到公平合理，納什給出了納什公理體系，并推導出納什解的結(jié)果。

23、本節(jié)對此進行介紹。34二人談判問題設(shè)有一個二人有限策略的完全信息靜態(tài)博弈，即雙矩陣博弈。局中人1取混合策略 ，局中人2取混合策略集 ，局中人1和2的支付矩陣分別是A和B，即 。當局中人1取策略 局中人2取策略 時，局中人1和2的得益 分別為: 記兩人所得為 ，并考慮到可用抽彩方式?jīng)Q定兩人的收益，且抽彩結(jié)果是線性的，則兩個局中人的得益 是 中一個有界閉凸子集，記 并稱為結(jié)果集或可達集。即任何 表示兩個局中人可以共同行動，分別獲得收益 。一般地講，在可達集 的帕累托邊界上，一個局中人得到的多一些，另一個局中人得到的就少一些。那么一個局中人能同意讓對方得到多少呢？給對方少一些所得，對方是否會接受呢？

24、這構(gòu)成了兩個局中人的談判問題。35談判過程 當局中人在談判中考慮自己能得多少，對方可以得多少，首先要考慮局中人不合作行動時可以得到多少，也就要考慮一個進行談判的初始參考點，不妨設(shè)為 。由于談判是完全信息靜態(tài)博弈下進行的，這里初始點 應是一個共同知識，一個合理的假設(shè)點。例如： （4.3.1） （4.3.2） 顯然由（4.3.1）和（4.3.2）式確立的 是可以達到博弈結(jié)果集的，即 。 局中人注意到 往往是 的一個內(nèi)點，他們想以 為談判的初始點，在 中尋找比 更高的收益，并且是雙方都能接受的，記為 ，并稱 為納什談判解。則談判過程可以抽象地記為： （4.3.3）36納什公理體系公理1 （個體合理性

25、） ；公理2 （可行性） ；公理3 （帕累托最優(yōu)性） 若 ，且 ，則 公理4 （無關(guān)方案的獨立性） 若 ，則公理5 （線性變換的無關(guān)性） 若 ，且 ，則 。公理6（對稱性）如果對任意 ，都有 ，若 ，則37對于函數(shù) 到底如何規(guī)定的問題，納什提出以上的公理體系，并在這些合理的公理下，確立了函數(shù) 的形式。 以上6條公理中，前三條公理的意義很明確，對談判問題顯然應滿足的。第4條公理指當結(jié)果集擴大后的談判結(jié)果仍在原結(jié)果集中，則原結(jié)果集上談判結(jié)果也就是擴大后的談判結(jié)果。這顯然是合理的。第5條公理使得每個局中人的收益可用效用函數(shù)來度量，滿足效用函數(shù)的線性變換不變性條件。第6條公理指談判的雙方若有相同的獲得

26、結(jié)果能力，并且談判的初始點一樣，當然應該是談判的結(jié)果一樣。因此，這6條公理組成的公理體系都是談判雙方可以接受的。Roth（1977年）證明了滿足公理1和公理4，則必有公理3成立。對此，讀者可以自己去證明。38納什談判解的定義 定義4.3.1 滿足上述納什公理體系下的稱為納什談判解（Nash bargaining solution）。 在上述公理體系基礎(chǔ)上，納什證明了下列結(jié)論，證明了納什談判解的存在性、唯一性及具體求解方法。39納什談判解的三個定理定理4.3.1 若 是有界的閉凸集， 為談判初始點。若有 滿足 ，則下面的規(guī)劃有唯一的最優(yōu)解： （4.3.4）定理4.3.2 若 是定理4.3.1條件

27、下的最優(yōu)解，令函數(shù)（4.3.5） 則 有 。定理4.3.3 設(shè)2人談判問題的結(jié)果集 為凸集， 是初始參考點，則存在唯一滿足公理1到公理6的函數(shù) 。證明過程：定理4.3.1 定理4.3.2 定理4.3.3 40定理4.3.1的證明最優(yōu)解的存在性。由于 顯然是有界的閉集，因此連續(xù)函數(shù)在此集合上必有最優(yōu)值和最優(yōu)解。最優(yōu)解的唯一性。反證法。設(shè)有 和 都是最優(yōu)解且 ，不妨假定 設(shè) 由于 是凸集， 。于是 顯然， 。這與 和 都是最大值點矛盾。故 的最大值點是惟一的。 41定理4.3.2的證明 采用反證法。 設(shè)存在有 ，使得 。令。（4.3.6） 因為 是凸集，因此 。此時 。（4.3.7） 由假設(shè)，有

28、（4.3.8） 在（4.3.7）式中當 ，最后一項可以忽略。并由（4.3.8）式有 。 （4.3.9） 但是這與 是 的最大值點矛盾。故 有 42定理4.3.3的證明 令 是定理3.4.1所得的最優(yōu)解。下面證明滿足公理1到公理6。 顯然， 滿足公理1和2。又因為如果 且 ，那么 。因此，它滿足公理3。它同時滿足公理4，這是因為如果它是 在 上的最大值點，它一定也是 上的最大值點。令 ， 。此時 （4.3.10） 因此，當 是 的最大值點時， 亦是 的最大值點。所以 滿足公理5。最后，它也滿足公理6。因為，如果 是對稱的，并且 ，我們易知 而 是 唯一的最大值點，因此 ，也就是說 。43 下面驗

29、證滿足 納什公理體系的解的唯一性。若 如上定理4.3.1所得的最優(yōu)解，考慮如下集合 （4.3.11） 因為為定理4.3.1的最優(yōu)解，由定理4.3.2， 。 考慮從 到 的一個線性變換： （4.3.12） 由于 ，即 也即： 由定理4.3.1假設(shè)可知， ，從而 于是， 44 此時，由（4.3.12）式有 。又因為 是對稱的，根據(jù)公理6可知，討價還價解一定在 線上。根據(jù)公理3 ，它即為點 根據(jù)上述線性變換的反變換，由公理5可知， 一定是 的解。因為 ，根據(jù)公理4， 也是的解。而這個問題的最優(yōu)解是唯一的，所以 是 唯一最優(yōu)解。 當定理4.3.1的條件不成立時，有兩種情況：在第一種情況里，取 。此時從

30、公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理1到公理6也只有這樣的唯一解 。 在第二種情況里，取 。此時從公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理1到公理6也只有這樣的唯一解 。 45三個定理的說明 定理4.3.3表明，滿足納什公理體系的談判解 是存在的，并且由定理4.3.1可知，它即是 函數(shù)在 中求最大值時的最優(yōu)解。滿足納什公理體系（公理1公理6）的納什談判解也簡稱為談判解，有的教材也稱為納什解。 下面我們對定理4.3.2進行一些分析。根據(jù)該定理，對 有 。若取等號，即有： （4.3.13） 上式右端是一個常數(shù)，因此上式是 上的一條直線，對于任意 中的點 都在該直線的左下方。

31、46 當結(jié)果集 的邊界是光滑的，該直線是 的切線，且切點在點 。再從（4.3.13）式看，該直線的斜率為： 而連接 和 直線斜率為 ，正好是上式的相反數(shù)，這對我們求解納什談判解是很有作用的。 同時， 反映了在談判過程中，兩個局中人可以接受的效用轉(zhuǎn)換率。 當兩個局中人在談判中的效用轉(zhuǎn)換率為1：1時，（ ）問題變得更簡單。例如，兩人談判 問題的結(jié)果集在直線 的左下方。47若初始參考點為 ，則納什談判解為 根據(jù)公理3，我們知道討價還價問題 的解 一定在的子集 上。因為 是凸的，因此 是這些 的點：不存在一個 ，使得 并且 。我們稱 為 帕累托最優(yōu)邊界 圖4.3.3 圖4.3.448 定理4.3.2給

32、出了初始參考點和納什談判解點之間特殊的關(guān)系。初始參考點與納什談判解的連線的斜率與過該談判點的 的支撐線的斜率互為相反數(shù)。如果 的帕累托最優(yōu)邊界是光滑的，那么這條支撐線其實就是過談判點 的切線。如圖4.3.3所示，若T是初始參考點，P是納什談判解，則TP的斜率與過P點 的切線的斜率互為相反數(shù)。在TP上任意一點U作為初始談判點，其納什談判解仍是P點。 對于雙矩陣博弈來說， 是一個封閉的有限的多邊形，其帕累托最優(yōu)邊界 為折線ABCD，如圖4.3.4所示。若 的斜率等于BC斜率的相反數(shù)，則對 上任一點U，作為初始談判點，那么它們的納什談判解都是 。對于像過C點在 上，左右“切線”的斜率不相等的點，則若

33、初始談判點在 （斜率等于過C點在 上左“切線”的斜率的相反數(shù)）上， （斜率等于過C點在 上右“切線”的斜率的相反數(shù)）上或在它們與 所圍的區(qū)域之內(nèi)，對應的納什談判解仍是C點。讀者可以自己對此進行分析。49例題4.3.1 例4.3.1 設(shè)有一雇員為公司老板打工，若雇員打工后可為公司一年盈利10萬元，而雇員不打工，則無盈利，那么對這10萬元盈利應如何分配？ 假設(shè)雇員本人總共有資產(chǎn)價值10萬元，若能分到盈利 ，他所增加的效用為 ，令 ， 為大于0的一個常數(shù)。很容易驗證： ，表明雇員是窮人，具有風險規(guī)避的特點。公司老板是富有的，如他能分到盈利 ，他所增加的效用為 。50 公司老板和雇員對盈利10萬元分配

34、進行談判，談判的初始參考點為 ，即公司老板不雇工，對老板和雇員的增加效用均為0，且 。則有 （4.3.15） 則結(jié)果集 為下圖所示，其中 的右上曲線（即帕累托最優(yōu)邊界 ）為 。51 利用定理4.3.1，計算 在 上的極大值，可以得到 滿足下式 經(jīng)計算， 萬元。即公司老板分配得 萬元，而雇員分得 萬元。 該例表明，對風險規(guī)避急于需要錢的雇員和富裕的老板，由于效用函數(shù)不一樣，因而分配的結(jié)果也不一樣。具有風險規(guī)避的雇員在談判中并無優(yōu)勢。52例題4.3.2 例4.3.2 考慮下面的雙矩陣博弈若兩個局中人能通過契約進行合作，那么對合作的收益應如何分配，即納什談判解是什么？ 對該問題，先求納什均衡，并以納

35、什均衡結(jié)果作為談判初始參考點。 根據(jù)第二章所介紹的雙矩陣22博弈納什均衡的求解法，可得到唯一的納什均衡為 。 對應得納什均衡結(jié)果為 由本節(jié)對納什談判問題的討論，若允許對結(jié)果分配進行抽彩，則可達集 為 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）四個結(jié)果點圍成的凸集 ，見下圖。53 很明顯，可達集的帕累托邊界為（2，4）和（6，1）兩點連成的線段。很容易求得該直線方程為： 下面求納什談判解 方法1 根據(jù)定理4.3.1求解： 由于納什談判解具有 中的帕累托最優(yōu)性，因此納什談判解 一定在（4.3.16）表示的直線上。由（4.3.16）可以得：代入（4.3.17）式 不難得出 ，代回到 ，得到 。

36、 54 于是納什談判解為： 方法2 根據(jù)定理3.4.2，可達集 在點 切線的斜率與連接 和 兩點的直線的斜率互為相反數(shù)。 可達集 在 點的切線即為（4.3.16）表示的直線，斜率為 。 連接和兩點直線斜率為： 則 （4.3.18）55 將上式化簡，有： 再由納什談判解具有帕累托最優(yōu)性，即 在直線（4.3.16）上，則納什談判解是下面方程組的解： （4.3.19） 求解可得納什談判解為： （4.3.20）564.4 初始參考點和其它談判解4.4.1 初始參考點4.4.2 其它談判解574.4.1 初始參考點 幾個初始參考點的介紹 例4.4.1 利用不同初始參考點求解納什談判解 58幾個初始參考點

37、的介紹 在納什談判解的尋求中，我們已看到，初始參考點對納什談判解起著十分重要的作用。在上一節(jié)中，我們應用了兩個方法求談判問題的初始參考點： 1. 保守收益點。即用（4.3.1）式和（4.3.2）式求 ； 2. 納什均衡結(jié)果。即在例4.3.2中，先取納什均衡，然后采用納什均衡結(jié)果去求 。 在例4.3.1中，采取的是保守收益點方法確定 。 在本節(jié)中，我們再介紹其它幾種求初始參考點方法。59 設(shè)結(jié)果集或可達集 是一個有界凸集。 是一個事先給出的初始參考點，結(jié)合下圖先給出一些記號： 圖4.4.1 （4.4.1） （4.4.2） （4.4.3） （4.4.4） （4.4.5） （4.4.6）60 定義4

38、.4.1 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的理想點。 定義4.4.2 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的最小期望點。 定義4.4.3 設(shè) 是平面 上的凸集，點 稱為 的最小妥協(xié)點。 定義4.4.4 設(shè) 是平面 上的凸集，由 ， 和 所圍成矩形稱為含 的最小矩形。其對角線交點稱最小矩陣的中心。 61有了上述定義后，對納什談判解初始參考點除了前面介紹的1和2之外還可以有下列的選取法：3. 采用 的最小期望點作為新的初始參考點；4. 采用 的最小妥協(xié)點作為新的初始參考點；5. 包含 的最小矩形的中心作為新的初始參考點。 除此之外，也有其它初始參考點的選取法，這里不作一一列舉。62例4.4.1 例4.4.

39、1 設(shè)有一凸集，由曲線 和 圍成。記（1） 為初始參考點， 為納什談判解；（2） 為最小期望點， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（3） 為最小妥協(xié)點， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（4） 為含 的最小矩陣的中心， 為以 為初始參考點所得的納什談判解。 經(jīng)計算有： 。 則得到不同的納什談判解：分別如右圖所示。634.4.2 其它談判解 R-K-S談判解 R-K-S談判解的公理體系 定理4.4.4 談判解的唯一性定理 例題求解64R-K-S談判解 R-K-S談判解（Raiffa-Kalai-Smorodinsky bargaining solution ）,它由Raiffa（1957

40、）提出，而由Kalai和Smorodinsky對該模型進行公理化。 設(shè)兩人談判問題的可達集H為凸集， 為初始參考點， 是H的理想點。作一條連接 和 的直線，該直線與可達集H的邊界相交交點 稱為R-K-S談判解，具體見下圖。 設(shè)2人談判解的可達集H是一個凸集， 為談判的初始參考點，兩個局中人可接受的R-K-S談判解結(jié)果為 ，令 。 65R-K-S談判解的公理體系 公理1（個體合理性） ；公理2（可行性） ；公理3（帕累托最優(yōu)性）若有 ，且 ，則一定有： ；公理5（線性變換的無關(guān)性）設(shè)D是由線性變換從H得到，即， 如果 ，則一定有：公理6（對稱性）若 ，必有 ，則當 ，則有： 。公理7（單調(diào)性）若

41、 ，則 66 這6個公理中，前5個公理與納什公理體系是一致的（注意缺少公理4）。最后一個公理（單調(diào)性）說明可達域越大，則談判的結(jié)果對雙方都會更好，這顯然也是合理的。 定義4.4.5 滿足上述Kalai和Smorodinsky提出公理體系下的 ，稱為R-K-S談判解。67定理4.4.4 談判解的唯一性定理 設(shè)二人談判問題的結(jié)果集H為凸集， 為談判的初始參考點，則存在唯一滿足上述公理體系的R-K-S談判解 。 該定理的證明略去。 在R-K-S談判解中，兩個人的收益效用轉(zhuǎn)換稱為可自由配置（free disposal） 。68例題求解 我們對例4.4.1進行R-K-S談判解的計算。在此，我們?nèi)匀?。

42、若局中人1是公司老板，其收益為 ，增加的效用 。局中人2為雇員，其收益為 ，在原有10萬元的基礎(chǔ)上，其增加的效用為 （其中 取1）。他們對10萬元盈利進行分配。同前面分析一樣，二人可達集H如上圖所示，其H的右上曲線函數(shù)為： 。69 該談判問題的理想點 。R-K-S談判解可以對下面方程組求解得到： 其中后一個是連接初始參考點（0，0）和理想點 的直線方程。經(jīng)求解可得 。即兩人談判的可分配數(shù)為： （萬元）， （萬元） 這個結(jié)果與前面納什談判解的結(jié)果差異不大，其經(jīng)濟解釋是相同的。70 對于例4.4.2，我們也可進行R-K-S談判解計算。 該博弈的結(jié)果集H為 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4

43、，1）4個結(jié)果所圍成的凸集，初始參考點，我們?nèi)匀榧{什均衡結(jié)果點： 。 圖4.4.5凸集H的中帕累托邊界直線為： 而連接初始參考點 和理想點 的直線為： ，因此R-K-S談判解為下列方程組的解：經(jīng)求解： 714.5 威脅 例4.5.1 對納什談判解的質(zhì)疑 有效威脅的兩個條件 納什建議進行討價還價的三個步驟 含威脅的納什討價還價解求解思路 定理4.5.1 均衡威脅策略的存在性定理 定理4.5.2 納什仲裁值 的唯一性定理 例4.5.2均衡威脅策略和納什仲裁值求解例題72例4.5.1 對納什談判解的質(zhì)疑 一個工廠的工人有兩種選擇，要么工作，要么不工作。如果工作，他將得到能夠維持他生存的薪水，同時老

44、板能夠得到10美元。用（0，10）來表示此時工人與老板各自得到的效用。如果他不工作，他將會挨餓，同時老板沒有利潤，用（-500，0）來表示此時工人與老板各自得到的效用。當然，如果老板愿意的話，他會分一點利潤給工人。假定效用是線性轉(zhuǎn)移的， 是 平面第一象限中包括了所有 的點。明顯地， ，納什談判解為 。然而，納什談判解忽視了第二個參與人即老板比他的對手（工人）處于更有利的地位。事實上，工人不能阻止老板獲得10美元的利潤，雖然他可能采用不工作來作為威脅，但是以不工作來作為威脅并不可信，因此他只有繼續(xù)工作以領(lǐng)取能維持他生存的薪水。 毫無疑問，上例的提出確實表明了納什談判解的不足。因此如何對具有威脅的考慮，來修正納什的解法是我們在本節(jié)需要考慮的問題。 73有效威脅的兩個條件 一般說來，必須滿足以下兩個條件，威脅才算是有效的： 第一、它必須是可信的； 第二、它能夠改善威