第3章-常用概率分布(9課時(shí)).ppt課件

1、第三章 常用概率分布本章在介紹概率論中最基本的兩個(gè)概念事件、概率的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹生物科學(xué)研究中常用的幾種隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布、正態(tài)分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布、t分布、 分布和F分布。第三章 常用概率分布第一節(jié) 事件與概率第二節(jié) 概率分布第三節(jié) 二項(xiàng)分布第四節(jié) 正態(tài)分布第五節(jié) 樣本平均數(shù)抽樣分布與標(biāo)準(zhǔn)誤第六節(jié) t分布、 分布與F分布第一節(jié) 事件與概率一、事件(一)必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會(huì)觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類： 一類是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生(或必然不發(fā)生)。這類

2、現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象或確定性現(xiàn)象。例如：標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100必然沸騰。 另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行觀察，其結(jié)果未必相同。這種在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象。例如：100粒玉米種子發(fā)芽試驗(yàn)，可能有0粒發(fā)芽，也可能 第一節(jié) 事件與概率 隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)： 在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對(duì)一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性； 但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)

3、規(guī)律性。例如：投硬幣第一節(jié) 事件與概率(二)隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 1、隨機(jī)試驗(yàn)：通常我們把根據(jù)某一研究目的,在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)。 一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性，則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)：第一節(jié) 事件與概率(1)試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果； (3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。 第一節(jié) 事件與概率2、隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，通常用 A、B、C 等來表示。隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不

4、發(fā)生。 (1)基本事件 我們把不能再分的事件稱為基本事件。 第一節(jié) 事件與概率 例如，在1、2、3、 、20這20個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)字，有20種不同的可能結(jié)果： “取得1個(gè)數(shù)字是1”、“取得1個(gè)數(shù)字是2”、“取得1個(gè)數(shù)字是20”。 每一種可能結(jié)果就是一個(gè)事件，這20個(gè)事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。 第一節(jié) 事件與概率 由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件。 如“取得1個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得1個(gè)數(shù)字是2”、“是4”、“是6”、 、“是20”10個(gè)基本事件組合而成。 (2)必然事件 在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，用表示。 第一節(jié) 事件與概率

5、 (3)不可能事件 在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用表示。 必然事件與不可能事件實(shí)際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機(jī)事件，但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。第一節(jié) 事件與概率二、 概率 刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱為概率。事件A的概率記為P(A)。 (一)概率的統(tǒng)計(jì)定義第一節(jié) 事件與概率 在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m ，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機(jī)事件A的概率。 這樣定義的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率。第一節(jié) 事件與概率 例如，為了確定1粒小麥種

6、子發(fā)芽這個(gè)事件的概率，在表3-1中列出了小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄。 第一節(jié) 事件與概率 表3-1 小麥種子發(fā)芽試驗(yàn)記錄試驗(yàn)種子粒數(shù)n 100200300400500600700發(fā)芽種子粒數(shù)m 65155204274349419489頻率m/n 0.6500.6750.6800.6850.6980.69830.6986 從表3-1可看出，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多， 1粒小麥種子發(fā)芽這個(gè)事件的概率越來越穩(wěn)定地接近0.7，我們就把0.7作為這個(gè)事件的概率。 在一般情況下，隨機(jī)事件的概率 p 是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。 即 P(A)=pm/n (n充

7、分大) 第一節(jié) 事件與概率 (二)概率的古典定義 有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征： 1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)； 2、各個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。第一節(jié) 事件與概率 具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概型。對(duì)于古典概型，概率的定義如下： 設(shè)樣本空間由n個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n，即 P(A)=m/n 這樣定義的概率稱為古典概率。 第一節(jié) 事件與概率 【例31】 在1、2、3、 、20這20個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取1個(gè)，求下列隨機(jī)事件的概率。

8、 (1)A=“抽得1個(gè)數(shù)字4”； (2)B=“抽得1個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)”。第一節(jié) 事件與概率 因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由20個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即n=20,而事件A所包含的基本事件有4個(gè)，既抽得編號(hào)為1，2，3，4中的任何1個(gè)，事件A便發(fā)生，即mA=4，所以 第一節(jié) 事件與概率 同理，事件B 所包含的基本事件數(shù)mB=10，即抽得數(shù)字為 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何1個(gè)，事件B便發(fā)生，故第一節(jié) 事件與概率 (三)概率的性質(zhì) 1、對(duì)于任何事件A，有0P(A)1； 2、必然事件的概率為1，即P()=1； 3、不可能事件的概率為0，即P()=0。第一節(jié) 事件與概率三、小概率事

9、件實(shí)際不可能性原理 隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。 第一節(jié) 事件與概率 小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性檢驗(yàn))的基本依據(jù)。 第一節(jié) 事件與概率第二節(jié) 概率分布 事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小。 若要全面了解試驗(yàn)，則必須

10、知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布。 先引入隨機(jī)變量的概念。 作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量x來表示。 【例32】 對(duì)100株樹苗進(jìn)行嫁接，觀察其成活株數(shù)，其可能結(jié)果是 “0 株成活”，“1 株成活”，“100 株成活”。 用x表示成活株數(shù)，則x的取值為0、1、2、100。一、隨機(jī)變量 【例33】 拋擲一枚硬幣，其可能結(jié)果是“幣值一面朝上” 、“幣值一面朝下”。“幣值一面朝上”用1表示，“幣值一面朝下”用0表示，用x表示試驗(yàn)結(jié)果，則x的取值為0、1。 【例 34】 測(cè)定某

11、品種小麥產(chǎn)量(/667.7)，表示測(cè)定結(jié)果的變量x所取的值為一個(gè)特定范圍(a, b)，例如200300(/667.7)，x值可以取這個(gè)范圍內(nèi)的任何數(shù)值。 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機(jī)變量； 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量。 要了解離散型隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi 及取每種可能值的概率pi。 如果我們將離散型隨機(jī)變量x的一切可能取值xi ( i=1, 2 , )，及其對(duì)應(yīng)的概率pi，記作 P(x=

12、xi)=pi i=1,2, (33) 則稱(33)式為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布。二、離散型隨機(jī)變量的概率分布 常用列表法表示離散型隨機(jī)變量的概率分布： x x1 x2 xn p p1 p2 pn 顯然離散型隨機(jī)變量的概率分布具有pi0和pi=1這兩個(gè)基本性質(zhì)。 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用分布列來表示， 因?yàn)槠淇赡苋〉闹凳遣豢蓴?shù)的。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量x，要了解的是它在某個(gè)區(qū)間a，b)上取值的概率，即P(axb)？ 下面通過頻率分布密度曲線予以說明。 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 由表2-6 作140行水稻產(chǎn)量資料的頻率分布直方圖 ，見圖3-1 ，圖中縱坐標(biāo)取頻率與組距的比值 。 可

13、以設(shè)想，如果樣本取得越來越大(n+) ，組分得越來越細(xì) (i0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值概率。這時(shí)，頻率分布直方圖各個(gè)直方上端中點(diǎn)的聯(lián)線頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線，換句話說，當(dāng)n+、i0時(shí)，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。 對(duì)于樣本是取自連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。這條曲線排除了抽樣和測(cè)量的誤差，完全反映了行水稻產(chǎn)量的變動(dòng)規(guī)律。 這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù) 。 (34) 式為連續(xù)型隨機(jī)變量 x 在 區(qū)間a,b)上取值概率的表達(dá)式?？梢?，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。 圖3-1 表2-6資料的分布密度曲線 若

14、記概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間a,b)的概率為圖中陰影部分的面積，即 P(axb)= (3-4) 連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)： 1、分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)0； 2、當(dāng)隨機(jī)變量x取某一特定值時(shí)，其概率等于0；即 (c為任意實(shí)數(shù)) 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，僅研究其在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個(gè)值的概率。 3、 在一次試驗(yàn)中隨機(jī)變量x之取值必在-x+范圍內(nèi)，為一必然事件。所以 (3-5) (35)式表示分布密度曲線之下、橫軸之上的全面積為1。 第三節(jié) 二項(xiàng)分布 一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式 將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出

15、現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的。 對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件A與 之一 ，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0p1) ，因而出現(xiàn)對(duì)立事件 的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)。 在n重貝努利試驗(yàn)中，可以證明：事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為 k=0,1,2，n (3-6) 若把(3-6)式與二項(xiàng)展開式 相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項(xiàng)，所以也把(3-6)式稱作二項(xiàng)概率公式 。 二項(xiàng)分布定義： 設(shè)隨機(jī)變量x所有可能的取值為零和正整數(shù)：0，1

16、，2， ，n，且有 k= 0，1，2，n 其中p0，q0，p+q=1，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為 xB(n，p)。 二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。二、二項(xiàng)分布的意義及性質(zhì) 容易驗(yàn)證，二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： 1、P(x=k)= Pn(k) 0 (k=0，1，n) 2、二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即 3、 4、 5、 (m130時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很小；n 100 時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。 用f(t)表示t分布的概率密度函數(shù)，則t分布的概率分布函數(shù)為： 因而t在區(qū)間(t1，+)取值的概率右尾概率為1

17、-Ft(df)。 由于t分布左右對(duì)稱，t在區(qū)間(-，-t1)取值的概率也為1-Ft(df)。 于是t分布曲線下由-到-t1和由t1到+兩個(gè)相等的概率之和兩尾概率為2(1-Ft(df) )。 對(duì)于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對(duì)應(yīng)的臨界t值已編制成附表3，即t分布表。 例如，當(dāng)df=15時(shí)，查附表3得兩尾概率等于0.05的臨界t值為 =2.131，其意義是： P(-t-2.131) = P(2.131t+) =0.025； P(-t-2.131)+ (2.131t+) =0.05。 ， ， ， 設(shè)有一平均數(shù)為、方差為 的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取n個(gè)隨機(jī)變量：x1、x2、xn，并求出其

18、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：二、2分布 記這n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為2 ： 它服從自由度為n的2分布，記為 若用樣本平均數(shù) 代替總體平均數(shù)，則隨機(jī)變量服從自由度為n-1的2分布，記為 2分布是由正態(tài)總體隨機(jī)抽樣得來的一種連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。 顯然 ，20，即2 的取值范圍是0,+； 2分布密度曲線是隨自由度不同而改變的一組曲線。隨自由度的增大， 曲線由偏斜漸趨于對(duì)稱； 圖3-14給出了幾個(gè)不同自由度的 2 概率分布密度曲線。 設(shè)在一正態(tài)總體N(，2)中隨機(jī)抽取樣本容量為n1和n2的兩個(gè)樣本，得到兩個(gè)樣本方差(均方)、 ， , 構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，記為F，即 統(tǒng)計(jì)學(xué)證明， 服從df1=n1-1,df2=n2-1 的F 分布 。 F 分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對(duì)稱，如圖3-15所示。 因而F分布右尾從 到+的概率為： F分布的取值范圍是(0，+) 用f(F)表示F分布的概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù) 為： 附表4列出的是不同df1 和df2 下 P(F )=0.05和P(F )= 0.01時(shí)的F值，即右尾概率 =0.05 和=0.01時(shí)的臨界F 值，一般記作： 例如，查附表4，當(dāng)df1=3，df2=18時(shí)， F0.05(3,18)=