動(dòng)量守恒定律專題8動(dòng)量守恒定律8“小球--圓弧軌道”模型

1、動(dòng)量守恒定律專題8小球（滑塊）弧軌道模型例題1、如左下圖，一內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓柱槽置于光滑的水平面上槽的左側(cè)有一豎直墻壁.現(xiàn)讓 小球（可認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)）自左端槽口 A點(diǎn)的正上方從靜止開始下落，與半圓柱槽相切并從A點(diǎn)進(jìn)入槽內(nèi).正確小球在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒小球在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒解析小球從下落到最低點(diǎn)的過(guò)程中，槽沒有動(dòng)，與豎直墻之間存在擠壓，動(dòng)量不守恒；小球經(jīng)過(guò)最 低點(diǎn)往上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，槽與豎直墻分離，水平方向動(dòng)量守恒；全過(guò)程中有一段時(shí)間系統(tǒng)受豎直墻彈 力的作用，故全過(guò)程系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒，選項(xiàng)D正確；小球離開右側(cè)槽口時(shí)，水平方向有

2、速度， 將做斜拋運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)往上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，槽往右運(yùn)動(dòng)，槽對(duì)小球的支持力對(duì) 小球做負(fù)功，小球?qū)Σ鄣膲毫?duì)槽做正功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確.例題2、帶有1/4光滑圓弧軌道質(zhì)量為M的滑車靜止置于光滑水平面上，如圖所示，一質(zhì)量也為M的小球 以速度vQ水平?jīng)_上滑車，到達(dá)某一高度后，小球又返回車的左端，則BC 小球?qū)⒆鲎杂陕潴w運(yùn)動(dòng)此過(guò)程小球?qū)π≤囎龅墓镈.小球在弧形槽上升的最大高度為備 例題3、如圖所示，A和B并排放在光滑的水平面上，A上有一光滑的半徑為R的半圓軌道，半圓軌道右 側(cè)頂點(diǎn)有一小物體C，C由頂點(diǎn)自由滑下，設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m.求：（1）A、B分離時(shí)B的

3、速度多大？（2） C由頂點(diǎn)滑下到沿軌道上升至最高點(diǎn)的過(guò)程中做的功是多少？ 解析:小物體C自由滑下時(shí)，對(duì)槽有斜向右下方的作用力，使A、B 一起向右做加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)C滑至槽的最低點(diǎn)時(shí)，C、A之間的作用力沿豎直方向，這就是A、B分離的臨界點(diǎn)，因C將沿c槽上滑，C對(duì)A有斜向左下方的作用力，使A向右做減速運(yùn)動(dòng)，而B以A分離時(shí) 廠國(guó) 尹 的速度向右，做勻速運(yùn)動(dòng)。所謂C沿軌道上升到最大高度，并不是C對(duì)地的速度為零，而是與A的相對(duì)速度為零，至于C在題述過(guò)程中所做的功，應(yīng)等于A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)能的增量（實(shí)際上是等于C的重 力所做的功）。利曇古小日*4擊土旦而Q利曇古小日*4擊o “，【、工志，、湛間PA醐】首

4、 焙開II例題4、兩質(zhì)量分別為M1和虬的劈A和B,高度相同，放在光滑水平面上，A和B的傾斜面都是光滑曲面， 曲面下端與水平面相切，如圖所示，一質(zhì)量為m的物塊位于劈A的傾斜面上，距水平面的高度為h。物塊(M 1 + m)(M + m)解析：設(shè)物塊到達(dá)劈A的低端時(shí)，物塊和A的的速度大小分別為和V，由機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得設(shè)物塊在劈B上達(dá)到的最大高度為占，此時(shí)物塊和B的共同速度大小為阿，由機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得5井+站二*E.3故h = 當(dāng)也 h聯(lián)立式得（螞+就/（甄+沖 例題5、如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0kg的平板車，車的上表面右側(cè)是一段長(zhǎng)L=1.0m的水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑

5、R=0.25m的1/4 光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在0/點(diǎn) 相切.車右端固定一個(gè)尺寸可以忽略、處于 鎖定狀態(tài)的壓縮彈簧，一質(zhì)量m=1.0kg的小 物塊緊靠彈簧，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)U=0.5.整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A, g取10m/s2.求：解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；小物塊第二次經(jīng)過(guò)0/點(diǎn)時(shí)的速度大?。蛔罱K小物塊與車相對(duì)靜止時(shí)距0/點(diǎn)的距離.【答案】(1) E = 7.5J ； (2) 2.0m/s； (3) 0.5m解析：(1)平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，故小物塊恰能到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度V共=

6、0設(shè)彈簧解除鎖定前的彈性勢(shì)能為E ，上述過(guò)程中系統(tǒng)能量守恒，則有PE = mgR + pi mgL代入數(shù)據(jù)解得Ep = 7.5J設(shè)小物塊第二次經(jīng)過(guò)O時(shí)的速度大小為vm，此時(shí)平板車的速度大小為Vm，研究小物塊在圓弧 面上下滑過(guò)程，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有0 = mv - MvmgR = mv 2 + Mv2 TOC o 1-5 h z 由式代入數(shù)據(jù)解得vm = 2.0 m/s最終平板車和小物塊相對(duì)靜止時(shí)，二者的共同速度為0.設(shè)小物塊相對(duì)平板車滑動(dòng)的總路程為s， 對(duì)系統(tǒng)由能量守恒有E = p mgs代入數(shù)據(jù)解得s=1.5m則距O點(diǎn)的距離x=sL=0.5m練習(xí)1、如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為M，內(nèi)

7、表面光滑的半球物體放在光滑的水平面上，左端緊靠著墻壁， 一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從半球形物體的頂端的a點(diǎn)無(wú)初速釋放，圖中b點(diǎn)為半球的最低點(diǎn)，c點(diǎn)為半球另一 側(cè)與a同高的頂點(diǎn)，關(guān)于物塊M和m的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法的正確的有(BD ) 務(wù)十m從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，m與M系統(tǒng)的機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒鄉(xiāng)、人m從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，m的機(jī)械能守恒熟燈點(diǎn)m釋放后運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)右側(cè)，m能到達(dá)最高點(diǎn)c當(dāng)m首次從右向左到達(dá)最低點(diǎn)b時(shí)，M的速度達(dá)到最大 練習(xí)2、如圖5 11所示將一光滑的半圓槽置于光滑水平面上，槽的左側(cè)有一固定在水平面上的物塊。今 讓一小球自左側(cè)槽口A的正上方從靜止開始落下，與圓弧槽相切自A點(diǎn)進(jìn)入槽內(nèi)，則以

8、下結(jié)論中正確 的 (C )圖11小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，小球與半圓槽在水平方向動(dòng)量守恒小球自半圓槽的最低點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與半圓槽在水平方向動(dòng)量守恒小球離開C點(diǎn)以后，將做豎直上拋運(yùn)動(dòng)?！痉治鼋獯稹勘绢}的受力分析應(yīng)與左側(cè)沒有物塊擋住以及半圓槽固定在水平面上的情況區(qū)分開來(lái)。圖 5-19從A-B的過(guò)程中，半圓槽對(duì)球的支持力N沿半徑方向指向圓心，而小球?qū)Π雸A槽的壓力N方向相 反指向左下方，因?yàn)橛形飰K擋住，所以半圓槽不會(huì)向左運(yùn)動(dòng)，情形將與半圓槽固定時(shí)相同。但從B-C的 過(guò)程中，小球?qū)Π雸A槽的壓力N方向向右下方，所以半圓槽要向右運(yùn)動(dòng)，因而小球參

9、與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：一 個(gè)是沿半圓槽的圓運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)與半圓槽一起向右運(yùn)動(dòng)，小球所受支持力N與速度方向并不垂直，所以支 持力會(huì)做功。所以A不對(duì)。又因?yàn)橛形飰K擋住，在小球運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，水平方向動(dòng)量也不守恒，即B也不 對(duì)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，它的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度方向如圖5-13，并不是豎直向上，所以此后小球做斜 上拋運(yùn)動(dòng)，即D也不對(duì)。正確答案是：小球在半圓槽內(nèi)自B-C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，雖然開始時(shí)半圓槽與其左側(cè)物塊接觸，但已不擠 壓，同時(shí)水平而光滑，因而系統(tǒng)在水平方向不受任何外力作用，故在此過(guò)程中，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒， 練習(xí)3、如圖所示，帶有1/4圓弧的光滑軌道的小車放在光滑水平地面上，弧形軌道的半徑為R，最

10、低點(diǎn) 與水平線相切，整個(gè)小車的質(zhì)量為M?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧的頂端由靜止開始沿軌道下滑，求 當(dāng)滑塊脫離小車時(shí)滑塊和小車的各自速度。【解析】在m由靜止沿圓弧軌道下滑過(guò)程中，m和M組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用；因此該系統(tǒng)在 水平方向動(dòng)量守恒。在m下滑時(shí)，對(duì)M有一個(gè)斜向左下方的壓力，此壓力的水平分量使M在m下滑時(shí)向左 作加速運(yùn)動(dòng)，直到m脫離軌道飛出。從能量守恒的觀點(diǎn)看，m與M獲得的動(dòng)能均來(lái)自口位置降低所減少的重力勢(shì)能。此時(shí)小車的速度為v2.據(jù)能量守恒:mgRumvj+Mv：設(shè)向右為正方向，m脫離軌道時(shí)的速度為v據(jù)動(dòng)量守恒定律，在水平方向上：0=mV Mv2 由以上兩式解得七二m ：2 R

11、gM2 gRMm + m 2 M * m + M練習(xí)4、如圖1 11所示，質(zhì)量為M,半徑為R的光滑半圓槽第一次被固定在光滑水平地面上，質(zhì)量為m 的小球，以某一初速度沖向半圓槽剛好可以到達(dá)頂端C.然后放開半圓槽，使其可以自由運(yùn)動(dòng)，小球又以同 樣的初速度沖向半圓槽，小球最高可以到達(dá)與圓心等高的B點(diǎn)，(g=10 m/s2)試求：半圓槽第一次被固定時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)后平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程x=?解析 小球在C點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力由于 mg=mv2/R，故有 V=JRg小球由C點(diǎn)平拋y=2R=|gt2 乙x=v，得：x=2R由題意對(duì)第一次過(guò)程據(jù)動(dòng)能定理可知V2 = 5Rg由題意對(duì)第二次過(guò)程，對(duì)m、M系統(tǒng)根據(jù)

12、動(dòng)量守恒、能量守恒得mv=(m+M)V2 TOC o 1-5 h z mgR=jmv2j(m+M)v2，得：另=3 2022M 2答案2R2練習(xí)5、質(zhì)量為M的楔形物塊上有圓弧軌道，靜止在水平面上。質(zhì)量為m的小球以速度v1向物塊運(yùn)動(dòng)。不 計(jì)一切摩擦，圓弧小于90且足夠長(zhǎng)。求小球能上升到的最大高度H和物塊的最終速度v。解析：系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，全過(guò)程機(jī)械能也守恒。刀在小球上升過(guò)程中，由水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：皿二W +心1Mv ；mv 1 = (M + 理卜誨方 H :由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：22解得叩+樨)菖2解v = v全過(guò)程系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，得Me點(diǎn)評(píng)：本題和上面分析的彈性碰撞基本

13、相同，唯一的不同點(diǎn)僅在于重力勢(shì)能代替了彈性勢(shì)能。練習(xí)6、如圖所示，光滑水平面上有帶有1/4光滑圓弧軌道的滑塊，其質(zhì)量為2m，一質(zhì)量為m的小球以速 度vo沿水平面滑上軌道，并能從軌道上端飛出，則：小球從軌道上端飛出后，能上升的最大高度為多大？JH. %滑塊能達(dá)到的最大速度為多大？= 分析：(1)小球在軌道上滑行過(guò)程，小球和滑塊在水平方向上不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，機(jī)械能守 恒也守恒，當(dāng)小球從軌道上端飛出時(shí)，小球與滑塊具有水平上的相同的速度，根據(jù)兩個(gè)守恒列方程求解小 球從軌道上端飛出后，能上升的最大高度.(2)小球滑回軌道，從軌道左端離開滑塊時(shí)，滑塊的速度最大，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)

14、 合求解.解答：設(shè)小球上升到最高點(diǎn)時(shí)，小球和滑塊的水平速度為 ,系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.由動(dòng)量守恒得nmvo=(m+2m)vx所以v3小球上升到最高點(diǎn)時(shí)v y=011忒對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒得* mvo2= (m+2m)vx2+mgh解得h=，.小球從軌道左端離開滑塊時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒，則有：mvmv+2mv21 1 1根據(jù)機(jī)械能守恒，則有：mvo2= mv：+ 2mv：&聯(lián)立可得：v2=32.%所以此時(shí)滑塊的速度大小為二J點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量和機(jī)械能守恒的問(wèn)題，容易出錯(cuò)的地方是認(rèn)為小球上升到最高點(diǎn)時(shí)，滑塊 的速度最大，要注意分析過(guò)程，在小球上滑和下滑的過(guò)程中，滑塊都在加速，則小球滑回軌道，從

15、軌道左 端離開滑塊時(shí)，滑塊的速度最大.練習(xí)7、一質(zhì)量為2m的物體P靜止于光滑水平地面上，其截面如圖所示.圖中ab為粗糙的水平面，長(zhǎng)度 為L(zhǎng)；bc為一光滑斜面，斜面和水平面通過(guò)與ab與bc均相切的長(zhǎng)度可忽略的光滑圓弧連接.現(xiàn)有一質(zhì)量 為m的木塊以大小為v的水平初速度從a點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，在斜面上上升的最大高度為h，返回后在到達(dá)a點(diǎn) 前與物體P相對(duì)靜止.重力加速度為g.求：(1)木塊在ab段受到的摩擦力f； (2)木塊最后距a點(diǎn)的距離s.解析 木塊m和物體P組成的系統(tǒng)在相互作用過(guò)程中遵守動(dòng)量守恒、能量守恒.(1)以木塊開始運(yùn)動(dòng)至在斜面上上升到最大高度為研究過(guò)程，當(dāng)木塊上升到最高點(diǎn)時(shí)兩者具有相同的速度，根

16、據(jù)動(dòng)量守恒，有mvo=(2m+m)v根據(jù)能量守恒，有mv2 = (2m+m)v2+fL+mgh聯(lián)立得三=腎罕=mv2 ；mgh2023L L3L(2)以木塊開始運(yùn)動(dòng)至最后與物體P在水平面ab上相對(duì)靜止為研究過(guò)程，木塊與物體P相對(duì)靜止，兩 者具有相同的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒，有mv=(2m+m)v根據(jù)能量守恒，有112=1(2口+口赤+0+，)聯(lián)立得s=絲二6驊2 o 2v23gh練習(xí)8、如圖所示，在光滑的水平面上，有一 A、B、C三個(gè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，三者質(zhì)量均為m，物體的 ab部分為半徑為R的光滑1/4圓弧，bd部分水平且粗糙，現(xiàn)讓小物體C自a點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小物C到達(dá)b 點(diǎn)時(shí)物體A將與物體B發(fā)生

17、碰撞，且與B粘在一起(設(shè)碰撞時(shí)間極短)，試求：(1)小物體C 剛到達(dá)b點(diǎn)時(shí)，物體a的速度大?。?(2)如果bd部分足夠長(zhǎng)，試用文字表述三個(gè)物體的最 rn t-f . 后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。需簡(jiǎn)要說(shuō)明其中理由。匕/解：(1)設(shè)小物體滑到b點(diǎn)時(shí)，小物塊C的速度為匕，滑塊A的速度為匕，設(shè)水平向右為正方向，那么在 TOC o 1-5 h z 小物塊下滑的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒可得：1211mgR = 2 mV 2 + 2 mV 2小物塊C和滑塊A組成的系統(tǒng)，由水平方向動(dòng)量守恒可得：mV - mV = 03 分由、可得：V = v2 =、涎 即物體a的速度大小為gR3分(2)當(dāng)滑塊A與滑塊B碰撞后粘在一起，且物體A、B、C組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，對(duì) 整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒(2分)但小物體C在bd部分滑動(dòng)時(shí)由于受摩擦力的作用，速度不斷 減小，因?yàn)閎d部分足夠長(zhǎng)，故小物體C最后要停下來(lái)，(3分)由于系統(tǒng)動(dòng)量守恒，且系統(tǒng)水平方向 總動(dòng)量為零，故物體A、B也要同時(shí)停下來(lái)。(2分)練習(xí)9、如圖所示，在光滑水平地面上有一輛質(zhì)量為M的小車，車上裝有一個(gè)半徑為R的光滑圓環(huán).一個(gè)質(zhì)量 為m的小滑塊從跟車面等