平面向量與解三角形-1981-2019年歷年數(shù)學聯(lián)賽50套真題答案

1、1981年2019 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編平面向量與解三角形部分 第 PAGE 11 頁 共 NUMPAGES 11 頁1981年2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編平面向量與解三角形部分2019A 3、平面直角坐標系中，是單位向量，向量滿足，且對任意實數(shù)恒成立，則的取值范圍為 。答案： 解析：不妨設，由得，等價于，即，解得，所以。2019A 9、在中，若是與的等比中項，且是與的等差中項，求的值解析：因為是與的等比中項，故存在，使得由是與的等差中項，得，結合正余弦定理得，即，將代入得，解得，所以。2019B 2. 若平面向量與垂直，其中為實數(shù)，則的模為 答案： 解析：由條件得，解得，

2、所以。2019B 3. 設，是方程的兩根，則的值為 答案： 解析：由已知得，從而2018A 7、設為的外心，若，則的值為 答案：解析：取的中點，則。由得，知，且在直線同側。不妨設圓的半徑為，則,，在中，有余弦定理得,在中，由正弦定理得。2017A 7、在中，為邊的中點，是線段的中點，若，的面積為，則的最小值為 答案： 解析：由條件知，則，由得所以，所以，當且僅當時取等。則。2017B 4、在中，若，且三條邊成等比數(shù)列，則的值為 答案：解析：由正弦定理知，又，于是，從而由余弦定理得：.2016A 9、（本題滿分16分）在中，已知，求的最大值。解析：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化

3、為即8分由余弦定理及基本不等式，得所以12分等號成立當且僅當因此的最大值是16分2016B 10、（本題滿分20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值解析：（1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即（2）由余弦定理及基本不等式，得等號成立當且僅當因此的最小值為2015A 4、在矩形中，,邊上（包含,）的動點與線段延長線上（包含）的動點滿足,則向量與向量的數(shù)量積的最小值為 答案：解析：不妨設 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) 設 P 的坐標為（, l) （其中），則由得Q的坐標為（2，-)，故,因此，當時，200

4、5*2、空間四點滿足，則的取值 A. 只有一個 B. 有二個 C. 有四個 D. 有無窮多個答案：A解析：注意到由于則=即只有一個值為0，故選A。2014A 7、設等邊三角形的內切圓半徑為，圓心為。若點滿足，則與的面積之比最大值為 答案： 解析：由PI=1知點P在以I為圓心的單位圓K上。設，在圓上取一點，使得取到最大值，此時應落在內，且是與圓的切點。由于，故 其中，由知，于是，所以根據(jù)、可知，當時，的最大值為2014B 4、若果三角形的三個內角的余切值依次成等差數(shù)列，則角的最大值是 答案： 解析：記，它們成等差數(shù)列，即，由于三個內角和為，所以中至多有一個小于等于，這說明.另一方面，即，即，聯(lián)立

5、消去得，有，得，即，解得，當且僅當時，角取得最大值。2013A 3、在中，已知，則的值為 答案：解析：由于，即2013B1、已知銳角三角形的三條邊長都是整數(shù)，其中兩條邊長分別為3和4，則第三條邊的邊長為 答案：或解析：設第三條邊長為。因為是銳角三角形，所以，且，即，因為是整數(shù)，得或2012A 2、設的內角的對邊分別為，且滿足，則的取值為 答案：解析：由題設及余弦定理得,即，故2012B 5、在中，若,則面積的最大值為 答案：解析：記的中點為，則,因為，所以，從而所以（當且僅當，即時，取等號）故所求面積最大值為。另法：由得，由，平方可得，所以（當且僅當時，等號成立），所以所求面積最大值為。200

6、8AB 6、設D的內角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：設的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因為成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構成三角形的三邊，必須且只需且即有不等式組即得從而，因此所求的取值范圍是 2007*8、在和中，是的中點，若，則與的夾角的余弦值為 答案：解析：因為，所以，即。因為，所以，即。設與的夾角為，則有，即，所以。2006*1、已知，若對任意,，則一定為 A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D.答案不確定答案：C解析：令，過A作于D。由，推出,令，代入上式，得，即 , 也即 。從而有。由此可得 。 2005

7、*3、內接于單位圓，三個內角的平分線延長后分別交此圓于.則的值為 A. B. C. D. 答案：A解析：如圖，連，則所以，,。所以，即可求得。2004*4、設點在的內部，且有,則與的面積的比為 A. B. C. D. 答案：C解析：如圖，設面積，則，進而得。2001*4、如果滿足，的恰有一個，那么的取值范圍是 A. B. C. D. 或答案：D解析：根據(jù)正弦定理得,得，顯然，要使得恰有一個，則或，得或1999*9、在中，記，則_答案：解析：1993*5、在中，角的對邊長分別為，若等于邊上的高，則的值是( )A. B. C. D.答案：A解析：由題設得，即，即整理得，又，故選A1992*4、在中

8、，角的對邊分別記為()，且都是方程的根，則( )A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形答案：B解析：由題意得根為，所以，即得選B 1991*8在中，已知三個角成等差數(shù)列，假設它們所對的邊分別為，并且等于邊上的高，則 答案：解析：易知，由已知，即，即 (舍去)，1988*8在中，已知，、分別是、上的高，則 答案：解析：注意到，1986*6、邊長為的三角形，其面積等于，而外接圓半徑為，若，則與的大小關系是（ ）A. B. C. D.不確定答案：C解析：，由，知且三角形不是等邊三角形(且等號不成立)選C1985

9、*7、在中，角的對邊分別為，若角的大小成等比數(shù)列，且，則角的弧度為等于 答案：解析：由余弦定理，故即所以 由，得，即，或 (不可能) 1985*一、在直角坐標系中，點和點的坐標均為一位的正整數(shù)與x軸正方向的夾角大于，與軸正方向的夾角小于，在軸上的射影為， 在軸上的射影為，的面積比的面積大，由組成的四位數(shù)試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程解析：由題意得，且都是不超過10的正整數(shù) ，則或但，故舍去即， ，1984*9、如圖，是單位圓的直徑，在上任取一點，作，交圓周于，若點的坐標為，則當 時，線段、可以構成銳角三角形答案：解析：由對稱性，先考慮的情況，設，則，且必有，于是只要考慮，即，解得1983*3、已知等腰三角形的底邊及高的長都是整數(shù)，那么，和中（ ）A.一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)； B.兩個都是有理數(shù)； C.兩個都是無理數(shù)； D.是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)和的數(shù)值來確定。答案：B解析：為有理數(shù)，得和都是有理數(shù)選B1983*8、任意，設它的周長、外接圓半徑長與內切圓半徑長分別為、與，那么（ ）A B C D三種關系都不對答案：C解析：，當時，最大，而可大于任意指定的正數(shù)從而可有，否