振動力學結構力學課件

1、振動力學參考書目： 1. 王偉等振動力學與工程應用,鄭州大學出版社, 2008 2. 胡少偉等結構振動理論及其應用, 中國建筑工業(yè)出版社, 2005課程特點與學習方法 課程性質: 力學專業(yè)課 課程特點: 理論繁雜、工程應用性強;與多門學科緊密相關 數(shù)學基礎: 微積分、微分方程、線性代數(shù)、復變函數(shù)、積分變換、計算方法、級數(shù)等; 力學基礎: 理論力學、分析力學、材料力學、彈性力學、結構力學、有限元等。第1章 導 論振動的概念振動研究的問題及其分類振動分析的力學模型振動問題的研究方法1. 什么是振動 振動Vibration，就是物體在靜平衡位置附近所作的往復運動。 我們只研究物體在靜平衡位置附近所作

2、的往復微小彈性運動。1.1 機械振動概述2. 機械振動現(xiàn)象 機械振動是自然界非常普遍的運動現(xiàn)象，廣泛存在于工程技術和日常生活中。 如: 日常生活中，心臟的跳動、鐘擺的擺動、琴弦的振動、車箱的晃動、大海波濤橋等等; 工程技術領域，橋梁與建筑物的振動、飛行器與船舶的振動、機床與刀具的振動、各種動力機械的振動、以及地震、風振、噪聲等等，都是屬于機械振動的范疇。3.產(chǎn)生振動的原因 一是由外界干擾引起，二是結構本身固有的原因引起。4. 研究振動問題的目的 工程和日常生活中，振動現(xiàn)象和振動問題既有有用的一面也有不利的一面。 利用振動原理設計出很多常用的物品和機械結構，如擺鐘、振動篩、振動物料傳送帶、振動打

3、樁機械等等。 而大多數(shù)情況下, 振動會產(chǎn)生不良、甚至嚴重、災難性的后果。 由于振動, 降低了機器的動態(tài)精度和其它使用性能; 由于振動, 機器在使用過程中產(chǎn)生巨大的反復變動的荷載, 導致使用壽命的降低; 有時候振動甚至釀成災難性事故, 如大橋因共振而倒塌, 煙囪因風振而傾倒, 飛機因顫振而墜落等等。5. 研究振動問題的總目標 研究振動產(chǎn)生的原因和它的運動規(guī)律; 尋求控制和消除振動的方法; 振動檢測，分析事故原因及控制環(huán)境噪聲; 振動技術的應用1. 振動問題中的名詞概念 振動系統(tǒng)：在振動問題中所研究的對象。如機器或結構物等。 激勵或輸入：外界對振動系統(tǒng)的作用或引起機器運動的力。 激勵或輸入是隨時間

4、變化的，將引起振動的發(fā)生。1.2 振動系統(tǒng)及參量1.3 振動系統(tǒng)的分類及研究方法 確定性激勵:可用時間的確定函數(shù)來描述的激勵; 隨機激勵:不能用時間的確定函數(shù)表示的激勵。隨機激勵具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，可以用隨機函數(shù)和隨機過程描述。 響應或輸出：機器或結構在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為。 確定性激勵下的響應不一定是確定的，但隨機激勵下的響應一定是隨機的。2. 工程振動分析的類別 振動分析：研究振動系統(tǒng)、激勵(輸入)和響應(輸出)三者之間的關系。 理論上講，只要知道兩者就可以確定第三者。這樣，工程振動分析所要解決的問題可以歸納為下面幾類。（1）響應分析 已知系統(tǒng)和輸入?yún)?shù)，求系統(tǒng)響應。包括位移、速度、

5、加速度和力的響應。這為計算和分析結構的強度、剛度、允許的振動能量水平等提供了依據(jù)。（2）系統(tǒng)設計 已知振動系統(tǒng)激勵(輸入)和所要滿足的動態(tài)響應(輸出)的要求，設計合理的系統(tǒng)參數(shù)。對機器和結構的設計而言，這類問題更為重要。 通常系統(tǒng)設計要依賴于響應分析，所以在實際工作中，響應分析和系統(tǒng)設計這兩個問題是交替進行的。（3）系統(tǒng)識別 已知振動系統(tǒng)的激勵(輸入)和響應(輸出)求系統(tǒng)參數(shù),以便了解系統(tǒng)的特性。 系統(tǒng)識別包括物理參數(shù)識別(確定系統(tǒng)的物理參數(shù):質量、剛度、阻尼等)和模態(tài)參數(shù)識別(確定或估計系統(tǒng)的固有特性:固有頻率、振型等)。（4）環(huán)境預測 在已知系統(tǒng)響應(輸出)和系統(tǒng)參數(shù)的情況下確定系統(tǒng)的輸入

6、,以判別系統(tǒng)的環(huán)境特征。 對結構進行振動分析，首先要把所研究的對象以及外界對它的作用和影響簡化為理想的力學模型。這種力學模型不但要簡單，而且在動態(tài)特性方面，應盡可能地與原始結構等效。 實際工程結構力學模型的建立, 是振動分析中很關鍵很難的一步。本課程只學習一些基本的概念。 振動系統(tǒng)的力學基本模型中包括三個基本“元件”：質量、彈性和阻尼。3.振動分析的力學模型 質量:和理論力學的概念一樣，是物體慣性大小的度量。在振動模型中簡化為剛體; 彈簧:表示振動系統(tǒng)彈性的理想模型。簡化為無質量的線彈性元件，即彈簧彈性力的大小與彈簧兩端點的相對位移成正比; 阻尼:任何振動在沒有外界干擾(激勵)時都會逐漸消失，

7、因此，系統(tǒng)存在一種阻礙振動持續(xù)進行的阻力，這種阻力稱為阻尼。簡化為無質量的阻力元件。阻尼力的分析比彈簧力的分析要復雜得多。 彈簧表示力與位移的關系;阻尼表示力與速度的關系;質量表示力與加速度的關系。4.振動過程的機理分析 任何結構，之所以能產(chǎn)生振動，是因為它本身具有質量和彈性。 從能量關系看, 質量可以儲存動能, 彈性可以儲存勢能。當外界對系統(tǒng)作功時, 質量就吸收動能而具有運動速度，進而發(fā)生位移，使彈性元件儲存變形能, 因而就具有使質量恢復原來狀態(tài)的能力。 這樣，能量不斷地變換就導致系統(tǒng)質量的反復運動（振動）。5. 振動系統(tǒng)的分類（1）按產(chǎn)生振動的輸入 (激勵) 特性分類 分為自由振動、強迫振

8、動和自激振動。 自由振動:系統(tǒng)受到初始激勵作用后，僅靠其本身的彈性恢復力“自由地”振動，其振動的特性僅決定于系統(tǒng)本身的物理特性(質量和剛度);（如擺鐘） 受迫振動或稱強迫振動:系統(tǒng)受到外界持續(xù)的激勵作用而“被迫地”進行振動，其振動特性除決定于系統(tǒng)本身的物理特性外，還決定于激勵的特性; 工程中的大部分振動都屬于此類振動(振動機械、轉子偏心引起的振動等)。 自激振動：在系統(tǒng)自身控制的激勵作用下發(fā)生的振動。在適當?shù)姆答佔饔孟拢到y(tǒng)會自動地激起定幅振動,一旦振動被激起,激勵也隨之消失。 例如：橋梁受風載作用后激發(fā)的振動; 電線在風載作用線的舞動等。（2）按振動的輸出特性分類 分為簡諧振動、非簡諧振動和

9、隨機振動。 簡諧振動與非簡諧振動：是否可以用簡單的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表述其運動規(guī)律; 隨機振動:不能用簡單函數(shù)或簡單函數(shù)的組合來表述其運動規(guī)律，只能用統(tǒng)計的方法來研究其規(guī)律的非周期性振動。（3）按振動系統(tǒng)的自由度數(shù)目分類 單自由度、多自由度和彈性體的振動。（4）按振動微分方程或系統(tǒng)的結構參數(shù)特性分類 線性振動:振動系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性恢復力分別與加速度、速度、位移成線牲關系，能夠用常系數(shù)線性微分方程表述的振動; 非線性振動:振動系統(tǒng)的阻尼力或彈性恢復力具有非線性性質,只能用非線性微分方程來表述。（5）按振動的周期性分類 周期振動系統(tǒng)、非周期振動(瞬態(tài)振動)系統(tǒng)。 簡諧振動屬于周期性振動,

10、 非簡諧振動也可能是周期性振動。6.振動問題的研究方法 解決振動問題的方法有理論分析、數(shù)值模擬與計算、實驗研究等。 本課程主要學習振動的基本理論與分析方法，為進一步解決實際振動問題和開展研究工作打下良好的基礎。第2章 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng): 可以用一個獨立坐標來確定系統(tǒng)的位置及其運動規(guī)律的振動系統(tǒng);單自由度線性系統(tǒng)的振動是最簡單的振動系統(tǒng);許多實際問題可以足夠精確地簡化為單自由度振動系統(tǒng);單自由度振動系統(tǒng)的一些概念、特征和研究方法，是研究復雜振動系統(tǒng)的基礎。2.1 引 言 根據(jù)振動系統(tǒng)結構形式的不同，建立振動微分方程的方法也不同，主要采用牛頓定律、動力學基本定理（動量定理、動能定理

11、、動量矩定理）以及拉格朗日方程等。振動微分方程 (P6-20)2.2 自由振動系統(tǒng)2.2 自由振動系統(tǒng)m-k系統(tǒng)的自由振動 (P6) m-k系統(tǒng)雖然非常簡單，但卻是許多實際結構振動問題的力學模型。 已知質量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。取質量的靜平衡位置為坐標原點, 當重物偏離 x 時,利用牛頓定律可得到運動微分方程：2.2 自由振動系統(tǒng) 扭轉振動 (P9) 圓盤在軸的彈性恢復力矩作用下在平衡位置附近作扭轉振動。設q為圓盤相對靜平衡位置轉過的角度, J為圓盤對軸的轉動慣量, kt為使軸產(chǎn)生單位轉角所需施加的扭矩(即軸的扭轉剛度)。則2.2 自由振動系統(tǒng)復擺(P12) 設物體對懸掛點O的轉動慣量為J

12、O，利用定軸轉動微分方程可得到用轉角f表示的轉動微分方程:2.2 自由振動系統(tǒng)純滾動圓盤(P15) 已知m、r、R，利用功率方程(動能定理)或拉格郎日方程可得到用角度f 表示的運動微分方程:2.2 自由振動系統(tǒng)梁的橫向振動 質量為m的重物放在簡支梁的中部，不計梁的質量。設梁長為l，材料的彈性模量為E，截面慣性矩為I。則利用材料力學的概念可得到：2.2 自由振動系統(tǒng)dst振動微分方程的統(tǒng)一形式 比較前面幾種不同系統(tǒng)的振動微分方程2.2 自由振動系統(tǒng)可以寫成統(tǒng)一的數(shù)學形式 meq和keq分別稱為等效質量和等效剛度，x為廣義坐標。為方便起見，以后將等效質量和等效剛度直接寫為m和k。則方程變?yōu)椋?因此

13、只討論此方程的解即可。2.2 自由振動系統(tǒng)1. 方程的解 設 振動微分方程的解(P6)則方程變?yōu)?通解為 或 2.2 自由振動系統(tǒng) 設系統(tǒng)的初始條件為：t0時，xx0，則可確定上述解中的常數(shù)為：2.2 自由振動系統(tǒng)2. 概念與名詞(P6-7) 一階線性振動微分方程的解是時間 t 的簡諧函數(shù)，因此這種振動為簡諧振動。 方程的解中wn只決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)m和k，而與系統(tǒng)的初始條件無關，是系統(tǒng)本身所固有的特性，所以稱為固有頻率，或稱圓頻率或角頻率。 方程解中的A稱為振幅，是質量偏離靜平衡位置的最大距離; f 稱為初相位。2.2 自由振動系統(tǒng) 從方程的解中還可以看出，系統(tǒng)屬于周期振動，振動的周期為

14、周期是系統(tǒng)振動一次所需要的時間，單位為秒（s）。 周期的倒數(shù)稱為頻率，是系統(tǒng)每秒鐘振動的次數(shù),單位為1/秒(1/s)或赫茲(Hz)。記作 f2.2 自由振動系統(tǒng) 固有頻率wn和頻率 f 只相差常數(shù)2p，因此經(jīng)常通稱為固有頻率。是振動分析中極其重要的參數(shù)。 顯然2.2 自由振動系統(tǒng) 因此wn的物理意義是在2p時間內振動的次數(shù)，單位為弧度/秒(rad/s)。 圓有頻率、振幅和初相位是簡諧振動的三個重要特征量。1. 直接計算法 即直接利用固有頻率的公式進行計算。 求出振動系統(tǒng)微分方程后，利用等效剛度和等效質量，即可求出固有頻率：固有頻率的計算2.2 自由振動系統(tǒng)2. 靜位移方法(P7) m-k系統(tǒng)是

15、所有一階線性微振動系統(tǒng)的模型，利用此模型得出的結論具有一般性。 質量在靜平衡位置時彈簧的位移為則固有頻率為2.2 自由振動系統(tǒng)dst復擺系統(tǒng)的固有頻率 用轉角f表示的轉動微分方程:mg則固有頻率:2.2 自由振動系統(tǒng)純滾動圓盤系統(tǒng) 用角度f 表示的運動微分方程:則固有頻率:2.2 自由振動系統(tǒng)扭轉振動系統(tǒng) 轉動方程為則固有頻率:2.2 自由振動系統(tǒng)梁的橫向振動系統(tǒng) 利用振動方程固有頻率:或利用材料力學公式計算出靜位移:固有頻率:2.2 自由振動系統(tǒng)dst 對無阻尼自由振動系統(tǒng)，能量（機械能）是守恒的。設系統(tǒng)的動能和勢能分別用 T 和 V 表示，則能量方程為 T+V常數(shù)或2.3 能量法2.3 能

16、量法 系統(tǒng)在靜平衡位置的速度最大，動能也最大，勢能取為0位置; 在質量偏離靜平衡位置最大時，速度為0，動能也為0，而勢能達到最大，利用能量守恒關系得到 TmaxVmax 同時還有下面的關系 利用上面兩式可以直接求固有頻率。2.3 能量法 例 利用能量法求純滾動圓盤系統(tǒng)作微幅振動的固有頻率。2.3 能量法 一般不考慮彈性元件的質量對振動系統(tǒng)的影響，當這些質量不可忽略的時候，“瑞利法”的思想是：將這些彈性元件所具有的多個集中質量或分布質量簡化到系統(tǒng)的集中質量上去，從而變成典型的單自由度振動系統(tǒng)。 遵循的原則是：簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等，但并不考慮重力勢能的影響。這種簡化只是一種近似方法，

17、但誤差不大。2.4 瑞利法2.4 瑞利法 P17例2-4-1 質量-彈簧系統(tǒng)，集中質量為m，彈簧長度為l，剛度為k，質量為m1，求考慮彈簧質量影響時的固有頻率。2.4 瑞利法dstlsds題2.13(a) 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。 （與P15例2-3-1對比）舉 例單 自 由 度 自 由 振 動 舉 例 用定軸轉動微分方程，能量法 題2.15 求圖示系統(tǒng)微幅振動的微分方程（m2視為均質圓盤）。作業(yè)：T2.1，4，13舉 例單 自 由 度 自 由 振 動 舉 例用能量法 無阻尼系統(tǒng)振動過程中能量守恒，振幅保持不變。而實際情況并非如此，必須考慮阻力對振動過程的影響。 實際阻力的形式很多，有滑動摩擦表

18、面的阻力、空氣或流體阻力、彈性材料的內摩擦阻力等，因此阻力的大小變化規(guī)律也各不相同。 阻力大小與速度成正比的阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼。這是最簡單的情況。2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)1. 振動微分方程及其解（P21） 以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系，可得系統(tǒng)的運動微分方程 其中c為粘性阻尼的比例常數(shù)，稱為粘性阻尼系數(shù)。mgFkFc2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)令阻尼比為則方程可寫為令其解為代入方程得到此特征方程的兩個根是2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 不同的阻尼比x，對應的解的形式不同，運動性質也不同。2. 解及運動形式的討論（P22-26）（1）x 1（大阻

19、尼情況） 此時特征方程有兩個不同的實根，通解為2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)給出初始條件：t0時則可確定系數(shù)B和D2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 這種情況對應的運動是一種衰減運動，但不是我們所關心的振動形式。設x00，v00，則運動圖形大致如下。2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)（2）x1（臨界阻尼情況） 此時特征方程有重根，通解為利用初始條件確定常數(shù)為 此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，記為cc2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 臨界阻尼情況也是一種非振動形式的衰減運動，按不同的初始條件其運動圖形如下。2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)（3）0 x 1（小阻尼情況） 此時特征方程有一對共軛復根，通解為或寫

20、為利用初始條件確定出常數(shù)2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 解中有兩個因子，一個是衰減的指數(shù)函數(shù) ,它將使振幅越來越小，直至振動最終消失;2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 另一個是正弦函數(shù) ， 它表示系統(tǒng)以相同的周期通過平衡位置。 因此系統(tǒng)呈現(xiàn)為一種衰減形式的等周期振動形式。2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 單自由度粘性阻尼系統(tǒng)在小阻尼情況下的衰減振動是我們最為關心的振動形式。這種衰減振動具有下列特性：（1）振幅衰減 由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以幾何級數(shù) 快速衰減;（2）等時性 系統(tǒng)仍以相同的周期通過平衡位置;2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng)（3）振動頻率變小，周期變長 此時系統(tǒng)振動的頻率

21、和周期為： 因此：衰減振動的固有頻率比無阻尼系統(tǒng)的固有頻率小，振動周期變大，但影響不大，特別是當阻尼很?。▁1）時，可以忽略阻尼對振動頻率和周期的影響。2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng) 振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅的比值來表示，稱為衰減率或減幅率或減縮率；也可以用衰減率的自然對數(shù)來表示，稱為對數(shù)衰減率。2.6 對數(shù)衰減率2.6 對數(shù)衰減率利用前面給出的解可得到衰減率為對數(shù)衰減率為2.6 對數(shù)衰減率 若用X0表示系統(tǒng)最初的振幅，經(jīng)過n次循環(huán)后的振幅為Xn，則對數(shù)衰減率又可以表示為證明：相乘得則即2.6 對數(shù)衰減率1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率 題2-16 求圖示系統(tǒng)振動的微分方程和固有頻率（不計桿

22、的質量，c為黏性阻尼）。1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率 題2-18 圖示系統(tǒng)，在空氣中振動周期為T1，在液體中振動周期為T2。試證明液體的粘性阻尼系數(shù)為作業(yè)：T2-8、17小 結3. 無阻尼自由振動方程的解方程或通解為 或 小 結1. 名詞與概念 固有頻率,振幅,周期,相位角；線性阻尼系數(shù),臨界阻尼系數(shù)，阻尼比；衰減率與對數(shù)衰減率；等效質量,等效剛度。2. 建立振動微分方程的方法 牛頓定律、動能定理（功率方程、機械能守恒）、定軸轉動微分方程等。本 章 小 結小 結（2）靜位移法 4. 固有頻率的確定（1）按定義直接計算（3）能量法 （無阻尼自由振動系統(tǒng)）以及小 結5. 考慮彈性元件質量時的等效質

23、量 將這些彈性元件所具有的多個集中質量或分布質量簡化到系統(tǒng)的集中質量上去，簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等。小 結或小 結6. 黏滯阻尼自由振動系統(tǒng)的解（1）方程或阻尼比（2）小阻尼解小 結（3）臨界阻尼系數(shù)（z1時）（4）衰減振動頻率與周期（5）對數(shù)衰減率小 結教材例題與習題：例 2.2.12.2.3，2.3.12.3.2 2.4.12.4.2，2.5.2，2.5.3，2.6.1 2.6.2，2.6.4習題 2-1，3，4，8，9，1113， 1518第3章 單自由度系統(tǒng)強迫振動 系統(tǒng)在外部激勵作用下的振動稱為受迫振動或強迫振動。 自由振動只是系統(tǒng)對初始擾動(初始條件)的響應。由于阻尼的存

24、在,振動現(xiàn)象很快就會消失。 要使振動持續(xù)進行，必須有外界激勵輸入給系統(tǒng)以補充阻尼消耗的能量。 所謂諧和激勵就是正弦或余弦激勵。3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 設激勵為F(t)=F0sinwt，這里w為激振頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比x 可得到齊次方程的通解上章已經(jīng)給出。設其特解為:代入方程確定系數(shù)X0和f為：其中：為頻率比。3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動3.1.1 非齊次方程的特解（P33-34）穩(wěn)態(tài)響應分析(P34-39)1. 穩(wěn)態(tài)響應xp=X0sin(wtf)的性質(P34)（1）在諧和激振條件下,響應也是諧和的,其頻率與

25、激振頻率相同;（2）諧和激勵強迫振動的振幅X0和相位角決定于系統(tǒng)本身的物理性質和激振力的大小和頻率，與初始條件無關;3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動2. 幅頻特性曲線（P35） 對于穩(wěn)態(tài)響應，定義動力放大系數(shù)R為響應的振幅X0與最大干擾力F0所引起的靜位移的比值： 以x為參數(shù)，畫出R-r 曲線即幅頻特性曲線，表明了阻尼和激振頻率對響應幅值的影響。3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動（3）強迫振動振幅X0的大小，在工程實際中具有重要的意義。如果振幅超過允許的限度，構件就會產(chǎn)生過大的交變應力而導致疲勞破壞，或影響機械加工或儀表的測量精度。因此在振動工程中必需控制振幅的大小。3.1

26、單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動Rr討論： r1時3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動Rr振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的慣性。這就是高速旋轉的機器正常工作時運轉非常平穩(wěn)的原因。 r1（激振頻率接近固有頻率）時，R迅速增大，振幅很大，這種現(xiàn)象稱為共振;3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動Rr 阻尼比x的影響: 阻尼越小，共振越厲害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。 共振位置：將R對r求導數(shù)令其等于0得3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動而r1時 由此看出：當x很小時的R和Rmax相差很小，所以在工程中仍認為當wwn 時發(fā)生共振。 以x為

27、參數(shù),畫出f-r曲線即相頻特性曲線,表明了阻尼和激振頻率對相位差的影響。3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動f3. 相頻特性曲線（P37）4. 品質因子（P36) 工程上通常把共振時的動力放大系數(shù)稱為品質因子，記為Q： 在頻率響應曲線上用 的一條水平直線在共振區(qū)附近截出兩點q1、q2，對應于這兩點的激振頻率為w1、w2， q1、q2 稱為半功率點，w1、w2 之差稱為系統(tǒng)的半功率帶寬。3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動討論： 從圖中可以看出,無阻尼情況下的曲線是由f0和fp 的半直線段組成,在r1處發(fā)生間斷;3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動f 有阻尼時f為在0p之間變化

28、的光滑曲線,并且不論f 取值多少,當r1時都有fp/2,即曲線都交于(1,p/2)這一點。這一現(xiàn)象可以用來測定系統(tǒng)的固有頻率; r 時, fp, 激振力與位移反相, 系統(tǒng)平穩(wěn)運行; r 0時, f0, 激振力與位移同相, 近似靜位移.3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動w1/ wn 1 w2/ wnrRq2q1 求出動力放大系數(shù)對應于兩點q1、q2的兩個用x 表示的根。由得當x5或x1.414時，傳遞率減小，傳遞的力小于激振力，且阻尼越小，效果越好，但若阻尼過小，經(jīng)過共振區(qū)時將產(chǎn)生過大的振動。振動向基礎的傳遞 【例】汽車在5 m/周的簡諧波形道路上行駛，已知汽車空載質量為250 kg，滿

29、載質量為1000 kg，k=350 kN/m，滿載時阻尼比x10.5，車速v=100 km/h，求滿載和空載時汽車的振幅比。 解：基礎的激振頻率振動向基礎的傳遞阻尼系數(shù)振動向基礎的傳遞則空載時的阻尼比為頻率比1.87（滿載）0.93（空載）振動向基礎的傳遞振幅（滿載）（空載）所以滿載和空載時車輛的振幅比為 P55例3-3-2 彈簧質量系統(tǒng)放在箱子中,箱子從高h處自由落下。求（1）箱子下落過程中,質量塊相對箱子的運動x;（2）箱子落地后傳到地面的最大壓力。振動向基礎的傳遞 解：（1）設m的絕對運動為x1，箱子的運動為y，則x1x+y，運動方程為即利用杜哈美積分得響應：振動向基礎的傳遞 （2）落地

30、后x和x1相同，以剛接觸地面時m的運動為初始條件做自由振動。落地時間和箱子的速度為此時m的運動情況：振動向基礎的傳遞 因此落地后自由振動的振幅為最大壓力：振動向基礎的傳遞 題3-36 重量為3000 N的機器，以剛度系數(shù)600 N/cm及阻尼比x0.2的阻尼器支撐，若在機器上加以按正弦規(guī)律變換的干擾力，其頻率與機器轉速相同。求：（1）如果傳遞到基礎上的力大于干擾力力幅，機器轉速應如何？（2）若傳遞力的最大值小于干擾力力幅的20，機器的轉速應如何。振動向基礎的傳遞提示 固有頻率為:（1）力傳遞系數(shù)應大于1，則：解得：（2）力傳遞系數(shù)應小于20即：作業(yè)：3-23振動向基礎的傳遞第5章 兩個自由度系

31、統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)振動問題，在我們所討論的范圍內是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標間存在相互“耦合”現(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內容之一就是如何將方程“解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況。 建立運動微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大。5.2.1 運動微分方程（P104-106）5.2 兩自由度系統(tǒng)的振動方程剛度矩陣和質量矩陣5.2 振動方程 標準的m-k-c系統(tǒng)，對每一質量利用牛頓定律得：坐標原點仍取在靜平衡位

32、置寫成矩陣形式5.2 振動方程式中：5.2 振動方程 M稱為系統(tǒng)的質量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激勵列陣。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對角線元素不為0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨立方程。5.2 振動方程5.2.2 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣 剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其kij的力學意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設j坐標處的位移為1，其它各坐標的位移均為0。5.2 振動方程5.2.3 慣性影響系數(shù)與質量

33、矩陣 質量矩陣M中的元素稱為慣性（質量）影響系數(shù)，其mij的力學意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設j坐標處的加速度為1，其它各坐標的加速度均為0。5.2 振動方程 例：用剛度影響系數(shù)和慣性影響系數(shù)求標準m-k-c系統(tǒng)的剛度矩陣和質量矩陣。5.2 振動方程 柔度影響系數(shù)Rij的力學意義是：在j坐標處作用單位廣義力，引起i坐標處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R。 由材料力學的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩陣是對稱的。 5.3 位移方程5.3 兩自由度系統(tǒng)的位移方程柔度矩陣5.3.2 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣(P114-

34、117) 例：用柔度影響系數(shù)求標準m-k-c系統(tǒng)的柔度矩陣。5.2 振動方程 以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對標準m-k-c振動系統(tǒng)，質量m1和m2上的靜位移可以表示為xst=RF，而系統(tǒng)的動位移為這就是系統(tǒng)振動方程的位移形式。5.3 位移方程5.3.1 位移方程(P113-114) 因為R為正定矩陣，于是位移方程又可寫為與力形式的方程比較知 K=R1，R=K1 即對于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣。5.3 位移方程 【例5-3-1】求系統(tǒng)的振動微分方程。已知梁的抗彎剛度為EI。 解：用影響系數(shù)法。由材料力學撓度公式 5.3 位移方程則 而 則方程為 5.3 位移方程若寫為力方程形式 則方程為

35、下面用影響系數(shù)法直接求K:5.3 位移方程 設x1=1,x2=0，則由材料力學公式有：同理有 求出各個剛度系數(shù)即組成剛度矩陣K。 作業(yè)：5-2，65.3 位移方程 對于非標準的m-k-c多自由度振動系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動力學方法建立運動微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程為：用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方程拉格朗日方程 其中：T為系統(tǒng)的動能，V為勢能，Qi為非有勢力的廣義力，drk為與非有勢廣義力Fk對應的廣義虛位移。 實際計算廣義力Qi時，通常假設與xi對應的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。（i1，2）拉格朗日方程 【例】用拉格郎日方程推導兩自由度m-

36、k-c系統(tǒng)微振動微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置。 拉格朗日方程靜平衡位置：則：拉格朗日方程拉格朗日方程計算廣義力，設m1產(chǎn)生虛位移dx1，而dx20，則 同樣設m2產(chǎn)生虛位移dx2，而dx10，則 拉格朗日方程代入拉格朗日方程 得整理寫成矩陣形式即可。 拉格朗日方程 【T5-30】用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置 x1x2D1D2而 則 拉格朗日方程所以 拉格朗日方程計算廣義力，設只有x1處產(chǎn)生虛位移dx1，則 同樣設x2處產(chǎn)生虛位移dx2，則 代入拉格朗日方程即可。 作業(yè)：T5-29拉格朗日方程 只給出公式，不作嚴格推導。1.

37、 質量矩陣的形成 系統(tǒng)的動能可以表示為能量法用能量法確定振動系統(tǒng)的M、K、C記則 M即為所求的質量矩陣，顯然為對稱陣。2. 剛度矩陣的形成 勢能可寫為 K即為所求的剛度矩陣，也是對稱陣。能量法3. 阻尼矩陣的形成 線性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫為C即為所求的阻尼矩陣，也是對稱陣。能量法【例5-2-3】求M和K。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置 ll則 能量法將余弦函數(shù)用級數(shù)展開，表示為則 所以 作業(yè)：5-4 能量法無阻尼自由振動系統(tǒng)的運動方程為5.4.15.4.3 固有頻率與固有振型(P117-120)5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動假設方程解的形式

38、為 這里：X1、X2為振動幅值，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動方程可得： 這是廣義的特征值問題，K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零。若M為對角陣，K為對稱陣，則有5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 上式稱為頻率方程或特征方程。由此可求出w2的兩個正實根。且規(guī)定w1 = w2 。 將這兩個根代入廣義特征值問題(Kw2M) X=0可得到相應的振幅比值 式中X(i)表示對應于第i個固有頻率的振幅(i=1, 2)。由數(shù)學概念知道，只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，

39、而與外部激勵和初始條件無關，這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性。因此把wi稱為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，ui稱為系統(tǒng)的固有振型或主振型。 將振幅寫成矩陣形式5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 稱為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱為振型矩陣。 式中的X1可以取任意值。顯然兩個主振動的疊加也是方程的解，即5.4.4 系統(tǒng)對初始激勵的響應(P121-128)由前面的分析可得到系統(tǒng)的兩組特解為5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質量按相同的頻率和相位角作簡諧運動，這種運動稱為固有振動或主振動。 每一個主振動稱為一個模態(tài)，wi和對應的ui組成第i 階模態(tài)參數(shù)。 系統(tǒng)在主振動中，各質點同時達到

40、平衡位置或最大位移，而在整個振動過程中，各質點位移的比值將始終保持不變，也就是說，在主振動中，系統(tǒng)振動的形式保持不變，這就是振型的物理意義。 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 式中的各個X、a和C均為任意常數(shù)，由初始條件確定?；驅憺橄旅娴男问?.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動將初始條件代入可得設初始條件為t0時5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 綜上所述，系統(tǒng)對初始激勵的響應求解步驟為：（1）建立運動微分方程，求出質量矩陣M和剛度矩陣K;（2）確定固有頻率wi 和振幅比ui ;（3）利用初始條件求響應。5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動【T5-21】求系統(tǒng)的頻率方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零

41、勢能位置 則 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動將余弦函數(shù)表示為則 所以 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動【T5-26】求系統(tǒng)的固有頻率。 解：用牛頓定律 而 x1x2d1d2d3解得 則方程為 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程為即 展開得 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程為解得5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 【T5-35】質量為m2的物塊從高h處自由落下，然后與彈簧質量系統(tǒng)一起做自由振動，已知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系統(tǒng)的振動響應。 解:（1）用牛頓定律建立方程5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動（2）頻率方程為解得（3）求振型。利用則同理5.4 兩個自由度

42、系統(tǒng)的自由振動（4）求響應初始條件代入得5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 在二階振動微分方程中，如果質量矩陣M和剛度矩陣K的各個元素都不為零，則在兩個方程中都同時包含坐標x1和x2和它們的導數(shù)項，這種情形稱為坐標耦合。 把M為對角陣，K不是對角陣的情形稱為靜力耦合或彈性耦合（剛性耦合），把K為對角陣，M不是對角陣的情形稱為動力耦合或慣性耦合。5.5 廣義坐標與坐標耦合5.5 廣義坐標與坐標耦合解得響應為作業(yè)：T5-13，26，285.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 方程是否耦合與廣義坐標的選取有關。前面分析的標準m-k-c系統(tǒng)就是靜力耦合。 對于下面的振動系統(tǒng)，設桿的質量為m，繞質心的轉動慣量為

43、JC。5.5 廣義坐標與坐標耦合 若取質心位移x和轉角q為廣義坐標，則自由振動方程是靜力耦合的5.5 廣義坐標與坐標耦合 若坐標x不取在質心,而是選在滿足k1a1k2b2的O點位置，利用平面運動微分方程可得到 其中e為O點距質心的距離，這時運動方程是動力耦合的。O5.5 廣義坐標與坐標耦合Cea1b1 同樣，若將坐標x取在最左端A，利用平面運動微分方程得到運動方程為 這里的a和b如原圖所標的位置。方程既是靜力耦合又是動力耦合。5.5 廣義坐標與坐標耦合 從前面的分析可知，只要廣義坐標形式選擇合適，就可以得到?jīng)]有坐標耦合的運動微分方程，這時的廣義坐標稱為主坐標。 主坐標下的質量矩陣和剛度矩陣除主

44、對角線元素外，其余元素均為零，各個運動方程的坐標之間不存在耦合。5.6 主坐標5.6 主坐標其中u是前面得到的振型矩陣令 將x代入原振動方程，化簡后就可得到解耦的運動方程（下章證明）5.6 主坐標 顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動的方法獨立求得 將其代入x=uP即可得到用原始坐標x表示的一般解。 主坐標的概念在強迫振動中具有重要意義。5.6 主坐標 利用主坐標解耦的方法求解系統(tǒng)響應的基本步驟為：（1）求出原振動方程的固有頻率和振幅比，得到振型矩陣u；（2）求出主坐標下的響應；（3）利用式x=uP得出原廣義坐標下的響應；（4）利用初始條件確定常系數(shù)。5.6 主坐標 【例】標準m-k-c系

45、統(tǒng)中，設m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。利用坐標變換方法求系統(tǒng)對初始激勵的響應。設初始條件為5.6 主坐標 解:（1）求固有頻率和振幅比,得到振型矩陣u5.6 主坐標（3）利用式x=uP得出（2）主坐標下的響應（4）確定常系數(shù)。將初始條件代入得5.6 主坐標聯(lián)立解得所以作業(yè)：T5-9，155.6 主坐標兩自由度振動微分方程為復數(shù)解法5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動設干擾力為諧和函數(shù)，并表示為復數(shù)形式令方程的解為其中X1和X2為復振幅。將上式代入方程得其中(i, j=1, 2)5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動若為無阻

46、尼系統(tǒng)，則振幅為 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，則前面分析中相關的eiw t 變?yōu)閟inw t 或cosw t 即可。5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動即 由此可看出:（1）當激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即無阻尼振幅將達到無窮大，所不同的是，兩自由度系統(tǒng)有兩個共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅減小，在相同的阻尼下，頻率高的共振峰降低的程度比頻率低的大。因此實際結構的動力響應只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響。5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 和單自由度的概念類似，可以繪出頻率比與振幅之間隨阻尼比的變化曲線幅頻響應曲線頻率響應曲線 共振現(xiàn)象5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 【例】在兩自由

47、度標準m-k系統(tǒng)中，設m1m2m，k1k2k3k，在第一個質量上作用有干擾力F1(t)=F0coswt，求系統(tǒng)的響應。 解：設解為代入振動方程得5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動即解得因此系統(tǒng)的響應為5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 【T5-45】圖示系統(tǒng)，xsa sinwt，當w為基頻的0.707倍時，車體W2的振幅為a的多少倍。已知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。解: 振動方程為即5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 代入數(shù)據(jù)，求得固有頻率為 w118.04，w2282.97 機車振動頻率為 w0.707 w1 0.707 18.0

48、4 12.76利用前面的方法求得振幅為作業(yè)：T5-395.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 當機器轉速在共振區(qū)域附近時會引起劇烈的振動，由單自由度系統(tǒng)振動理論知道，可以通過調整質量或彈簧剛度或增加阻尼來使振動情況得到緩解。 動力吸振器的原理是在原系統(tǒng)上附加一個新的m-k或m-c系統(tǒng)，使其變成兩自由度的振動系統(tǒng)，利用前面研究的理論，使原振動系統(tǒng)的振幅趨于零。動力吸振器5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 m1-k1為原來的基本振動系統(tǒng)，m2-k2為附加的吸振系統(tǒng)，這兩個系統(tǒng)組成了兩自由度振動系統(tǒng)。運動微分方程為無阻尼動力吸振器 5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動利用前面的方法求得振幅為引入記號基本系統(tǒng)的固有頻率

49、;5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動吸振系統(tǒng)的固有頻率;基本系統(tǒng)的靜位移;吸振質量與基本質量之比. 一般動力吸振器設計成wnwa，引入頻率比r，則振幅可寫為5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 由此可看出：（1）r1即激振頻率w等于吸振系統(tǒng)固有頻率wa時，X10，即達到最佳吸振效果；（2）吸振器設計時一般只要求wawn，因此吸振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地。 通常，實際的設計選擇是要求適當限制吸振系統(tǒng)運動的振幅X2。由X2/xst的式子可知，質量比m越大，在r1時X2越小，因此我們取m 值不能太小。5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 【T5-44】機器質量m190 kg，減振器質量m22.25 kg，機器上偏

50、心塊質量為m0.5 kg，偏心距e1 cm，機器轉速n1800 r/min。求5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動（1）減振器剛度k2多大才能使機器振幅為0；（2）此時減振器的振幅為多大；（3）若使減振器的振幅不超過2 mm，應如何改變減振器的參數(shù)。解: 振動方程為其中5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動（1）利用前面求得的振幅公式 代入數(shù)據(jù),令X10求得: k279943.8 N/m代入公式求得減震器振幅為5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動（3）設減震器振幅X2=0.002，同時設w1w2 求得k2（2）設 求得: k13215517.1 N/m第6章 多自由度系統(tǒng)的振動 多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個自由

51、度描述的振動系統(tǒng)。一般來說，一個n自由度的振動系統(tǒng)，其廣義位移可以用n個獨立坐標來描述，其運動規(guī)律通?？捎胣個二階常微分方程來確定。 多自由度振動系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論。 建立振動系統(tǒng)運動微分方程的方法和上章一樣，包括一般的動力學方法、影響系數(shù)法（剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)）、拉格朗日方程和能量方法等。6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式【T6-10】求系統(tǒng)的微振動微分方程。6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式 例：用直觀目測方法直接形成標準M-K-C自由振動系統(tǒng)的M、K。作業(yè)：T6-9，6-11

52、6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式m1m2m3m4m5k1k2k3k4k5k8k9k10k6k7無阻尼自由振動的運動方程為6.2.1 主振型方程式6.2.2 特征值和特征向量6.2無阻尼自由振動的特征值問題6.2無阻尼自由振動的特征值問題 利用兩自由度系統(tǒng)的分析結果，假設方程解的形式為 這里：X為振幅向量，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動方程可得： K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零：6.2無阻尼自由振動的特征值問題 上式稱為頻率方程或特征方程。由此可求出n個特征根w2。 將每個特征根wi（固有頻率）代入廣義特征值問題(Kw2M)X=0, 可得到相應的非零向量X

53、(i), 稱為特征矢量,或稱特征向量、固有振型、固有向量、模態(tài)向量等。顯然: 和兩自由度一樣，由上式只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵和初始條件無關，它們都是系統(tǒng)的固有屬性。6.2無阻尼自由振動的特征值問題 例T6-10中：設m1m31，m22，r1， k1k2k31。求固有頻率和振型。6.1 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式解：代入數(shù)值得代入|K-w2M|=0得：6.2無阻尼自由振動的特征值問題 理論求解很困難，一般通過試算或利用工具軟件，如Excel、MATLAB、Mathematica等。 利用Excel計算固有頻率步驟：(

54、1)定義變量。如在A1格“插入”-“名稱”-“定義”w(2)輸入公式。如在A2格輸入 =w3-5*w2+6*w-1(3)“工具”-“單變量求解”(只能求第一固有頻率)(4)高階特征值的求解要用 “工具”-“規(guī)劃求解” 固有頻率為：6.2無阻尼自由振動的特征值問題1.振型的基準化 由于固有振型X(i) 只是振幅的比例關系，各階振型均有一個未確定的常數(shù)比例因子。通常假設振型的某個元素為1，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或過程就是振型的基準化。 一般假設振型的第一個元素為1。6.2.3 振型的基準化和標準化6.2無阻尼自由振動的特征值問題分別代入(K-w2M)X=0得：6.2無阻尼自由

55、振動的特征值問題作業(yè)：T6-132. 振型的標準化 另外一種確定振型各元素數(shù)值的方法是以某個限制條件來確定振型中的常數(shù)因子。通常規(guī)定 XN(i)滿足條件6.2無阻尼自由振動的特征值問題 滿足這個限制條件的振型XN(i)稱為標準化（或正規(guī)化、歸一化）的振型。 對方程(Kw2M)XN=0兩邊左乘XN(i)T 可得到6.2無阻尼自由振動的特征值問題 注意：這里的XN(i)均為正規(guī)化后的振型，而不是求解的原始主振型X(i) 。3. 標準化振型與主振型的關系 將主振型 X(i)進行如下運算：6.2無阻尼自由振動的特征值問題 Mi稱為廣義質量（主質量、模態(tài)質量）。設X(i)ci XN(i)，代入上式有：所

56、以6.2無阻尼自由振動的特征值問題6.2.4 自由振動的運動規(guī)律 求出特征方程的n個特征值和對應的特征向量后，即得到振動方程的n個線性無關的特解，系統(tǒng)按任意一個固有頻率作自由振動，稱之為主振動，則第i 階主振動為(i1,2,n) 因而方程的通解應是上述特解的線性組合或寫為6.2無阻尼自由振動的特征值問題 其中常數(shù)ci、ai、Ai、Bi (i1,2,n)由初始條件確定。例如給出t0時的位移向量x0和速度向量v0 ，則得到含有2n個方程的方程組或 【T6-26】圖示系統(tǒng)中, m1m2m3m, k1k2k3k, 設初始位移為1, 初始速度為0, 求初始激勵的自由振動響應。 6.2無阻尼自由振動的特征

57、值問題 解：則響應為：6.2無阻尼自由振動的特征值問題將振型代入并展開：6.2無阻尼自由振動的特征值問題前面的例題已經(jīng)求得：6.2無阻尼自由振動的特征值問題6.2無阻尼自由振動的特征值問題解出各系數(shù)即可代入初始條件得：作業(yè)：T6-28 由廣義特征值問題(Kw2M)X=0知6.3 主振型的正交性6.3 主振型的正交性兩邊分別左乘X(j)T 和X(i)T得到與第一式相減得：由于K和M都是對稱陣，上面第二式可寫為6.3 主振型的正交性顯然也有：（ij） 結論：當剛度矩陣K和質量矩陣M都是對稱陣時，n個固有頻率對應的固有振型之間關于K和M都是正交的。所以：（ij）6.3 主振型的正交性 這里的Mi和K

58、i是兩個實常數(shù)，分別稱為系統(tǒng)的主質量和主剛度（或稱模態(tài)質量和模態(tài)剛度）。 由此可得到：當ij 時：6.3 主振型的正交性6.4 主坐標 變換矩陣即振型矩陣，就是各階振型組成的方陣6.4.1 變換矩陣6.4 主坐標6.4 主坐標6.4.2 廣義質量和廣義剛度的對角矩陣 廣義質量（主質量、模態(tài)質量）矩陣Mp和廣義剛度（主剛度、模態(tài)剛度）矩陣Kp：主對角線元素為相應的主質量和主剛度，其它元素為零。即 由主質量矩陣Mp和主剛度矩陣Kp可得到如下關系：6.4 主坐標對振動方程用振型矩陣進行變換6.4.3 用主坐標表示的運動方程代入方程后左乘QT得或（i1，2，n）6.4 主坐標 這樣原方程就變成了n個獨

59、立的(解耦的)固有頻率為wi的簡諧振動，這組廣義坐標Z稱為主坐標。1. 標準振型矩陣 即由標準振型構成的方陣：標準振型（正則振型）為6.4 主坐標6.4.4 標準坐標則有如下關系：同理有6.4 主坐標由于還有如下關系：2. 標準坐標（正則坐標）下的方程 對振動方程用正則振型矩陣進行坐標變換代入方程得到（i1，2，n）這組廣義坐標ZN稱為標準坐標(正則坐標)。6.4 主坐標 設振動方程的初始條件為x0和 6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應 對其進行正則坐標變換，轉換為標準坐標（正則坐標）下的初始條件: 利用單自由度的響應公式可得到初始激勵下的正則坐標響應:（i1，2，n）再

60、變換到廣義坐標x下的響應上述過程也可以在主坐標下進行。6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應 無阻尼系統(tǒng)對初始激勵的響應分析步驟:（1）建立振動方程，確定質量矩陣M和剛度矩陣K;（2）求固有頻率和振型;（3）確定標準（正則）振型矩陣;（4）對初始條件標準（正則）化;（5）計算標準（正則）坐標初始激勵響應;（6）計算廣義坐標初始激勵響應。6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應 【T6-26】m1m2m3m，k1k2k3k,設初始位移為1，初始速度為0，用標準坐標變換方法求初始激勵下的自由振動響應。 解： （1）6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應 （2）6.5 系統(tǒng)對初始激勵的響應（3）求正則振型矩陣：6.5 系統(tǒng)對初始激