抽象函數(shù)性質(zhì)(共9頁)

1、PAGE 7PAGE 13題根研究(ynji) 抽象函數(shù)(hnsh)性質(zhì)尋根一、抽象(chuxing)函數(shù) 考場(chǎng)有約如果把用解析式定義的函數(shù)稱為“具體函數(shù)”,那么,不用解析式而直接用性質(zhì)定義的函數(shù)則可稱為“抽象函數(shù)”. 抽象函數(shù)在近年的考卷中頻頻出現(xiàn)，如2007年天津卷第7題就是抽象函數(shù)的例子.【例1】 在R上定義的函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，且f (x) = f (2 x)，若f (x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則f (x)A.在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)B.在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)C.在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)D.在區(qū)間2，1上是減函數(shù)

2、，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)【分析】 習(xí)慣于用具體解析式研究函數(shù)性質(zhì)的人，對(duì)用抽象定義的函數(shù)往往感到不習(xí)慣. 其實(shí)直接用抽象函數(shù)來解決函數(shù)問題，有時(shí)比用解析式還方便. 本題就是這樣的例子. 【解答】 B 由函數(shù)是偶函數(shù)知函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間2，1的單調(diào)性與在區(qū)間1，2的單調(diào)性相反，為增函數(shù)；由 f (x) = f (2 x)知函數(shù)的圖像關(guān)于直線x =1對(duì)稱，故函數(shù)在區(qū)間3，4上的單調(diào)性與在區(qū)間2，1上的單調(diào)性相反，為減函數(shù)，所以選B.【點(diǎn)評(píng)】 本題以抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)圖像和函數(shù)的性質(zhì). 抽象函數(shù)的解法通常采用“形象法”畫圖. 按給出的性質(zhì)畫出符合性質(zhì)的最簡(jiǎn)略圖. 如本題所畫的略

3、圖如下直線段示圖它符合題目給出的3條性質(zhì).【互動(dòng)】 抽象與形象互動(dòng). 從函數(shù)略圖上形象看到，這個(gè)函數(shù)是個(gè)周期函數(shù)，用函數(shù)的抽象性質(zhì)證明如下：由f (x) = f (2 x)和f ( x) = f (x)可以推得 f (x) = f (2 + x)，由此可知f (x) 是一個(gè)周期為2的周期函數(shù)的.從形象上還可看到，函數(shù)有無窮條對(duì)稱軸x = m (mZ). 因?yàn)閤 = 0和x = 1是它的對(duì)稱軸，又函數(shù)的周期為2，故x = m都是它的對(duì)稱軸. 證明從略?！咀⒁狻?對(duì)稱性問題，要弄清：是一個(gè)函數(shù)本身的對(duì)稱，還是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱. 如由f (a +x) = f ( b x)得函數(shù)(hnsh)f (x)的

4、圖像關(guān)于(guny)直線對(duì)稱(duchn)，而函數(shù)y = f ( a + x)與y = f ( b x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.二、抽象函數(shù) 函數(shù)集合用性質(zhì)定義的抽象函數(shù)，它往往不是一個(gè)具體的函數(shù)，有時(shí)符合性質(zhì)的函數(shù)是一類函數(shù)，或者說是一類函數(shù)的集合. 如例1，符合給定的3條性質(zhì)的函數(shù)除了簡(jiǎn)圖中線段表示的函數(shù)外，還有沒有其他的函數(shù)也含有這3條性質(zhì)我們繼續(xù)研究例1.【例2】 在R上定義的函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，且f (x) = f (2 x)，若f (x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則函數(shù)f (x)可能是：A. sinx B. sinx C. cosx D. cosx 【解答】 D 這4個(gè)函數(shù)的周期都是

5、2. 符合“偶函數(shù)”條件的只有C和D. 而在區(qū)間1，2上遞減的只有D. 故答案為D. 圖像如下【探究】 例1中的函數(shù)f (x)，除了上述兩圖像表示的具體函數(shù)以外，還有沒有其他的函數(shù)呢？顯然，這個(gè)函數(shù)集合中的“元素”多到無窮. 如以下解析式表示的函數(shù)都是： f (x) = A cosx + m，其中A為正數(shù)，m為任意實(shí)數(shù).那么，這里的f (x)到底是個(gè)什么函數(shù)呢？請(qǐng)不要老是往統(tǒng)一的解析式上尋找. 它是一個(gè)函數(shù)集合，我們可以用集合的描述法表示如下：A = f (x) | f (x)是R上偶函數(shù)，f (x) = f (2 x)，f (x)在區(qū)間1，2上遞減像這樣的抽象函數(shù)還有：B = f (x) |

6、 f ( x )= f (x)是偶函數(shù)的集合；C = f (x) | f ( x )= f (x)是奇函數(shù)的集合；D = f (x) | f ( x+y) = f ( x) + f (y)是正比例函數(shù)的集合；E = f (x) |= 是一次函數(shù)的集合，等等.對(duì)這些抽象函數(shù)（集合），隨著其他條件（性質(zhì)）的添加，則抽象函數(shù)逐步提出它們的“子集”或“元素”. 如在D中，限制條件f (1)= 2，則得到此集合中的一個(gè)“元素”：f (x) = 2 x.三、抽象函數(shù) 用方程定義在7大數(shù)學(xué)思想中，人們把“函數(shù)方程思想”放在首位，函數(shù)與方程本來就是一對(duì)孿生兄弟. 函數(shù)的解析式 y = f (x)可視二元方程F

7、 (x，y) = 0；反之，對(duì)二元方程F (x，y)，也可把y視作x的函數(shù). 因此，函數(shù)不僅可用解析式定義，還可用方程或不等式定義.【例3】 已知函數(shù)(hnsh)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意(rny)實(shí)數(shù)m，n都有f (m+n) = f (m)f (n)，且當(dāng)x0時(shí)0 f (x)1，（）求f (0)的值；求f (1) = a的取值范（）求證(qizhng) 當(dāng)x1 f (x)是R上的減函數(shù)（）設(shè)A=(x，y)| f (x2)f (y2) f (1)，B=(x，y)| f (ax y+2) =若AB=，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】 這就是用方程和不等式定義的函數(shù)，按命題人思想，并不需要先求函

8、數(shù)解析式（即使是已經(jīng)知道這個(gè)函數(shù)是個(gè)指數(shù)函數(shù)），而是用函數(shù)的性質(zhì)直接解題.【解（）】 f (0) = f (0+0) = f (0)f (0) = f 2 (0)即 f (0) f 2 (0) = f (0)1 f (0)= 0 故 f (0) = 1或f (0) = 0舍去f (0) = 0的證明假設(shè)f (0) = 0，則有 f (n n) = f (n)f ( n) = 0f (n)，f ( n)中至少有一個(gè)為0，設(shè)f (n) = 0按n的任意性，則有f (x) = 0，這與x 0時(shí)，0 f (x) 0，所以0 f (1) = a 0，0 f (x) 1，用x( 1.設(shè)x1 x2，易知f

9、( x2 x1) f (x2) f (x)是R上的減函數(shù).【解（）】 f (x)是R上的減函數(shù)，由f (x2)f (y2) f (1) f (x2+y2) f (1) x2+y2 1 由 f (ax y +2) = 1 ax y +2 = 0 故有 A=(x，y)|x2 + y2 1，B=(x，y)|ax y + 2 = 0依題意，以下混合組無解按幾何意義，單位圓x2 + y2 = 1的圓心O（0，0）到直線l：ax y+2 = 0的距離大于半徑1. 即 【點(diǎn)評(píng)】 本題是用“函數(shù)方程”解題的典型例子. 實(shí)際上按題設(shè)所給的方程（外加不等式）可以確定了這個(gè)函數(shù)：f (x) = ax，其中，0 a

10、1. 它是典型的指數(shù)函數(shù).四、函數(shù)方程 探求函數(shù)解析式既然函數(shù)方程與函數(shù)解析式都能表示函數(shù)，那么它們(t men)之間就具有等價(jià)性. 如從指數(shù)函數(shù)f (x) = ax（0 a 0時(shí)0 f (x) 0時(shí)0 f (x)0時(shí)0 f (x)1.由此猜想,函數(shù)的解析式是f (x) = ax. 0 a 1時(shí)，f (x) 0 成立，（1）設(shè)x，y(0，+ )，求證；（2）設(shè)x1，x2(0，+ )，若f (x1) f (x2)，試比較x1與x2的大小；（3）解關(guān)于x的不等式【分析】 本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題.【解（1）】 因?yàn)閒 ( xy) = f (x) + f ( y)

11、，所以 ，所以 【解（2）】因?yàn)閒 ( x1) f ( x2)，所以f ( x1) f ( x2) 1時(shí)，f (x) 0成立，所以當(dāng)f (x) 1，所以，.【解（3）】令x = y =1代入f ( xy) = f (x) + f (y)得f (1) = f (1) + f (1)，f (1) = 0，所以關(guān)于x的不等式為，由（2）可知函數(shù)f (x)在定義域(0，+ )上是減函數(shù)，所以0 x2 (a + 1)x+a+1 1，由x2 (a + 1)x+a 1時(shí)，1 x a，此時(shí)x2 (a + 1) x+a 0成立；當(dāng)a 1時(shí)，a x 1，此時(shí)x2 (a + 1) x+a 0成立；當(dāng)a = 1，x1

12、，此時(shí)x2 (a + 1) x+a 0，恒有f (x + T ) = f (x)，則在區(qū)間0，2T上，方程f (x) = 0根的個(gè)數(shù)最小值為A. 3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)【分析】 本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的“交”：解題時(shí)要想把抽象性質(zhì)“用足”，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程（）和（），還要充分利用方程（）和（）的互動(dòng).【錯(cuò)解】 A. 因?yàn)閒 (x)是R上的奇函數(shù)，先由方程（）得 f (0) = 0 x1= 0再由方程（）得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.即在區(qū)間0，2T上，方程f (x) = 0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè)（0，T

13、，2T）.【正解】 C. 由方程（）得f (0) = 0 x1= 0再由方程（）得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.又因?yàn)?令x = 0得 又 聯(lián)立，得 x4再由（）得 【點(diǎn)評(píng)(din pn)】 方程(fngchng)f (x) = 0根x4和x5的求得，是充分(chngfn)地利用了函數(shù)方程（）和（）的互動(dòng).錯(cuò)解中漏掉x4和x5的原因是，孤立地考慮了奇函數(shù)，把“起始根”只定在x1 = 0上. 正解中，在周期性的互動(dòng)下，找到了另一個(gè)“起始根”x4 .【說明】 定義在R上、周期為T的奇函數(shù)f (x)，在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn). 如正弦函數(shù)f (x

14、) = sinx的周期為2，它在區(qū)間，上有3個(gè)零點(diǎn)（，0，）.八、抽象函數(shù) 命題人也出錯(cuò)誤 抽象函數(shù)，曾出現(xiàn)過高考大錯(cuò)題. 命題人出錯(cuò)，也出現(xiàn)在“奇函數(shù)周期函數(shù)”的零點(diǎn)問題上.【例9】 f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5【說明】 這是2005年福建卷（理）第12題，命題組提供的答案是D，即答案為5.答案D從何而來？以下是“D”的一種解法. 【錯(cuò)解】f (x)周期為3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (

15、-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)為奇函數(shù)，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x)=0的解為：1、2、3、4、5. 共5個(gè)解，答案為D.【正解】 除了上述解法得 f (x)=0的5個(gè)解外，還有如下的解. 根據(jù)方程 f (x)=0的定義， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，證明如下：由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5)

16、 = - f (1.5) （2）從而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7個(gè)：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【結(jié)論】 按上面討論的結(jié)果，方程 f (x) = 0的解至少有7個(gè). 而原題的四個(gè)選項(xiàng)支中均沒有這個(gè)答案. 命題人給定的答案D是錯(cuò)的. 【實(shí)例】 f (x)同時(shí)滿足4個(gè)條件：（1）定義在R上；（2）奇函數(shù)；（3）周期為3；（4）f (2) =0. 據(jù)此，我們找到 f (x)的一個(gè)解析函數(shù)具體例子：并在區(qū)間(q jin)（0，6）上找到 f (x)=0的7個(gè)解，列表(li bio)如下：這7個(gè)解