量子試題與習(xí)題

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持量子力學(xué)習(xí)題第一章緒論由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長 與溫度T成反比，即mT=b （常量）；并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV,求其德布羅意波長。氮原子的動能是E=3kT/2 （k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氮原子的 德布羅意波長。利用玻爾一索末菲的量子化條件，求：一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10特斯拉，玻爾磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉，試計算動能 的量子化間隔 E,并與T=4K及T=100K的熱運動

2、能量相比較。1.5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對。如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定調(diào)方程由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：1=ekr/r,（2） 2=e-ikr/r.從所得結(jié)果說明1表示向外傳播的球面波，2表示向內(nèi)（即向原點）傳播的球 面波。一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)（0EU。）的能級所滿足的方程。一一 - 一 2 一對于一維無限深勢阱（0 xa）中的定態(tài)n（x）,求x、x和x,并與經(jīng)典力學(xué)結(jié)果比較。粒子在勢場中運動，求存在束縛態(tài)（E2

3、m從左方入射，遇勢壘2 d22mR2 d 2求反射系數(shù)、透射系數(shù)。EV0情形分別討論H?質(zhì)量為m的粒子只能沿圓環(huán)（半徑R）運動，能量算符文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持為旋轉(zhuǎn)角。求能級(En)及歸一化本征波函數(shù) n(),討論各能級的簡并度。第三章基本原理3.1一維諧振子處在基態(tài)2、，2(x), ie-12U勢能的平均值12一 x2；T動能的平均值動量的幾率分布函數(shù)。3.2設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為1 (x)=Asin2kx+ 2 coskx,求此時粒子的平均動量和平均動能。在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為 a,如果粒子的狀態(tài)由 波函數(shù)(x)=Ax(a-x)描

4、寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。證明：如歸一化的波函數(shù)(x)是實函數(shù)，則=i /2;如=(r)(與,無關(guān))，則 = 3/2 。計算對易式x, Ly, pz, Lx,并寫出類似的下標輪換式(x y, y乙z x)。證明算符關(guān)系設(shè)F為非厄米算符(F+ F),證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄 米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。1一維諧振子(Vi=2kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢場突然變成 V2=kx2,即彈性力增 大一倍。求粒子在V2場中的能級以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。有線性算符L、M、K, L, M=1, K=LM。K的本征函數(shù)、本征信記為 n、n (n=1,

5、2,.)。證明：如函數(shù)M n及L n存在，則它們也是K的本征函數(shù)， 本征信力(n 1)。2證明：如H= p /2m+V( r),則對于任何束縛態(tài)=0。2粒子在均勻電場中運動，已知 H= p /2m-q x。設(shè)t=0時又=0, Px=po,求又，px(t)0文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持一2粒子在均勻磁場B=(0, 0, B)中運動，已知 H= p /2mLz, =qB/2mCo設(shè) t=0 時=(po, 0, 0),求 t0 時 。粒子在勢場V(r)中運動，V與粒子質(zhì)量m無關(guān)。證明：如m增大，則 束縛態(tài)能級下降。第四章中心力場證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球

6、極坐標中的分量是Jer=Je =0,e m 2nlmJe =r sin0由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動量之比為這個比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和 這些力學(xué)量的平均值。利用測不準關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。對于類氫離子的基態(tài)100,求概然半徑(最可幾半徑)及r，r2 o對于類氫離子的nlm態(tài)，證明1= 2 = En o對于類氫離子的基態(tài)100,計算x, px,驗證不確定關(guān)系x Px/2。單價原子中價電子(最外層電子)所受原子實(原子

7、核及內(nèi)層電子)的 庫侖作用勢可以近似表示成試求價電子能級。與氫原子能級比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示：22將V(r)中第二項與離心勢合并，記成l(l 1) /2 r，計算(l I)之值，.。 第五章表象理論設(shè)n, k是厄米算符H?的本征態(tài)矢，相應(yīng)于不同的本征值。算符白與H?對易。證明=0。質(zhì)量為 的粒子在勢場 V(x)中作一維運動，設(shè)能級是離散的。證明能量文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持表象中求和規(guī)則(EnnEk)(nei x2（為實數(shù)）。5.3P。對于一維諧振子的能量本征態(tài) n,利用升、降算符計算T、V、x、5.4設(shè)J為角動量，n為常矢量，證明J ,n -

8、 J =i n x J對于角動量J的jm）態(tài)（J2, Jz共同本征態(tài)），計算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平 均值，以及Jx、 Jyo設(shè)n （單位矢量）與z軸的夾角為，對于角動量J的jm）態(tài)，計算Jn（即n J的平均值）。以lm）表示L2 , Lz共同本征態(tài)矢。在1=1子空間中，取基矢為 11）, 10, 1 1）,建立L2, Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并 求其本征值及本征態(tài)矢（取 =1）。*5.8對于諧振子相干態(tài)（a =，為實數(shù)），計算n, n，E, E,X，x, p, p o第六章微擾理論如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為ro,電荷均勻分布的小球，計算這種效應(yīng)對類氫原

9、子基態(tài)能量的一級修正。轉(zhuǎn)動慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場 中，如果電場較小， 用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級 E01及E02,現(xiàn)在受到微擾H?的 作用。微擾矩陣元為H12=H21=a, H11=H22=b; a, b都是實數(shù)。用微擾公式求能 量至二級修正值。一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場 作用，設(shè)電場沿正x方向：（1）用微擾法求能量至二級修正；（2）求能量的準確值，并和（1）所得結(jié)果比較。設(shè)在t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè) 單色光的電場可以近似地表示為 sin t,及 均為常量；電離后電子的波函數(shù)近文檔來源為：

10、從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的幾率?；鶓B(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降， 即求經(jīng)過長時間后氫原子處在2P態(tài)的幾率。計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。粒子(質(zhì)量)在無限深勢阱0 x0)中作一維運動。試用變分法求基態(tài) 能量近似值。建議取試探波函數(shù)(/尸Aexp( 2r2)。某量子力學(xué)體系處于基態(tài)i(x)。t0后受到微擾作用，H x,t)=F(x)e ,試證明：長時間后(t)該體系處于激發(fā)態(tài)n(x)的幾率為第七章自旋7.1證明1 0 TOC o 1-5

11、h z 1 (sz)& ?求在自旋態(tài)2 中，Sx和Sy的測不準關(guān)系：S? _01 K3、自旋/2的定域電子（不考慮“軌道”運動）受到磁場作用，已 知其能量算符為文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持H = Sz + v Sx(，丫 0,? 丫)(a)求能級的精確值。(b)視丫 Sx項為微擾，用微擾論公式求能級。4、質(zhì)量為m的粒子在無限深勢阱(0 x0 TOC o 1-5 h z 2220,即 F +G K3、(a) , (b)各 10 分100 1H = Sz + YSx = 2 01+2 丫 10=2文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持H =E

12、,= b,令 E= 2 ,則ab =0, | = 2- 2- 2 =022 一;,Ei = - 222、1/2(1+)22. 二 2,E= 2 N22(1+2 2 ) = +22Ei - 2 +2 ,g=2 +2 H = Sz + y Sx = H o+ H , H o= Sz , H = y SxH o本征值為2 ，取 Ei()= - 2, E2 =201相當(dāng)本征函數(shù)(Sz表象)為1(0)= 1 ,2(0)=。H之矩陣元（Sz表象）為E1=E/0)4、E1 =a2一1x= 0px = -IxPx = -|H 11=0,，2H 21+ 小1+ E1(0)e20)，2H 12+ H22+ e20

13、)22 _ 2 2maxdxddx（0）E1H 22 =0,1=-21（X）=axsIn0 x .dx a1dx2aH 12 = H 21 =1224+0-Id1x 一 dx1dx2一 xd(sIn a02sIn0 x0, xd(1sin2 )2 aax x、 xsm - d(sm )a。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持a1 r . 2 x a 2 x】x sin sin dx a a 0_ o a12 dx -210 a=0+ 2 0四項各5分5、，(ii)各10分體系波函數(shù)應(yīng)交換對稱。(i) s=0,為玻色子,(ri,有：a(ri)ab共6種。1s= 2,單粒子態(tài)共01a 0 a 1 b 0 ) ) )任取兩個，可構(gòu)成體系(：aS)b(r1) b(r2)c(r1)ccaccb6種：010b 1 c 0 c 1 ， ， W換)反對稱態(tài)，如c(r2),a(r1)b(r2)_ b(r1)a(2) 0 1 0 22體系態(tài)共有C6 15種