【VIP專享】第四章----生命表47課件

1、第四章 生命表第一節(jié) 生命表函數(shù) 人類的生存死亡是怎樣一個存在規(guī)律，在歷史上不少學者進行探討，其目的并不是為了保險。有關壽命分布的參數(shù)模型 De Moivre模型(1729) Gompertze龔珀茲模型(1825)有關壽命分布的參數(shù)模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)參數(shù)模型的問題 至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差。 壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險領域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。生命表基本函數(shù)

2、lx：存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx生存分布一、新生兒的生存函數(shù)二、x歲余壽的生存函數(shù)三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數(shù)概念解釋：1生存函數(shù)s(x)（1）定義：假設某一新生嬰兒群體的死亡年齡X的分布函數(shù)為F(x)，則s(x)=1F(x)稱為該新生嬰兒的生存函數(shù)，即

3、： s(x)=1F(x) =Pr(Xx) =Pr新生兒在 x 歲之后死亡 =Pr新生兒在 x 歲時仍然活著x歲余壽的生存函數(shù)以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時間內存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。x歲的人在t時間內死亡的概率tqxx歲余壽的生存函數(shù)考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數(shù) 整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記概率函數(shù) 2死力（1）定義：達到x歲的人中，在一瞬間里死亡的人所占的

4、比率，記為x：死亡效力與生存函數(shù)的關系含義： 死力死亡效力與密度函數(shù)的關系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)死亡力下x歲期望剩余壽命對于x歲期望剩余壽命 ，可以證明： 整值平均余壽 x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，第二節(jié)生命表的構造人類死亡效力的規(guī)律人類死亡效力的規(guī)律人類的死亡效力曲線類似于一個兩頭高、中間低的盆狀結構， 被稱為“浴盆曲線”。人類的“浴盆曲線”意味著：剛出生的嬰兒是脆弱的，死亡效力非常高。這是因為各種先天性的不足都會在這個時期暴露。經過淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐漸下降。青壯年時期是人類

5、死亡效力最低的時期。在這段時間里，身體各部位都屬于良好運作階段，身體屬于“偶然失效期”。中老年時期屬于人類的加速死亡時期。在這段時間里，身體各器官逐漸老化，開始罹患各種疾病。在可靠性理論中，稱這段時期為加速失效期。生命表起源生命表的定義生命表是用表格的行使來反映生命的變化規(guī)律，又稱為死亡表，是一定時期、一定數(shù)量的人口從生存到死亡的統(tǒng)計記錄。它反映了整數(shù)年齡的人在整數(shù)年內生存或者死亡的概率分布情況。生命表的發(fā)展歷史1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生

6、與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的特點構造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）生命表的類型：1、國民生命表和經驗生命表。國民生命表是根據(jù)全體國民或特定地區(qū)的人口統(tǒng)計資料編制的統(tǒng)計表；經驗生命表是壽險公司根據(jù)被保險人的死亡記錄所編制的生命表。國民生命表的資料來源于人口普查和抽樣調查，而經驗生命表的資料來源于被保險人的統(tǒng)計記錄。由于被保險人要經過體檢合格才予以承保，所以，國民生命表和經驗生命表是有區(qū)別的。政府和企業(yè)根據(jù)國民生命表制訂社會保險和退休計劃。而保險公司通

7、常使用經驗生命表。2、壽險生命表和年金生命表 由于逆選擇，選擇年金的人一般對身體狀況比較樂觀，而選擇壽險的對身體狀況不太樂觀，這兩類人的死亡率是有明顯區(qū)別的。壽險公司有必要對兩類不同的人分別統(tǒng)計，從而得出壽險生命表和年金生命表。3、男性生命表和女性生命表統(tǒng)計表明,女性的壽命要比男性的高，同年齡的男性死亡率要比女性的高，對于不同性別的統(tǒng)計，就可以得到男性生命表和女性生命表。4、選擇生命表和終極生命表由選擇期內死亡率構成的生命表稱為選擇表。選擇期之后的死亡統(tǒng)計表成為終極表。編制生命表是以全部人員性別及年齡差別的特殊死亡率為計算依據(jù)，并以下列各項假設為基礎。1、假設這群人與外界完全隔離，既無遷入的也

8、無遷出者；2、假設該群人同時出生，出生后在無其他人加入；3、同一時刻出生一群人不會在同時全部死亡4、除了嬰幼兒階段的死亡率按月齡與日齡的數(shù)據(jù)計算，其他各種年齡段死亡率均平均分配與全年各月之間，故一年之中每個月的死亡率大致相同；5、男女分別計算，各不相涉。中國壽險業(yè)自從81年恢復人身險業(yè)務以來，一直使用日本生命表，并不符合中國的情況，到了1991年，人壽險長期業(yè)務承保人數(shù)超過8000萬，積累了10年的經驗數(shù)據(jù)，92年編制，93年獲得批準，94年開始實施，95年完成修正，96年開始實施。1生命表的構成1、年齡 X2、生存人數(shù)lx3、死亡人數(shù)dx4、生存率5、死亡率6、死力7、平均余命 2 生命表各

9、項之間的關系生命表的構造原理在大數(shù)定理的基礎上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）常用符號新生生命組個體數(shù)：年齡：極限年齡： 個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)： 個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)：特別：n=1時，記作生命期望值X歲的人在將來可能生存的整數(shù)年，叫生命的期望值（平均余命） 。（1）簡單生命期望值現(xiàn)年X歲的人一年后，兩年后，三年后，生命表末，每人的平均余命（2）完整期望生命值（3）生存人年數(shù)Lx：在x歲到x+1歲生存人年數(shù)人年數(shù)是把所有的人活過的年歲都加總起來。 個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)： 個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總

10、數(shù)：例如：lx=10，lx+1=8，甲死亡時間為3月31日，乙死亡時間為6月30日，則Lx=81+10.25+10.5=8.75生命表實例（美國全體人口生命表）年齡區(qū)間死亡比例期初生存數(shù)期間死亡數(shù)在年齡區(qū)間共存活年數(shù)剩余壽命總數(shù)期初存活者平均剩余壽命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000o126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.

11、00065986486498617719009172.89 “中國人壽保險業(yè)經驗生命表（2000-2003）”（以下簡稱新生命表），宣布將于2006年1月1日起正式實施，同時宣布保險公司可選擇參照差異化定價。 中國人壽保險業(yè)經驗生命表（2000-2003）包括非養(yǎng)老金業(yè)務男女表和養(yǎng)老金業(yè)務男女表共兩套四張表，其結構與原生命表相同，但取消了男女混合表。 根據(jù)新生命表，本次非養(yǎng)老金業(yè)務生命表男性平均壽命為76.7歲，較原生命表提高了3.1歲；女性平均壽命為80.9歲，較原生命表提高了3.1歲。養(yǎng)老金業(yè)務生命表男性平均壽命為79.7歲，較原生命表提高了4.8歲；女性平均壽命為83.7歲，較原生命表提

12、高了4.7歲。 保險公司可自行決定采用何種版本的生命表定價，但在進行法定準備金時，則必須采用新生命表。 細看生命表，女性不僅是比男性長壽，在任何一個特定時間，女性的死亡率都要低于男性。 以非養(yǎng)老業(yè)務的生命表為例，同樣100萬剛剛出生的男嬰和女嬰，能夠活到20歲的，男性為99.14萬人，女性則為99.45萬人；活到40歲的，男性為97.13萬人，女性則為98.50萬人；活到60歲的，男性為89.17萬人，女性則為93.60萬人；再看活到80歲的，男性為44.42萬人，女性則為46.73萬人。當然，死亡率是一個很復雜的問題，健康的確是主因，畢竟伴隨年齡上升，男性的死亡率顯著高于女性，但是在年輕時候

13、工作危險程度亦不可忽視，考慮到警察、軍人、工人等高危人群大量均為男性，男性死亡率高也就不奇怪了。 對男性而言，33周歲、62周歲和84周歲是三個重要的門檻，女性對應的年齡則為43周歲、66周歲和87周歲。以男性為例，33周歲時的當年死亡率由此前的萬分之幾上升至千分之幾，雖然實際上只是由0.09%上升至0.10%， 已知 計算下面各值：（1）（2）20歲的人在5055歲死亡的概率。【例題】用某公司的經驗生命表男表計算以下概率：1、（30）活過20年的概率，2、（35）在45歲前死亡的概率3、（40）活過10年在其后一年死亡的概率4、（40）歲活過55歲，在60歲死亡的概率查表計算得：選擇-終極生

14、命表選擇-終極生命表構造的原因需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 例如一位30歲的被保險人于當年投保，其死 亡率必然小于在29歲時投保的30歲時的被保險人。需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失根據(jù)選擇效力消失以后的經驗資料來編制的生命表，稱為終極生命表。選擇-終極生命表的使用包括了各種死亡統(tǒng)計，即根據(jù)發(fā)行保單后的起初數(shù)年以及以后各年間的死亡記載編制而成。選擇-終極表實例x選擇表終極表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0

15、209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482該表的選擇期是5年，即從選擇年齡往后5年以內必須承認選擇的影響，采用選擇表中的死亡率。例如選擇年齡在74歲的人在78歲的死亡率0.0678，從選擇年齡經過5年以后就不再計選擇的影響，只能采用終極表中的

16、死亡率。例如選擇年齡分別為70歲，71歲，72歲的人，在78歲的死亡率均為0.0714該表的選擇期是5年，即從選擇年齡往后5年以內必須承認選擇的影響，采用選擇表中的死亡率。例如選擇年齡在74歲的人在78歲的死亡率0.0678，從選擇年齡經過5年以后就不再計選擇的影響，只能采用終極表中的死亡率。例如選擇年齡分別為70歲，71歲，72歲的人，在78歲的死亡率均為0.0714【例題】在選擇期為三年的選擇-終極生命表研究中，已知:(1)xqxqx+1qx+2qx+3x+3600.090.110.130.1563610.100.120.140.1664620.110.130.150.1765630.12

17、0.140.160.1866640.130.150.170.1967（2）李先生于2000年1月1日投保，投保時的年齡剛好為為60歲；（3）P表示李先生從2001年1月1日活過2008年1月1日的概率。P=7p60+1=(p60+1)(p60+2)(p63)(p64)(p65)(p66)(p67) =(1q60+1)(1q60+2)(1q63)(1q64)(1q65)(1q66)(1q67) =0.890.870.850.840.830.820.81=0.3047例假定有兩位老人今年都是65歲。甲老人是今年剛剛體檢合格購買的保險，乙老人是10年前購買的保險，至今仍在保障范圍內。使用上面給出的選

18、擇終極生命表估計兩位老人分別能活到73歲的概率。 甲老人的生命表軌跡甲老人由于剛進入保障范圍，所以前5年使用死亡率相對較小的選擇生命表，五年選擇期滿回歸到終極生命表。x選擇表終極表64.0249.0354.0447.0554.0678.07816965.0273.0387.0489.0607.0742.08557066.0298.0424.0535.0664.0812.09367167.0326.0464.0586.0727.0889.102472乙老人的生命表軌跡x選擇表終極表60.0175.0249.0313.0388.0474.05456561.0191.0272.0342.0424.0

19、518.05966662.0209.0297.0374.0463.0566.06526763.0228.0324.0409.0507.0620.07146864.0249.0354.0447.0554.0678.07816965.0273.0387.0489.0607.0742.08557066.0298.0424.0535.0664.0812.09367167.0326.0464.0586.0727.0889.102472解:則甲老人能活到73歲的概率為 則乙老人能活到73歲的概率為 有關分數(shù)年齡的假設 使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)三種假定均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)分數(shù)期死亡均勻分布的生存函數(shù)圖示三種假定下生存函數(shù)比較