線性定常系統(tǒng)的綜合課件

1、第五章 線性定常系統(tǒng)的綜合綜合已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，已知所期望的系統(tǒng)運(yùn)動形式(或某些特性)，確定需要施加于系統(tǒng)的控制作用規(guī)律。所期望的系統(tǒng)運(yùn)動形式包括滿意的瞬態(tài)響應(yīng)，抗擾動或參數(shù)變化能力，跟蹤能力等。 分析-已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù),以及確定好系統(tǒng)的外部輸入(系統(tǒng)激勵(lì))下,對系統(tǒng)運(yùn)動進(jìn)行定性分析（能控性、能觀性、穩(wěn)定性）和定量運(yùn)動規(guī)律分析（運(yùn)動軌跡、性能品質(zhì)指標(biāo)）。綜合問題的性能指標(biāo)函數(shù)可分為優(yōu)化型和非優(yōu)化型性能指標(biāo)：優(yōu)化型性能指標(biāo)：極值型指標(biāo),綜合的目的是使該性能指標(biāo)函數(shù)取極小(極大)；非優(yōu)化型性能指標(biāo)：是一類由不等式及等式約束的性能指標(biāo)凸空間,一般只要求解的控制規(guī)律對應(yīng)的性能指標(biāo)到達(dá)該凸空間即可

2、。常用的非優(yōu)化型性能指標(biāo)提法：以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)鎮(zhèn)定問題；以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置或極點(diǎn)凸約束區(qū)域(空間)為性能指標(biāo)極點(diǎn)配置問題。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo)(如過渡過程的快速性、 超調(diào)量、周期性 ), 在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。 設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指 標(biāo)的期望極點(diǎn)上,可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)。將一個(gè)MIMO系統(tǒng)通過反饋控制實(shí)現(xiàn)一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出的系統(tǒng)系統(tǒng)解耦問題。狀態(tài)獲取問題觀測器問題。5.1 狀態(tài)反饋與輸出反饋5.1.1 狀態(tài)反饋5.1.2 輸出反饋5.1.3 反饋控制對能控性與能觀測性的影響控

3、制理論最基本的任務(wù)尋找反饋控制律。狀態(tài)反饋和輸出反饋,其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構(gòu)成反饋律,實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的閉環(huán)控制,以達(dá)到期望的對系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。在經(jīng)典控制理論中,一般只考慮由系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋律,即輸出反饋。在現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中,多考慮采用狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律,即狀態(tài)反饋。狀態(tài)變量可完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性。由狀態(tài)變量所得到的關(guān)于系統(tǒng)動靜態(tài)的信息比輸出變量提供的信息更豐富、更全面,因此，若用狀態(tài)來構(gòu)成反饋控制律, 反饋律有更大的可選擇的范圍,而閉環(huán)系統(tǒng)能達(dá)到更佳的性能。輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個(gè)特例。因此,采用狀態(tài)反饋應(yīng)能達(dá)到更高的性能指標(biāo)。本節(jié)討論

4、的主要問題：基本概念: 狀態(tài)反饋、輸出反饋基本性質(zhì): 反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性/能觀性本節(jié)的講授順序?yàn)?狀態(tài)反饋的描述式輸出反饋的描述式閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性5.1.1 狀態(tài)反饋對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋,則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為狀態(tài)反饋系統(tǒng)。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可如圖5-1所示圖5-1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中K為rn維的實(shí)矩陣,稱為狀態(tài)反饋矩陣;v為r維的輸入向量,亦稱為伺服輸入。將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程,得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下:設(shè)開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為狀態(tài)反

5、饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A+BK,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:WK(s)=C(sI-A-BK)-1B5.1.2 輸出反饋對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),若取系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋,則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為輸出反饋控制系統(tǒng)。輸出反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5-2所示。圖5-2多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋至參考輸入結(jié)構(gòu)輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下:開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為其中H為rm維的實(shí)矩陣,稱為輸出反饋矩陣。將輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程, 則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A+BHC,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:WH(s)=C(s

6、I-A-BHC)-1B由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可知,輸出反饋其實(shí)可以視為當(dāng)K=HC時(shí)的狀態(tài)反饋。因此,在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí),輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。反之,則不然。由此也可知,狀態(tài)反饋可以達(dá)到比輸出反饋更好的控制品質(zhì),更佳的性能。5.1.3反饋控制對能控性與能觀測性的影響對于由狀態(tài)反饋和輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),其狀態(tài)能控/能觀性是進(jìn)行反饋律設(shè)計(jì)和閉環(huán)系統(tǒng)分析時(shí)所關(guān)注的問題。下面分別討論兩種閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)能觀性1. 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性比較上面二式，可以看到：第一分塊B相同；其余各分塊類同。2. 狀態(tài)反饋有可能改變系統(tǒng)的能觀性。 例如單輸入單輸出系統(tǒng)，狀

7、態(tài)反饋能改變系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，但不會影響系統(tǒng)的零點(diǎn)分布，這樣就有可能使傳遞函數(shù)出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消現(xiàn)象。使系統(tǒng)不再是既能控又能觀的，前面已說明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性，所以只能是影響系統(tǒng)的能觀性了。3. 輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。 只要把（HC）看成是等效的狀態(tài)反饋矩陣K，那么由于狀態(tài)反饋不會改變系統(tǒng)的能控性，所以顯然輸出反饋也不改變系統(tǒng)的能控性。4. 輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀性。與1一樣， 的每一分塊的行由 相應(yīng)分塊的行線性組合而成， 可以看作是 經(jīng)初等變換的結(jié)果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀性不變。例 系統(tǒng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)無零、極點(diǎn)相消，系統(tǒng)既能控，又能觀。引入狀態(tài)反饋：能控

8、性矩陣滿秩，狀態(tài)反饋系統(tǒng)能控；能觀性矩陣：不滿秩，狀態(tài)反饋系統(tǒng)不能觀；實(shí)際上，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：存在零、極點(diǎn)相消現(xiàn)象，消掉的極點(diǎn)是不能觀的?？梢?，狀態(tài)反饋沒有改變系統(tǒng)的能控性，但改變了系統(tǒng)的能觀性。輸出反饋：能控性矩陣：滿秩，輸出反饋系統(tǒng)能控；能觀性矩陣：滿秩，輸出反饋系統(tǒng)能觀；實(shí)際上，此時(shí)輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：無零、極點(diǎn)相消現(xiàn)象，系統(tǒng)仍然是既能控又能觀的。5.2 極點(diǎn)配置如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,即通過狀態(tài)反饋陣K的選擇,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。問題一，閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置的條件；問題二，如何設(shè)計(jì)反饋增益陣使閉環(huán)

9、極點(diǎn)配置在期望極點(diǎn)處。5.2.1 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 1.采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件 結(jié)論：一個(gè)線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置 它的全部極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。 證明： 充分性。以下充分性證明過程實(shí)際上給出了單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋增益矩陣的規(guī)范算法。 若 完全能控，通過狀態(tài)反饋必成立：f*()為期望的特征多項(xiàng)式：(1)若被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，且設(shè)其特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分別為 可通過如下變換（設(shè) 為能控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣） 將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型 ，即 (2)針對能控標(biāo)準(zhǔn)型 引入狀態(tài)反饋 式中， ，可求得對 的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式仍為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即 式

10、中， 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分別為 以上表明， 的特征多項(xiàng)式的系數(shù)可通過 故若被控系統(tǒng) 能控，則其狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置。 又獨(dú)立設(shè)置，使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足：得:（3）由 ， 得：則原被控系統(tǒng)使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為必要性。 設(shè)系統(tǒng)不能控。 由 實(shí)現(xiàn)按能控性分解：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 可見，不能控的系統(tǒng)不能通過狀態(tài)反饋配置其全部極點(diǎn)?；蛘哒f，要通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全部極點(diǎn)的任意配置，系統(tǒng)必須是能控的。5.2.2 系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的算法方法一 標(biāo)準(zhǔn)算法 適用系統(tǒng)維數(shù)等于或大于4，控制矩陣中非零元素比較多的情況，所有的矩陣計(jì)算都可由計(jì)算機(jī)

11、實(shí)現(xiàn)。1考察系統(tǒng)的能控性。若系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則繼續(xù)。2利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式確定出 。3確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣 。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，無需再寫。5此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣 為4利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的特征多項(xiàng)式為確定出 ，方法二 解聯(lián)立方程 如果是低階系統(tǒng)（n3 ），則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為 。代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式使其等于即使其兩端同次冪系數(shù)相等，來確定K的值。例 考慮如下線性定常系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制 ，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2j4和s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。解：首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。方法1：該系統(tǒng)的特征方程為：因此 期望的特征方程為可得因此因此 方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為并使和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得5.2.3 輸出反饋極點(diǎn)配置部分狀態(tài)反饋。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點(diǎn)配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律 使得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的期望的