空間向量綜合測試含答案

1、空間向量綜合測試一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分 TOC o 1-5 h z .已知A(3, 2, 1) , B(1 , 0, 4),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和|AB是()A. 2, 1, 5,17 B. 2, - 1, 5 ,17 C. 2, 1,- 5 , .17 D. 2 , - 1, - 1 ,17直三棱柱ABC-A1B1C1 中，若 CA= a , CB = b, CC1= c,則 A1B 等于()A . a+ b c B . a b+ c C. a + b + c D. a + b c平面a的法向量U = (1 , 2 , 1),平面B的法向量v = (/ + BD,則|BP|

2、2的值為()A.|C.7D.9AB AC, N宿BC拗邨點(diǎn)ABC-AiBiCi的側(cè)棱與底面垂直, AAi = AB= AC= 1 ,點(diǎn)P在AiBi上，且滿足:11及口圖，將邊長為AiP = ABi,則直線PN與平面ABC所成角B取最大值時(shí)入的值為(1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn) P滿足BP = -BA-?BCBF題號(hào)123456789101112答案、選擇題：本題共 12小題，每小題5分二、填空題：本題共 4小題，每小題5分.13.的棱長為a,則aTb BiC =已知正方體 ABCD -A i BiCiDi在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，已知A(1 , - 2, 0), B(2

3、, 1, .6),則向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為點(diǎn)P是底邊長為2.3，高為2的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則PM PN的取值范圍是 .16.如圖所示,在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，底面是以/ ABC為直角的等腰三角形,AC= 2a,BBi= 3a, D是AiCi的中點(diǎn)，點(diǎn) E在棱AAi上，要使 CE，平面BQE ,則AE =三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （10分）如圖所示，在四棱錐 M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱 AM的長為3,且AM和AB, AD的夾角都是60 N是CM的中點(diǎn)，設(shè) a= AB,c

4、=AM ,試以a, b, c為基向量表示出向量BN,弁求BN的長.18.（12分）四邊形ABCD為矩形,PA,平面 ABCD , PA= AD , M、N分別是PC、AB的中點(diǎn),求證:MN，平面 PCD.折起到 EBD的位置，使平面 EBD，平面 ABD. TOC o 1-5 h z (12分)如圖所示，平行四邊形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4,E將公CBD沿BDA/I/(1)求證：AB DE ;/ / 1若點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，求直線 AF與平面ADE所成角的正弦值./ / I/、 Jr4 Jr/i /! / jr -f JrI I /B(12分)如圖，在四棱錐

5、 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四邊形，PG，平面ABCD ,垂足PF線GE與PC所成角的余弦值； 若F是棱PC上一點(diǎn)，且DF，GC,求PC的值.21 . (12 分)在A ABC 中，AB= 4, A C = 4 迄，/ BAC = 45 以A C 的中線BD為折痕，將4 A BD沿BD折起，構(gòu)成二面角 A-BD-C ,在平面 BCD內(nèi)作CE CD,且CE= ,2,連接DE, AE , AC,如圖所示.(1)求證：CE /平面 ABD; (2)若二面角 A-BD-C的大小為90 求二面角B-AC-E的余弦值.22. (12分)如圖，四邊形 PDCE為矩形，四邊形 ABCD為梯形，平面P

6、DCE，平面 ABCD , / BAD = Z ADC = 90 AB= AD =八CD = 1 , PD=V2.(1)若M為FA的中點(diǎn)，求證： AC /平面 MDE ; (2)求直線FA與平面PBC所成角的正弦值；(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn) Q(除去端點(diǎn))，使得平面QAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為n為 G , G 在 AD 上，且 PG= 4, AG = 3GD , BG GC, GB= GC = 2, E 是 BC 的中點(diǎn).（1）求異面直60 =1 故選 B.空間向量綜合測試答案1?W析：選A.設(shè)P(x, y, z)是AB中點(diǎn)，則OP = 2(OA +)=1 (3 ,2 ,1)

7、 + (10，4) =2 , 1 , 2, dAB = ab(3 1) 2+( 2- 0)2+( 1 4) 2 =17.解析：選D.如圖,AiB = AB AAi = CB CA AAi = CB CA CCi = b ac. 解析：選 C. a_L價(jià) u -L v? uv = 0?入 2+ 4 8= 0?入=塑.解析：選 B.取 AC 中點(diǎn) M,連接 ME , MF,則 ME = *AB = | , 5, 12 , -2,-2 ,所以 EF = MF ME= ( 2, - 3, - 3),故選 B. 解析：選 B.如圖所示,EF = 1AC，所以 EF BA = 1AC ? AB) = *

8、x 2X 2cos.解析：軸、y軸、z選B.以軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長為1,貝U A(0,0), C(1 , 1, 0), B(1 , 0, 0),D(0 , 1 , 0) , Ai(0 , 0 , 1) , E 2 , , 1，所以 CE= - 2 ,AC= (1, 1, 0), BD = ( 1, 10), A/D= (0, 1, 1), AaA=(0, 0, 1).顯然 CE BD=2 i+0=0，所以 CE BD,即 CE BD.解析：選A.因?yàn)閍 / b且a豐0,所以 b=,即(x+ 1)m + 8n + 2yp= 3 ?m 2 ?n 4?p.又因?yàn)閙 , n ,

9、 p不共面，所以寧=-% =斗,3所以 x= 13, y = 8.Ci& 解析：選 C.由于 AO1 = AA1 + A1O1 = AA1 + 2(A1B1 + A1D1) = AA1+ -(AB + AD),而 AC= AB+ AD ,1CD =則 AOiA C= AAi+ 1 (AB + AQ (AB + AD) = 1 (AB+ AD) 2 =舟(潔 + AD2) = 1.9瀚析：選A.過P點(diǎn)作PH，I于H點(diǎn)，則 PH = PA+AH,由 AH / n,可設(shè) AH = ?n=(入 0, 2 /).所以 PH = (- 1 , - 1 , 1) + (人 0, 2 ?) = ( 11, 1

10、 , 2 11 ),由PH，n,得入一 1 + 2 (2入- 1) = 0,解得入=魯所以PH =一戈一 1, .因此點(diǎn)P到I的距離為|PH| =+ 1 + 1 = 嚴(yán)，選 A.25255n _L AB 4x 2y+ 3z= 0,即 Tx+y =0,設(shè) y.解析：選B.設(shè)平面ABCD的法向量為n= (x,y, z),則Tn AD警，所以 h=x2V26=U n AP cos n, AP =InflAPI327x2726=4,貝 U n = h 4 - J 所以 372,故選B.解析：選 D.由題可知 |BA|= 1, |BC|= 1 , |BD|= 2.BA, BD = 45 =45 =60所

11、以 |BP|2= (*BA 2BC + BD) 2= 4 晶2+ 4BC + BD2- 2BA BC + BA BD - BC BD = 4 + 寸 + 2 一 ?x1x1 x1+ 1x-2了仆 2X 十 4.解析:選A. p SU如圖，分別以AB,AC,晶1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則P (入0,1),N ?, 0T 11PN =(2入2, 1).易得平面 ABC的一個(gè)法向量 n = (0, 0, 1),則直線PN與平面ABC所成的 角B滿足：sin = |cos PN, n | =十上，于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而灰0, n,一 = 2ax 2ax cos 60 = a

12、 .答案：2 a14解析：設(shè)平面xOz的法向量為n = (0, t, 0)(t十0).又AB= (1, 3,6),所以cos n, AB jnjAB-=蠱，因?yàn)閚, Ab ? 0, n,所以 sin |n| |AB|1 1 215解析：由題意知內(nèi)切球的半徑為1 ,設(shè)球心為O,則PM PN = (PO+ OM) (PO + ON)= OP +PO ?DM + ON) + OM ON = |PO|2-1.因?yàn)?K I5P| |= |n Af1 =一=八八| 2x 2 28|n|AF| 2入 2 220.解：(1)以G點(diǎn)為原點(diǎn)，GB, GC, GP所在直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

13、貝 U B (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , P (0, 0, 4),故 E (1, 1, 0) , GE= (1 , 1, 0) , PC = (0,GE PC =2=血因?yàn)閏osGE, PC1品|PC 2 10所以GE與PC所成角的余弦值為瑞？(2)因?yàn)?GD = 4 乙=1_2, 2 0 /0、2, 4).設(shè) F(0, y, z),則 DF = (0, y, z)|, |, 0= |, y 3, z ?因?yàn)?DF GC,所以 DF GC = 0,即 3, y - 2, z (0, 2, 0) = 2y- 3 = 0, D = 4 2, 22, 4),所以 z= 1,故

14、F 0, 3, 1 ,又點(diǎn)F在PC上，所以PF = PC,即0, 2, z 4 =3,3/5所以 PF = 0, 2,3 , FC = 0, 2,1 J,所以 =3.221. 解：(1)證明：由 AB= 4, AC= 4 jA,/ BAC = 450 得BC= 4,所以 A,BC 為等腰直角三角形，又D為AC的中點(diǎn)，所以 BD AC.所以折起后BD CD.又CE CD,所以CE/ BD ,因?yàn)镃E?平面 ABD , BD?平面 ABD,所以 CE /平面 ABD.由二面角 A-BD-C的大小為90 AD BD,得AD，平面BCD ,由 知BD CD ,于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DB , DC

15、, DA所在直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)F為AC的中點(diǎn)，連接DF,貝 U DF，AC,且 DF = 2.因?yàn)镃E CD , AD，平面BCD ,所以CE，平面 ACD ,所以DF CE ,所以DF，平面 ACE.易求得 BD = CD = AD = 2 2 所以 D(0, 0, 0), B(2 .2, 0 , 0), C(0, 2 .2, 0), A(0, 0, 2 .2),F(0,22).所以平面 ACE的一個(gè)法向量為 DF = (0, .2, ?, 2).又 AB= (2 2, 0,- 2 2), AC = (0 , 2 2 , - 2 2),設(shè)平面ABC的法向

16、量為 n= (x, y, z),貝U n AB= 0, n AC = 0,n DF _V6所以x = y= z, M n= (1, 1, 1)為平面ABC的一個(gè)法向量.所以cosn, DF T 3 , |n|DF|B-AC-E的余弦橢搠圖形可知二面角22.解：證明：如圖，在矩形 PDCE中，設(shè)PC交DE于點(diǎn)N,則點(diǎn)N為PC的中點(diǎn).連接MN.在公APC中，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn) N為PC的中點(diǎn)，所以 AC/ MN.又MN?平面 MDE , AC?平面 MDE ,所以 AC /平面 MDE.(2)由/ ADC = 90 得AD CD,由平面PDCE，平面 ABCD ,且平面 PDCE門平面 ABCD

17、 = CD,得 AD，平面PDCE ,所以AD PD.在矩形PDCE中，PD，CD,貝U DA, DC, DP兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DP所在的直線分別為 x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0, 0), A(1, 0, 0), P(0, 0, .2), B(1, 1, 0), C(0, 2, 0),所以 AP= (- 1, 0,.2), CP = (0, 2,.2), BC = (- 1 , 1, 0).CP2y+ 2Z= 0,取 n= (1x+ y= 0 、B,則麗e=畬=普|AP|n|BC設(shè)直線PA與平面PBC所成角為 設(shè)平面PBC的法向量為n= (x, y

18、, z),所以直線FA與平面PBC所成角的正弦值為(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，則可設(shè) CQ= QP(0 X1),得Q(0, 2 2入 2爪又 DA = (1, 0, 0), DQ = (0, 2 2 入羽 3,設(shè)平面 QAD 的法向量為 n 產(chǎn)(xi, y，zi),DA n 1= Xi= 0由,DQ n1 =( 22 X) . 2 入 z= 0n由平面QAD與平面PBC所成的銳二面角為3令 y1=A2 X 貝 U n1 = (0,迄人 2 X 2).n |n1 n| 得 cos n=2X ,2 X+X4 ( X 1) 2= 2,所以=3 或 X=1(舍去)，缶所以所求點(diǎn)Q為線段CP上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，即在線段PC上存在點(diǎn)Q滿足條件.4.( 2018全國卷川)如圖，邊長為2的正方形ABC