抽象函數(shù)的周期性與對稱性(共6頁)

1、PAGE PAGE 7抽象(chuxing)函數(shù)的周期性與對稱性一、從幾道錯題說起(shu q)：與抽象函數(shù)有關(guān)(yugun)的題目在各種試卷上時有出現(xiàn)，但由于抽象函數(shù)的周期性與對稱性之間的關(guān)系比較復(fù)雜，也經(jīng)常出現(xiàn)各種錯誤。例如：錯題1（2006年南京市高三第一次模擬考試第14題）設(shè)周期為4的奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)，則的值為 。 分析：本題錯誤比較明顯。 eq oac(,1)又 eq oac(,2) eq oac(,1)與 eq oac(,2)矛盾。錯題2（2006年高中三年級總復(fù)習(xí)試卷 數(shù)學(xué)A卷（江蘇卷）第11題）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)+f(x+2)=1，若當(dāng)時，f(

2、x)=2-x則f(7.5)= ( ) A0.5 B -0.5 C 1.5 D -1.5學(xué)生主要有下列兩種解法：解法一： 由題意，得： 選C解法二：由法一知T=4，故 在中令則有 選A兩種解法均步步有據(jù)，問題出在哪里呢？原因在于題目條件之間有沖突！ 分析： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,1)與 eq oac(,2)矛盾(modn)。事實(shí)上，由及這兩個條件即能完全(wnqun)確定函數(shù)，這時“f(x)是偶函數(shù)”要么(yo me)重復(fù)，要么有矛盾。注：命題錯誤原因在于對所蘊(yùn)含的信息認(rèn)識不足?？梢杂孟率龇椒ǜ?）去掉“偶函數(shù)”這個條件 2）將“”改為“”，等等。錯題3

3、（2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第12題）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（ ）A2B3C4D5 所給標(biāo)準(zhǔn)答案是D。事實(shí)上，這條題目設(shè)計(jì)有問題，解答也是錯誤的。錯解：是定義在R上的奇函數(shù)， 又是以3為周期的函數(shù)， ， 由T=3可知，對 方程在區(qū)間(0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是5。錯因：未能根據(jù)題目條件，挖掘出其中隱藏的函數(shù)性質(zhì)。事實(shí)上，定義在R上以3為周期的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，則它必關(guān)于點(diǎn)（對稱，且對稱中心必在函數(shù)的圖象上。正解： 取則， 再結(jié)合上述錯解部分的內(nèi)容可知(k zh)，方程在區(qū)間(q ji

4、n)（0，6）內(nèi)解的個數(shù)至少(zhsho)有7個。評注：抽象函數(shù)的研究是中學(xué)數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，往往難以入手或顧此失彼。理解并掌握一些與函數(shù)圖象的對稱性、周期性有關(guān)的重要結(jié)論，在推導(dǎo)結(jié)論的過程中能培養(yǎng)、提高學(xué)生的抽象思維能力，同時能使學(xué)生在分析問題時高屋建瓴，對解題是很有好處的。二、與函數(shù)的周期性及圖象對稱性有關(guān)的幾個結(jié)論： 設(shè)函數(shù)定義域是，則有以下結(jié)論：（1）對都有關(guān)于直線對稱。（2）對都有關(guān)于點(diǎn)對稱。（3）對都有關(guān)于點(diǎn)對稱。（4）對都有 即：若圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對稱，則是的周期函數(shù)。 (5) 對都有即：若周期為T的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱。也就是說，周期

5、為T的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱，則圖象在一個周期內(nèi)有兩條不同的對稱軸，且相鄰兩條對稱軸間的距離是。（6）對都有 即：若圖象(t xin)關(guān)于點(diǎn)（a,0）,(b,0)(ab)對稱(duchn)，則是的周期函數(shù)(zhu q hn sh)。 (7) 對都有 即：若周期為T的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,o)對稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。由此可知, 若周期為T的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）對稱，則圖象在一個周期內(nèi)有兩個對稱中心，且相鄰兩個對稱中心間的距離為。（8）對都有 即：若圖象關(guān)于直線x=a及點(diǎn)（b,0）(ab)對稱，則是的周期函數(shù)。注：（5）是（4）的偏逆命題，二者都真；（7）是（6）的偏逆命題，二者都真。但命

6、題（8）的偏逆命題是假命題，例如：函數(shù)f(x)=tanx是周期函數(shù)，且有對稱中心，但該函數(shù)沒有對稱軸。三、應(yīng)用舉例：例1： 設(shè)是R 上的奇函數(shù), , 當(dāng)時, ,試畫出函數(shù)(hnsh)f(x)的簡圖.解: , ,是以4 為周期(zhuq)的周期函數(shù) 又, 的圖象關(guān)于(guny)直線x=1對稱. 根據(jù)當(dāng)時, 以及上述性質(zhì),可畫出f(x)的簡圖如下：xy10例2 已知偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線x = 1對稱,且, 則 14,15時,求的解析式為.分析：由函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0及x = 1對稱可知，是以2 為周期的周期函數(shù)，且直線x=n是其圖象的對稱軸，于是只要知在長度為1的任一區(qū)間上的解析式可確定在R上的解析式。解:由 得是以2 為周期的周期函數(shù)當(dāng)又為偶函數(shù), ，即當(dāng)x14,15時, x-184,3，的周期為2， x14,15 時, 例3：已知對一切(yqi)xR 都有, ,且x =0 是方程(fngchng) = 0的一個(y )根,問方程= 0 在區(qū)間1000,1000 上至少有幾個根?解:在區(qū)間(0,10 上,方程f (x) = 0 至少有兩個根,又由函數(shù)的對稱性及周期的關(guān)系知是以10為周期的周期函數(shù),且在每個周期上至少有兩個根, 方程 = 0 在區(qū)間1000,1000 上至少有401 個根內(nèi)容總結(jié)（1）抽象函數(shù)的周期性與對稱性一、從幾道錯題