高考大題規(guī)范解答立體幾何大題(文科)

1、高考大題規(guī)范解答一一立體幾何(文)考點(diǎn)1線面位置關(guān)系與體積計(jì)算例1 (2017全國卷出)如圖，四面體 ABCD中， ABC是正三角形，AD=CD.(1)證明：ACLBD;(2)已知 ACD是直角三角形， AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且 AEXEC,求 四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.【分析】看到證明線線垂直(ACXBD),想到證明線面垂直，通過線面垂直證明線線垂直.看到求四面體 ABCE與四面體ACDE的體積比，想到確定同一平面，轉(zhuǎn)化為求高的比. 【標(biāo)準(zhǔn)答案】一一規(guī)范答題步步得分取AC的中點(diǎn)O,連接DO, BO.1分|得分點(diǎn)因?yàn)锳D=CD,所以AC DO.又由于 ABC是

2、正三角形，所以ACXBO.又因?yàn)镈OABO=O,從而AC,平面DOB,故 ACBD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知/ ADC=90,所以DO = AO.在 RtAAOB 中，BO2+AO2=AB2,又 AB = BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2 = ab2=bd2,故/ DOB = 90 .4分得分點(diǎn)由題設(shè)知 AEC為直角三角形, .1所以 eo=2ac.又 ABC是正三角形，且 AB=BD,一,1所以EO=2BD,故E為BD的中點(diǎn)，1從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的1四面體ABCE的體積為四面體 ABCD的體積的萬，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1

3、： 1.【評分細(xì)則】作出輔助線，并用語言正確表述得1分.8分得分點(diǎn)9分得分點(diǎn)11分得分點(diǎn)12分得分點(diǎn)AC,平面DOB,再得1分.得出AC DO和AC BO得1分，由線面垂直的判定寫出 TOC o 1-5 h z 由線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)論得1分.作出輔助線，并用語言正確表述得1分.由勾股定理逆定理得到/ DOB = 90得2分.11由直角三角形的性質(zhì)得出EO = 11AC得1分.由等邊三角形的性質(zhì)得出E為BD的中點(diǎn)，得1分. , 1得出四面體 ABCE的體積為四面體 ABCD的體積的萬得2分.正確求出體積比得 1分.【名師點(diǎn)評】.核心素養(yǎng)：空間幾何體的體積及表面積問題是高考考查的重點(diǎn)題型，主要考

4、查考生“邏輯推理”及“直觀想象”的核心素養(yǎng).解題技巧：（1）得步驟分：在立體幾何類解答題中，對于證明與計(jì)算過程中的得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以，對于得分點(diǎn)步驟一定要寫，如第 （1）問中ACXDO, ACXBO;第（2）問中 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2等.（2）利用第（1）問的結(jié)果：如果第（1）問的結(jié)果對第（2）問的證明或計(jì)算用得上，可以直接用，有 些題目不用第（1）問的結(jié)果甚至無法解決，如本題就是在第 （1）問的基礎(chǔ)上得到 DO=AO.變式訓(xùn)練1如圖，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，點(diǎn)E, F分別是棱CC1, BB1上的點(diǎn)，且EC=2FB.（1）證明：平面 A

5、EH平面 ACC1A1；(2)若AB= EC=2,求三棱錐 C AEF的體積.解析(1)取線段AE的中點(diǎn)G,取線段AC的中點(diǎn)M,連接 MG, GF, BM ,則 MG=1EC = BF,又 MG /EC /BF,四邊形MBFG是平行四邊形，故 MB/FG.MBXAC,平面 ACCiAi,平面 ABC,平面 ACCiAin 平面 ABC = AC,.MB,平面 ACCiAi,而 BM/FG,FG，平面 ACCiAi,.FG?平面 AEF,平面 AEF,平面 ACCiAi.(2)由(i)得 FG,平面 AEC, FG =BM = V3,.Vc aef= Vf ACE= SzACE FG=；X 2X

6、 273 =平.33 23考點(diǎn)2立體幾何中的折疊問題， 例2 (20i8課標(biāo)全國I卷)如圖，在平行四邊形 ABCM中，AB=AC=3, / ACM = 90以AC為折痕將 ACM折起，使點(diǎn) M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABXDA.證明：平面 ACDL平面 ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且 BP=DQ=2DA,求三棱錐 Q ABP的體 3積.【分析】 線線垂直推出線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直;利用錐體的體積公式求解.規(guī)范答題步步得分(1)由已知可得，/ BAC=90, BAXAC.又BAAD,所以 AB，平面 ACD.3分得分點(diǎn)又AB?平面ABC,所以平面 ACD，平面 ABC.A

7、f145分得分點(diǎn)(2)由已知可得，DC = CM=AB = 3, DA = 3/2又 BP = DQ = 2DA,所以 BP=242.37分得分點(diǎn)作QEAC,垂足為E,則QE觸1DC.3由已知及（1）可得DC,平面ABC,所以QE，平面 ABC, QE = 1.10分得分點(diǎn)因此，三棱錐 QAPB 的體積為 VqABP=1X QEX 4abp=x 1 x,x 3X 2小sin45 = 1.12 分 332,得分點(diǎn)【評分細(xì)則】由線線垂直推出線面垂直，給 3分.由線面垂直得面面垂直，給2分.根據(jù)已知，求出 BP的長，給2分.證明QE為三棱錐Q APB的高，并求出它的值，給 3分;利用體積公式正確求解

8、，給 2分.【名師點(diǎn)評】1.核心素養(yǎng):本題考查面面垂直的證明及三棱錐的體積計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推 理能力.2.解題技巧：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化；翻折后不在同一個平面上的性質(zhì)可能會發(fā)生變化，翻折過程中長度、角度和平行、垂直關(guān)系是否發(fā)生改變是解決問題的關(guān)鍵.(2)計(jì)算幾何體的體積時， 關(guān)鍵是確定幾何體的高， 若是不方便求，要注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練2(2018廣東廣州一模)如圖，在直角梯形 ABCD中，AD/BC, ABXBC,且BC=2AD = 4, E, F分別為線段 AB, DC的中點(diǎn)，沿EF把AEFD折起，使AEXCF,得到如下的

9、立體圖 形.證明：平面 AEFDL平面EBCF;(2)若BDXEC,求點(diǎn)F到平面ABCD的距離.解析(1)證明：由題意可得 EF/AD, .-.AEXEF.又 AECF, EFACF = F, . .AE，平面 EBCF. AE?平面 AEFD ,平面 AEFDL平面 EBCF .(2)如圖，過點(diǎn) D作DG /AE交EF于點(diǎn)G ,連接BG,則DGL平面EBCF.EC?平面 EBCF, . .DG EC. 又 BDXEC, BD A DG= D, . EC，平面 BDG.又 BG?平面 BDG, .-.ECXBG.易得aegbs/bec, .EB=EC;.EB2= EG BC= AD BC=8,

10、.EB=2m.設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為h,由 V 三棱錐 F ABC = V 三棱堆 A-BCF,可得 SZABC h= SZBCF AE .BCXAE, BCXEB, AE AEB = E,.BS平面 AEB, .-.ABIBC.又 AB = /aE2BE2 =4= BC,1.SZABC =,X 4X4 = 8.1又 SZBCF =2X 4X2艱=4依 AE=EB=2g.-，8h=4x/2X 22= 16,解得 h=2.故點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2.考點(diǎn)3立體幾何中的探索性問題* 例3 （2018全國m,）如圖,矩形 ABCD所在平面與半圓弧 CD所在平面垂直，M是CD上異于C, D的

11、點(diǎn).(1)證明：平面 AMD，平面 BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC/平面PBD?說明理由.【分析】看到平面AMD，平面BMC,想到利用面面垂直的判定定理尋找條件證明;看到MC/平面PBD,想到利用線面平行的定理進(jìn)行分析.【標(biāo)準(zhǔn)答案】規(guī)范答題步步得分(1)由題設(shè)知，平面 CMDL平面 ABCD,交線為 CD. 因?yàn)?BCXCD, BC?平面 ABCD,所以BCL平面 CMD ,故BCXDM.3分得分點(diǎn)因?yàn)镸為CD上異于C, D的點(diǎn)，且DC為直徑, 所以DM LCM.又BCACM = C,所以DM，平面BMC .而DM ?平面 AMD ,故平面 AMD，平面 BMC .5分得分點(diǎn)

12、6分得分點(diǎn)(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時，MC/平面PBD.7分得分點(diǎn)證明如下：連接 AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形，所以 。為AC中點(diǎn), 連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以 MC/OP. 10分 得分點(diǎn)12分得分點(diǎn)MC?平面PBD, OP?平面PBD,所以 MC /平面PBD .【評分細(xì)則】 由平面 CMD，平面 ABCD推出BCXDM ,給3分.由線線垂直得到 DM，平面BMC ,給2分.由線面垂直得到，平面 AMD，平面BMC,給1分.點(diǎn)明P為中點(diǎn)時，MC/平面PBD,給1分.正確作出輔助線并證得 MC /OP,給3分.由線線平行證得 MC /平面PBD ,給2分.【名師點(diǎn)評】.核心素養(yǎng)：探

13、索性的立體幾何問題在高考中雖不多見，但作為高考命題的一種題型，要求學(xué)生掌握其解決思路及解決問題的途徑，此類問題主要考查考生“直觀想象”的核心素養(yǎng).解題技巧：(1)得分步驟要寫全：如第(1)問中，面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用，BCXCD, BC?平面ABCD,不能丟.(2)得分關(guān)鍵：明確探索性試題的解題要領(lǐng)是先假設(shè)存在，然后采用相關(guān)定理或性質(zhì)進(jìn)行論證；第(2)問中，把假設(shè)當(dāng)作已知條件進(jìn)行推理論證，會起到事半功倍之效.變式訓(xùn)練3如圖，在四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面PAD，底面 ABCD,側(cè)棱PA=PD =42,底面 ABCD 為直角梯形，其中 BC/AD, ABXAD, AD = 2AB= 2BC= 2

14、,。為AD的中點(diǎn).(1)求證：POL平面ABCD;(2)求異面直線PB與CD所成角的正切值；線段AD上是否存在點(diǎn) Q,使得它到平面 PCD的距離為呼?若存在，求出QD的值；若不存在，請說明理由.p解析(1)證明：在4PAD中，因?yàn)镻A=PD, 。為AD的中點(diǎn)，所以 POLAD.又側(cè)面PAD，底面 ABCD,平面PAD n平面 ABCD = AD, PO?平面 PAD,所以POL平面ABCD .(2)連接BO,在直角梯形 ABCD中，BC/AD, AD = 2AB=2BC,。為 AD 的中點(diǎn),所以 OD /BC 且 OD = BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以 OB/DC.由(1)知，POXOB, /PBO為銳角,所以/PBO是異面直線PB與CD所成的角，在Rt9OB中，因?yàn)?AB=1, AO=1,所以 OB = J2,在 RtA