線性變換的運(yùn)算課件

1、2 線性變換的運(yùn)算 第七章 線性變換一、線性變換的乘積 二、線性變換的和7.2 線性變換的運(yùn)算三、線性變換的數(shù)量乘法四、線性變換的逆五、線性變換的多項(xiàng)式 第七章 線性變換7.2 線性變換的運(yùn)算1定義設(shè)為線性空間V的兩個(gè)線性變換，定義它們事實(shí)上，一、 線性變換的乘積 的乘積 為： 則 也是V的線性變換.7.2 線性變換的運(yùn)算基本性質(zhì)（1）滿足結(jié)合律： （2），E為單位變換 （3）交換律一般不成立，即一般地，7.2 線性變換的運(yùn)算例1. 線性空間中，線性變換 而， 即7.2 線性變換的運(yùn)算例2. 設(shè)A、B為兩個(gè)取定的矩陣，定義變換則皆為的線性變換，且對(duì)有7.2 線性變換的運(yùn)算則 也是V的線性變換.

2、二、 線性變換的和 1定義設(shè)為線性空間V的兩個(gè)線性變換，定義它們的和 為：事實(shí)上，7.2 線性變換的運(yùn)算（3） 0為零變換.（4）乘法對(duì)加法滿足左、右分配律：2基本性質(zhì)（1）滿足交換律：（2）滿足結(jié)合律：7.2 線性變換的運(yùn)算3負(fù)變換設(shè)為線性空間V的線性變換，定義變換為：則 也為V的線性變換，稱之為的負(fù)變換.注：7.2 線性變換的運(yùn)算三、 線性變換的數(shù)量乘法 1定義的數(shù)量乘積 為：則 也是V的線性變換.設(shè)為線性空間V的線性變換，定義 k 與7.2 線性變換的運(yùn)算2基本性質(zhì)注：線性空間V上的全體線性變換所成集合對(duì)于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，記作7.2 線性變換的運(yùn)算四、

3、 線性變換的逆 則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作1定義設(shè)為線性空間V的線性變換，若有V的變換使2基本性質(zhì)(1) 可逆變換的逆變換也是V的線性變換.7.2 線性變換的運(yùn)算證：對(duì) 是V的線性變換.7.2 線性變換的運(yùn)算(2) 線性變換可逆線性變換是一一對(duì)應(yīng).證：設(shè)為線性空間V上可逆線性變換.任取 若 則有為單射.其次，對(duì)令則且為滿射.故為一一對(duì)應(yīng).7.2 線性變換的運(yùn)算若為一一對(duì)應(yīng)，易證的逆映射也為V的線性變換，且故可逆，.線性變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng)(3) 設(shè)是線性空間V的一組基，為V的線性無關(guān).證： 設(shè)于是因?yàn)榭赡妫?2)，為單射，又7.2 線性變換的運(yùn)算而線性無關(guān)，所以故線性無關(guān).若線性無關(guān)

4、，則它也為V的一組基.因而，對(duì)有即有為滿射.7.2 線性變換的運(yùn)算線性無關(guān)若 則有其次，任取 設(shè)即由(2)， 為可逆變換.故為一一對(duì)應(yīng).從而，為單射.7.2 線性變換的運(yùn)算(4) 可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組.線性無關(guān).若證：設(shè)為線性空間V的可逆變換，則有，又可逆，于是是一一對(duì)應(yīng)，且 故 線性無關(guān).由 線性無關(guān)，有7.2 線性變換的運(yùn)算當(dāng)時(shí)，規(guī)定（單位變換）.五、線性變換的多項(xiàng)式 1線性變換的冪設(shè)為線性空間V的線性變換，n為自然數(shù)，定義稱之為的n次冪. 7.2 線性變換的運(yùn)算 易證注： 當(dāng)為可逆變換時(shí)，定義的負(fù)整數(shù)冪為 一般地，7.2 線性變換的運(yùn)算設(shè) 為V的一個(gè)線性變換，則2線性變換的多項(xiàng)式多項(xiàng)式.也是V的一個(gè)線性變換，稱 為線性變換的7.2 線性變換的運(yùn)算注： 在 中，若則有， 即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律. 對(duì)有7.2 線性變換的運(yùn)算證明：練習(xí)：設(shè)為線性變換，若證：對(duì)k作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)k=2時(shí)，若對(duì)兩端左乘，得對(duì)兩端右