差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈沖響應(yīng)課件

1、數(shù)位訊號處理第3章離散時間系統(tǒng)時域分析 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析2大綱3.1 離散時間線性非時變系統(tǒng) 3.1.1 系統(tǒng)定義 3.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)3.1.3 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 3.1.4 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 3.2 離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)3.2.1 離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應(yīng)3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算3.4 離散時間LTI系統(tǒng)的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩(wěn)定特性 3.5 差分方程式與時間系統(tǒng) 3.5.1差分方程式描述

2、離散時間系統(tǒng) 3.5.2差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)3.6 總結(jié)與參考文獻第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析3系統(tǒng)定義 為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為系統(tǒng)(system) 。系統(tǒng)也可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關(guān)係或過程的一種數(shù)學(xué)模型。假設(shè)x表示系統(tǒng)的輸入訊號，y表示系統(tǒng)的輸出訊號，那麼系統(tǒng)可看成某種轉(zhuǎn)換(transformation)或映射(mapping)將輸入訊號x轉(zhuǎn)換成輸出訊號y，以數(shù)學(xué)模型描述此轉(zhuǎn)換為 y = T x 其中T表示某種經(jīng)過嚴謹定義的運算元(operator)將x轉(zhuǎn)換成y。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析4：y2x2x1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型示意圖 系統(tǒng)T

3、 x系統(tǒng)T yy1(a) 單一輸入/單一輸出訊號系統(tǒng)(b) 多重輸入/多重輸出訊號系統(tǒng) xnym：範例3-1：單一輸入/輸出連續(xù)時間系統(tǒng)之例子RC 電路圖下圖敘述一個簡單的RC電路，若將電壓源信號視為一連續(xù)時間輸入信號，且將電容之端電壓信號y(t)視為一連續(xù)時間輸出信號，則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出信號連續(xù)時間系統(tǒng)之一個例子。其輸入與輸出之關(guān)係可用一階常微分方程式描述為：Ry(t)i(t)x(t)+C範例3-2：單一輸入/輸出離散時間系統(tǒng)之例子張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第n個月)存入某銀行之金額為xn，假設(shè)月利率為0.0025，以複利方式計息，那麼當月份計息

4、後，張先生在該銀行之總存款金額yn為 ： 若將總存款金額yn視為輸出序列，當月存入金額xn視為輸入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸入/輸出之離散時間系統(tǒng)。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析7線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)運算元T 符合以下特性： 加成性(additivity) ：若Tx1=y1 且Tx2=y2 則Tx1+x2= y1+y2，任何x1及x2皆成立。一致性或等比例(homogeneity or scaling) ：若T x = y則 T x = y ，左式對於任何x及純量常數(shù)皆成立。 整合成疊加特性(superposition property): 若系統(tǒng)符合以上特性

5、者稱為線性系統(tǒng)(linear system)若系統(tǒng)不符合以上特性者稱為非線性系統(tǒng)(nonlinear system) 。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析8x2n線性離散系統(tǒng)示意圖 線性系統(tǒng)x1n線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)y1ny2na1x1n+ a2 x2na1 y1n+ a2 y2n第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析9範例3-3：線性系統(tǒng) 假設(shè)系統(tǒng)之輸出/輸入關(guān)係為: ，請說明此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。 假設(shè)將任意兩訊號x1n和x2n分別輸入此系統(tǒng)，分別產(chǎn)生之輸出訊號y1n和y2n可表示成 檢驗輸入訊號a1x1n+a2x2n對應(yīng)之輸出訊號 符合疊加特性，故此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng)。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析10範例3-4

6、：非線性系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)之輸出/輸入關(guān)係為: ，請說明此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)。 假設(shè)將任意兩訊號x1n和x2n分別輸入此系統(tǒng)，分別產(chǎn)生之 輸出訊號y1n和y2n可表示成 檢驗輸入訊號a1x1n+a2x2n對應(yīng)之輸出訊號 不符合疊加特性，故此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng)。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析11時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 若一系統(tǒng)之輸入訊號的輸入時間提前或延後t(yī)0(連續(xù)時間系統(tǒng))或n0(離散時間系統(tǒng))時，其對應(yīng)的輸出訊號波形與原輸出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後t(yī)0或n0，此種系統(tǒng)稱為非時變系統(tǒng)(time-invariant system) 。 不符合以上特性之系統(tǒng)稱時變系統(tǒng)(time-varying

7、 system) 。非時變系統(tǒng)xnynxn n0非時變系統(tǒng)yn n0第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析12範例3-5：時變系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)之輸出/輸入關(guān)係為: ，請說明此系統(tǒng)為一時變系統(tǒng)。 此系統(tǒng)之輸入訊號與輸出訊號分別為xn和yn，假設(shè)輸入訊號之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xdn = xnn0，此情況之系統(tǒng)輸出訊號為 檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結(jié)果為 顯然 ydn 與 yn n0不相等，故此系統(tǒng)為一時變系統(tǒng)。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析13範例3-6：非時變系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)之輸出/輸入關(guān)係為: ，請說明此系統(tǒng)為一非時變系統(tǒng)。 此系統(tǒng)之輸入訊號與輸出訊號分別為x n和yn，假設(shè)輸入訊號之輸入時間

8、延後n0，此時輸入訊號為xdn = xnn0，此情況之系統(tǒng)輸出訊號為 檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結(jié)果為 顯然 ydn 與 yn n0相等，故此系統(tǒng)為一非時變系統(tǒng)。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析14大綱3.1 離散時間線性非時變系統(tǒng) 3.1.1 系統(tǒng)定義 3.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)3.1.3 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 3.1.4 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 3.2 離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)3.2.1 離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應(yīng)3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算3.4 離散時間LTI系統(tǒng)的特性 3.4.1 無記憶

9、特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩(wěn)定特性 3.5 差分方程式與時間系統(tǒng) 3.5.1差分方程式描述離散時間系統(tǒng) 3.5.2差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)3.6 總結(jié)與參考文獻第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析1515離散時間LTI系統(tǒng)脈衝響應(yīng) 考量一離散時間LTI (Linear Time Invariant) 系統(tǒng)的輸入為單位脈衝序列時，其輸出序列的數(shù)學(xué)模型描述為(3.3) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析16任意輸入序列的輸出響應(yīng)(1) 任何輸入序列可以表示為考量一離散時間LTI系統(tǒng)的輸入為任意序列時，其輸出序列可描述成： (3.4) (3.5)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析17任意輸入序列

10、的輸出響應(yīng)(2) 因為是線性系統(tǒng)，利用其疊加特性，(3.5)式可寫成再考量系統(tǒng)的非時變 (time-invariant)特性，由(3.3)式我們可得 (3.6) (3.7)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析18任意輸入序列的輸出響應(yīng)(3) 因此任意輸入序列的輸出響應(yīng)可寫成 上式是著名的旋積和(convolution sum)運算，表示成 (3.8) (3.9)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析19離散時間LTI系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)係示意圖 離散時間LTI系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)係示意圖 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析20大綱3.1 離散時間線性非時變系統(tǒng) 3.1.1 系統(tǒng)定義 3.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)

11、3.1.3 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 3.1.4 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 3.2 離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)3.2.1 離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應(yīng)3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算3.4 離散時間LTI系統(tǒng)的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩(wěn)定特性 3.5 差分方程式與時間系統(tǒng) 3.5.1差分方程式描述離散時間系統(tǒng) 3.5.2差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)3.6 總結(jié)與參考文獻第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析21旋積和運算特性(1) 交換律(commutative)結(jié)合律(assciative

12、)分配律(distributive)(3.10) (3.12)(3.11) (3.13)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析22旋積和運算特性(2) (3.10)式交替特性說明一離散時間LTI系統(tǒng)的輸入序列 xn與脈衝響應(yīng) hn互換，其輸出 yn不受影響，即下圖的兩個離散時間LTI系統(tǒng)輸出 與 完全相同。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析23離散時間LTI系統(tǒng)的串聯(lián)架構(gòu) 離散時間LTI系統(tǒng)的串聯(lián)架構(gòu)：第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析24離散時間LTI系統(tǒng)的並聯(lián)架構(gòu) 離散時間LTI系統(tǒng)的並聯(lián)架構(gòu)：第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析25範例3-7 假定4個離散時間LTI次系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)分別是 、 、 與 ，以此4個次系統(tǒng)

13、合成一個新系統(tǒng)，此新系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)可表示成：利用前述旋積和運算特性分析其系統(tǒng)架構(gòu)。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析26範例3-7(續(xù)) 離散時間LTI系統(tǒng)的合成架構(gòu)：第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析27旋積和運算之計算 之計算步驟：將xn的參數(shù)n置換成k ，即xk，並繪圖。將hn的參數(shù)n置換成k ， 即hk ，並繪圖。將hk翻轉(zhuǎn)得hk ，並繪圖。將hk平移n得h(k n) = hn k ，並繪圖。將xk與hn k兩圖重疊，將xk固定不動，移動時間參數(shù)n(從 移往)，即移動hn k ，針對每一n值，依序變化參數(shù)k值所對應(yīng)之xk與hn k之乘積做累加運算。在此運用兩圖並排主要是有助於決定累加運算的上下限

14、。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析28範例3-8 假定一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)hn 與輸入序列xn為： 求其輸出序列 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析29範例3-8 (續(xù))步驟1. 將xn 的參數(shù)n 置換成參數(shù)k 得到xk ，並將序列xk對應(yīng)k繪圖，如圖(a)所示。步驟2. 將hn 的參數(shù)n 置換成參數(shù)k 得到hk ，並將序列hk 對應(yīng)k 繪圖，如圖(b)所示。(a) 序列 xk(b) 序列 hk第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析30範例3-8 (續(xù))步驟3. 將hk 翻轉(zhuǎn)得圖(c)顯示之hk 。步驟4. 將 h k平移 n 得 h (k n)=hn k，並繪圖，如圖(d)所示。(c) 序列 h k

15、(d) 序列 hn k第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析31範例3-8 (續(xù))步驟5. 將 xk與hn k 兩圖上下並排，且座標軸對齊，將 xk圖固定不動，移動 hn k圖，即移動時間參數(shù) n (從 移往 )，針對每一 n值，依序變化參數(shù) k 值所對應(yīng)之xk 與 hn k之乘積做累加運算。分段處理以圖解方式說明，其參數(shù) n分段細節(jié)詳述如下：第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析32範例3-8 (續(xù))當n 0 時，圖(a)顯示在 範圍內(nèi)， xk 與 hn k的乘積皆為0，所以其累加結(jié)果為0，即 yn = 0，n 0。(a) n 6 時，下圖顯示在 範圍內(nèi)， xk 與hn k 的乘積皆為0，所以其累加結(jié)果為0，即

16、 yn = 0, n 6。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析36範例3-8之輸出序列 整合上述結(jié)果，輸出訊號可表示為 ，如下圖所示。範例3-8之動畫37xn 置換參數(shù)得 xk hn 置換參數(shù)得 hk -1 0 1 2 3 4 5 6 71hn khn khk將 hk作翻轉(zhuǎn)成為 h-k平移 n 得 hn-kn-3 nh-k4 3 2 1xk 與 hn k之乘積做累加運算(旋積和) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7n6n-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 nn-3 n第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析38範例3-9 給定一個離散時間LTI系統(tǒng)的輸入訊號與脈衝響

17、應(yīng)分別表示為 請計算此系統(tǒng)的輸出訊號 yn。此系統(tǒng)的輸出訊號可由下列四種方式求得。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析39範例3-9 (續(xù))方式一：利用(3.6)式並運用單位步階序列之定義直接計算輸出訊號第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析40範例3-9 (續(xù))方式二：利用(3.9)式並運用單位步階序列之定義直接計算輸出訊號第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析41範例3-9 (續(xù))方式三：利用(3.6)式並運用圖解法(參考範例3-6)計算輸出訊號 。步驟1：將序列 xn 及 hn ，參數(shù) n 皆置換成參數(shù) k，如圖(a) 、(b) 所示。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析42範例3-9 (續(xù))步驟2：將 hk 翻轉(zhuǎn)得到 h

18、 k 如圖(c)所示，再將h k 平移 n 得到 hn k ，如圖(d)所示。步驟3：將 xk 與 hn k 兩圖上下並排，且座標軸對齊，將 xk 圖固定不動，移動 hn k 圖，即移動時間參數(shù) n (從 移往 )，針對每一 n 值，依序變化參數(shù) k 值所對應(yīng)之 xk 與 hn k 之乘積做累加運算，參數(shù) n 分段細節(jié)詳述如下：第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析43範例3-9 (續(xù))當 n 0 時，觀察下頁圖(e)顯示在 k 範圍內(nèi)，xk 與 hn k的乘積皆為0，所以其累加結(jié)果為0，即 yn = 0, n 0 。當n 0 時，觀察下頁圖(f)，針對每一 n 值，依參數(shù) k 值所對應(yīng)之 xk 與 h

19、n k 之乘積做累加運算，只有 k = 0 到 k = n 這個範圍內(nèi) xk 與 hn k 之乘積不為0，累加這 n + 1 個不為0之乘積可得 yn，依此方式可以計算 yn。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析44範例3-9 (續(xù))整合上述結(jié)果，輸出訊號可表示為(e) n 0 的情況(f) n 0 的情況第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析45範例3-9 (續(xù))方式四：利用(3.6)式並運用圖解法(參考範例3-6)計算輸出訊號 。步驟1：將序列 hn 及 xn ，參數(shù) n 皆置換成參數(shù) k，如圖(a)、(b) 所示。hk第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析46範例3-9 (續(xù))步驟2：將 xk 翻轉(zhuǎn)得到 x k 如

20、圖(c)所示，再將x k 平移 n 得到 xn k 如圖(d)所示。步驟3：將 hk 與 xn k 兩圖上下並排，且座標軸對齊，將 hk 圖固定不動，移動 xn k 圖，即移動時間參數(shù) n (從 移往 )，針對每一 n 值，依序變化參數(shù) k 值所對應(yīng)之 hk 與 xn k 之乘積做累加運算，參數(shù) n 分段細節(jié)詳述如下第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析47範例3-9 (續(xù))當 n 0 時，觀察下頁圖(e)顯示在 k 範圍內(nèi)，hk 與 xn k的乘積皆為0，所以其累加結(jié)果為0，即 yn = 0, n 0 。當n 0 時，觀察下頁圖(f)，針對每一 n 值，依參數(shù) k 值所對應(yīng)之 hk 與 xn k 之乘

21、積做累加運算，只有 k = 0 到 k = n 這個範圍內(nèi) hk 與 xn k 之乘積不為0，累加這 n+1 個不為0之乘積可得 yn，依此方式可以計算 yn。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析48範例3-9 (續(xù))整合上述結(jié)果，輸出訊號可表示為(e) n 0 的情況(f) n 0 的情況第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析49範例3-9 (續(xù))討論：本題使用四種方式計算輸出訊號。建議使用方式3或方式4之圖解法，比較不會出錯。仔細比較方式3與方式4還是有點小差異，方式3要找出 ，方式4直接用 ，似乎方式4又較容易些。最後以 =0.6 為例，用MATLAB繪製輸出訊號圖。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析50範例3

22、-10 給定一離散時間LTI系統(tǒng)其脈衝響應(yīng)與輸入序列分別描述如圖(a)與圖(b)，請計算此系統(tǒng)的輸出訊號 。本題與範例3-8類似，圖解法留作練習。在此提供一種針對有限序列較快速的計算旋積和之方法。(b) 輸入序列(a) 脈衝響應(yīng)hnxn第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析51範例3-10 (續(xù))xn 表示為 輸入 輸出利用線性與非時變特性，輸出訊號可表示成hnhnhn+第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析52範例3-10 (續(xù))利用直式乘法直接表示旋積和，其架構(gòu)如下圖所示。 ；由上述直式乘法結(jié)果可得輸出訊號 。注意：與一般直式乘法不同，每一縱行數(shù)值之相加不必進位。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析53範例3-11

23、給定一離散時間LTI系統(tǒng)，其輸入序列與脈衝響應(yīng)分別為 請計算輸出訊號 yn。採用直式乘法直接計算旋積和可得輸出訊號為第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析54範例3-12 假定一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng) hn ，輸入序列為一步階序列： 求其輸出序列，此輸出序列也稱為步階響應(yīng)(step response)，以sn表示之。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析55範例3-12 (續(xù))本例題可直接用(3.7)式及其交換律求得輸出訊號 由定義 注意到變數(shù)參數(shù)是k 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析56範例3-12 (續(xù))或由下圖決定上述累加運算的上限為n ，也就是說 因此輸出訊號 sn可改寫成第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析

24、57範例3-12 (續(xù))觀察本範例求得輸入為步階序列之輸出序列是直接將離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)累加而得；反過來說，將離散時間LTI系統(tǒng)的步階響應(yīng)做差分可得到離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng) ，即(3.15) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析58大綱3.1 離散時間線性非時變系統(tǒng) 3.1.1 系統(tǒng)定義 3.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)3.1.3 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 3.1.4 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 3.2 離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)3.2.1 離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應(yīng)3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算3.4 離散時

25、間LTI系統(tǒng)的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩(wěn)定特性 3.5 差分方程式與時間系統(tǒng) 3.5.1差分方程式描述離散時間系統(tǒng) 3.5.2差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)3.6 總結(jié)與參考文獻第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析59無記憶特性(1) 一系統(tǒng)的輸出序列只與同一時間的輸入序列有關(guān)，此種系統(tǒng)稱為無記憶系統(tǒng)；反之， 若輸出序列與其他時間的輸入序列有關(guān)，此系統(tǒng)即稱為記憶系統(tǒng)。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析60無記憶特性(2) 一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)表示系統(tǒng)的輸入序列為n ，若此離散時間LTI系統(tǒng)不具記憶特性，那麼一定要符合以下條件： 因為輸入序列表示只在n

26、= 0時有序列，加上線性特性的條件，一離散時間無記憶離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)可寫成：K 為常數(shù)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析61無記憶特性(3) 接著利用(3.9)式可描述此系統(tǒng)的輸入為任意序列所得到的輸出序列：以上分析可知，若一離散時間LTI系統(tǒng)不具記憶特性時，系統(tǒng)的輸出入關(guān)係為 或其脈衝響應(yīng)為 K為常數(shù) 。 顯然輸出入關(guān)係 代表此系統(tǒng)是一個理想的放大器( )、緩衝器( )、全通濾波器( )或衰減器( )。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析62因果特性(1) 若一系統(tǒng)的輸出序列只與目前或之前的輸入序列有關(guān)，此系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(causal system)；反之，若輸出序列與未來時間的輸入序列有關(guān)

27、，此系統(tǒng)即稱為非因果系統(tǒng)(non-causal system)。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析63因果特性(2) 一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)表示系統(tǒng)的輸入序列為 n ，若此離散時間LTI系統(tǒng)具因果特性，那麼一定要符合以下條件： (因為輸入序列 n表示只在n = 0時才有序列輸入，因此在n = 0之前不能有輸出序列。)一離散時間因果LTI系統(tǒng)的輸入為任意序列xn時，其輸出序列為 (3.16) (3.17) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析64因果特性(3) 使用(3.16)式之因果特性 可得直接用旋積和運算之交換律求得輸出序列：一離散時間LTI系統(tǒng)若具因果特性時，系統(tǒng)的輸出入關(guān)係仍如(3.9)式

28、之旋積和運算所述，但積分上下限已改變，如(3.18)式或(3.19)式所示。(3.19) (3.18) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析65穩(wěn)定特性(1) 若一系統(tǒng)之輸入序列的數(shù)值有限，其對應(yīng)的輸出序列值也有限，此種系統(tǒng)稱BIBO (bounded input bounded output)穩(wěn)定系統(tǒng)，反之，輸入有限數(shù)值的序列而輸出無限值之系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析66穩(wěn)定特性(2) 我們分析一個BIBO穩(wěn)定的離散時間LTI系統(tǒng)，其脈衝響應(yīng)要符合什麼條件? 假定輸入序列大小為有限值： 若系統(tǒng)穩(wěn)定則其輸出序列要符合以下條件： (3.20) , 對所有n (3.21) 第3章 離散

29、時間系統(tǒng)時域分析67穩(wěn)定特性(3) 條件(3.18)式可改寫為： 換言之，一個離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)若符合條件(3.22)式，則此離散時間LTI系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定。(3.22) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析68範例3-13 一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng) ， 討論其特性。因為系統(tǒng)的脈衝響應(yīng) hn 不符合系統(tǒng)無記憶條件： ，也就是說 ；系統(tǒng)具記憶特性。具因果特性，因為脈衝響應(yīng) hn 符合條件：系統(tǒng)不穩(wěn)定，因為 ， 不符合BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)之定義。 。第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析69範例3-14一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng) 討論其系統(tǒng)特性。具記憶特性，因為脈衝響應(yīng)不符合系統(tǒng)無記憶條件： ，也

30、就是說當 時 仍有數(shù)值。具因果特性，因為脈衝響應(yīng) 符合因果條件，即系統(tǒng)穩(wěn)定，因為系統(tǒng)符合BIBO穩(wěn)條件。 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析70大綱3.1 離散時間線性非時變系統(tǒng) 3.1.1 系統(tǒng)定義 3.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)3.1.3 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 3.1.4 時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng) 3.2 離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)3.2.1 離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應(yīng)3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算3.4 離散時間LTI系統(tǒng)的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩(wěn)定特性 3.5 差分方

31、程式與時間系統(tǒng) 3.5.1差分方程式描述離散時間系統(tǒng) 3.5.2差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)3.6 總結(jié)與參考文獻第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析71差分方程式描述離散時間系統(tǒng) 除了以脈衝響應(yīng)、步階響應(yīng)及旋積和運算分析時域的離散時間LTI系統(tǒng)，此外，一個線性常係數(shù)差分方程式 ： 也可以描述一時域的離散時間系統(tǒng)的輸出序列與輸入序列的關(guān)係，其中yn k與xn k分別表示yn與xn延遲k個單位時間。 (3.23)ak 和bk為常數(shù) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析72範例3-15 一離散時間系統(tǒng)由一單位延遲元件與一放大器所組成，如下圖所示。請寫出描述輸出與輸入之關(guān)係的差分方程式 。第3章 離散時間系統(tǒng)

32、時域分析73範例3-15 (續(xù))觀察上頁圖可知單位延遲元件的輸出可表示為 yn 1，並且輸出yn可以表示成 或可寫成 這是一階常係數(shù)差分方程式。 (3.24) (3.25) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析74範例3-16 一離散時間系統(tǒng)由兩個單位延遲元件與兩個放大器所組成，如下圖所示。請寫出描述輸出與輸入之關(guān)係的差分方程式 。單位延遲單位延遲第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析75範例3-16 (續(xù))觀察上頁圖可知兩個單位延遲元件(由左至右)的輸出可分別標示為 與 ，並且輸出可以表示成 或可寫成 這是二階常係數(shù)差分方程式。 (3.26) 第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析76差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)

33、 (1)N 階差分方程式改寫成另一種形式 ：(以遞迴方程式 (recursive equation) 計算現(xiàn)在輸出的方法 )接著將(3.27)式之輸入序列改成脈衝序列，其輸出即是系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) (3.27)(3.28)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析77差分方程式與離散時間系統(tǒng)之脈衝響應(yīng) (2)考量(3.27)式的一個特例，即當時，(3.27)式簡化成此特殊情況，不再以遞迴方式計算輸出。其對應(yīng)系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)可寫成(3.30)式脈衝響應(yīng)項次有限，稱為有限脈衝響應(yīng) (finite impulse response, FIR) 系統(tǒng)，反之，若一離散時間LTI系統(tǒng)的脈衝響應(yīng)項次無限(因為遞迴的關(guān)係)，稱為無限脈衝響應(yīng) (infinite impulse response, IIR) 系統(tǒng)。 (3.29)(3.30)第3章 離散時間系統(tǒng)時域分析78範例3-17 找出下列差分方程式所描述的因果離散時間LTI系統(tǒng)之脈衝響應(yīng)，並判定是FIR系統(tǒng)或IIR系統(tǒng) 。 1. 2. 3.第3章