常系數(shù)線性常微分方程-共49頁P(yáng)PT課件

1、常系數(shù)高階 線性微分方程 一. 常系數(shù)線性齊次微分方程二. 常系數(shù)線性非齊次微分方程 第六章 常系數(shù) 齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第六章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)時, 有兩個相異實(shí)根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為 則微分其根稱為特征根.2. 當(dāng)時, 特征方程有兩個相等實(shí)根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為3. 當(dāng)時, 特征方程有一對共

2、軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解: 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實(shí)根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .若特征方程含 k 重復(fù)根若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)特征方程: 例1.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解為例2. 求解初值問題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3.的通解. 解: 特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不難看出, 原方程有特解例5. 解: 特征方程:即其根為方程通解

3、:例6.解: 特征方程:特征根為則方程通解 :內(nèi)容小結(jié)特征根:(1) 當(dāng)時, 通解為(2) 當(dāng)時, 通解為(3) 當(dāng)時, 通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .思考與練習(xí) 求方程的通解 .答案:通解為通解為通解為思考題為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :因此特征方程為即故所求方程為其通解為常系數(shù)非齊次線性微分方程 一、二、 第六章 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法一、

4、 為實(shí)數(shù) ,設(shè)特解為其中 為待定多項(xiàng)式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 則取從而得到特解形式為為 m 次多項(xiàng)式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式(2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解例1.的一個特解.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為例2. 的通解. 解: 本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),

5、 得因此特解為代入方程得所求通解為例3. 求解定解問題解: 本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得二、第二步 求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形 第二步 求如下兩方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式兩邊取共軛 :為方程 的特解 .設(shè)則 有特解:第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :原方程 均為 m 次多項(xiàng)式 .第四步 分析因均

6、為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,小 結(jié)對非齊次方程則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4. 的一個特解 .解: 本題 特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù) , 得于是求得一個特解例5. 的通解. 解: 特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為例6.解: (1) 特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2) 特征方程有根利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:思考與練習(xí)時可設(shè)特解為

7、時可設(shè)特解為 提示:1 . (填空) 設(shè)2. 求微分方程的通解 (其中為實(shí)數(shù) ) .解: 特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為3. 已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為振動問題當(dāng)重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,解:阻力的大小與運(yùn)動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).(1)

8、 自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2) 強(qiáng)迫振動情況.若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力則得強(qiáng)迫振動方程:例2.解:由例1 知, 位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動,初始求物體的運(yùn)動規(guī)律 立坐標(biāo)系如圖, 設(shè) t = 0 時物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建 因此定解問題為自由振動方程 , 方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )解的特征:簡諧振動 A: 振幅, : 初相,周期: 固有頻率

9、 (僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征( n k ) 大阻尼解的特征: 1) 無振蕩現(xiàn)象; 此圖參數(shù): 2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.( n = k ) 臨界阻尼解的特征 : 任意常數(shù)由初始條件定, 最多只與 t 軸交于一點(diǎn); 即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.2) 無振蕩現(xiàn)象 ;例3.求物體的運(yùn)動規(guī)律. 解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動方程 當(dāng)p k 時, 齊次通解: 非齊次特解形式:因此原方程之解為例1 中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f和鉛直干擾力代入可得: 當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有

10、頻率 k 時,自由振動強(qiáng)迫振動 當(dāng) p = k 時, 非齊次特解形式:代入可得: 方程的解為 若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使 隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;p = k .自由振動強(qiáng)迫振動對機(jī)械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 求電容器兩兩極板間電壓 例4. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,所滿足的微分方程 .提示: 設(shè)電路中電流為 i(t),上的電量為 q(t) ,自感電動勢為