江蘇南京師大附中2015屆高三12月段考試卷

1、江蘇南京師大附中2015屆高三12月段考試卷 數(shù)學(xué) 2014.12.30注意事項：本試卷共4頁，包括填空題(第1題第14題)、解答題(第15題第20題)兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答卷紙相應(yīng)位置上 1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3i和1i對應(yīng)的點間的距離為 2在如圖所示的正方形中隨機(jī)擲一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓(圓中陰影部分)中的概率是 3對某種花卉的開放花期追蹤調(diào)查，調(diào)查情況如下：花期(天)1113141617192022個數(shù)20403010則這種花卉的平均花期為 天4若sin eq f(3,5)，eq bl

2、c(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4) 5直線xcos eq r(3)y20(R)的傾斜角的范圍是 6設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(1)1，則f(2014) 7閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序， 則輸出i的值為 8若等邊三角形ABC的邊長為2eq r(3)，平面內(nèi)一點M滿足，則 9有下面四個判斷：命題“設(shè)a、bR，若ab6，則a3或b3”是一個假命題；若“p或q”為真命題，則p、q均為真命題；命題“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函數(shù)f(x)lneq blc(

3、rc)(avs4alco1(af(2,x1)的圖象關(guān)于原點對稱，則a3其中正確的有 個10若雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為 11設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)，計算得f(2)eq f(3,2)，f(4)2，f(8)eq f(5,2)，f(16)3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為 12已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為 13設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對于任意x1,

4、1，都有f(x)0成立，則實數(shù)a的值為 14已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x) 成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12則數(shù)列的通項公式an 二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分） 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且b2eq f(1,2)ac(1)求證：cos Beq f(3,4)；(2)若cos(AC)cos B1，求角B的大小16（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，

5、E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(1)求證：直線EF平面BC1A1；(2)求證：EFB1C17(本小題滿分14分) 經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)（以30天計），日旅游人數(shù)（萬人）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，人均消費(fèi)（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（）求該城市的旅游日收益（萬元）與時間的函數(shù)關(guān)系式；（）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）18.（本小題滿分16分）已知拋物線D的頂點是橢圓C：eq F(x2,16)eq F(y2,15)1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合 （1）求拋物線D的方程； （2）過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點 若直線l的斜率為1，求MN的長；

6、是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由19（本小題滿分16分） 設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由20（本小題滿分16分） 記數(shù)列的前項和為（N*），若存在實常數(shù)，對于任意正整數(shù)，都有成立 （1）已知，求證：數(shù)列（N*）是等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列（N*）是等差數(shù)列，求證：； （3）已知，且，設(shè)為實數(shù)，若N*，求的取值范圍南京師大附中2015屆高三12月段考試卷 數(shù) 學(xué) 2014.12.30注意事項：本試卷共4頁，包括填空題(第1題

7、第14題)、解答題(第15題第20題)兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答卷紙相應(yīng)位置上 1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3i和1i對應(yīng)的點間的距離為 解析3i1i|42i|eq r(4)222)eq r(20)2eq r(5).答案2eq r(5)2在如圖所示的正方形中隨機(jī)擲一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓(圓中陰影部分)中的概率是 解析設(shè)正方形的邊長為2，則豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓中的概率為eq f(f(1,2)12,4)eq f(,8).答案eq f(,8)3對某種花卉的開放花期追蹤調(diào)查，調(diào)查情況如下：花期(天)1

8、113141617192022個數(shù)20403010則這種花卉的平均花期為 天解析eq xto(x)eq f(1,100)(1220154018302110)15.9(天)答案15.94若sin eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4) 解析因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，sin eq f(3,5)，所以cos eq f(4,5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(r(2),2)(cos sin )eq f(r(

9、2),10).答案eq f(r(2),10)5直線xcos eq r(3)y20(R)的傾斜角的范圍是 解析:由xcos eq r(3)y20得直線斜率keq f(r(3),3)cos .1cos 1，eq f(r(3),3)keq f(r(3),3).設(shè)直線的傾斜角為，則eq f(r(3),3)tan eq f(r(3),3).結(jié)合正切函數(shù)在eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上的圖象可知，0eq f(,6)或eq f(5,6).6設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(1)1，則f(2014) 解析因為f(x)f(x)

10、，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 014)f(36711)f(1)1.答案17閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序， 則輸出i的值為 解析第一次運(yùn)行結(jié)束：i1，a2；第二次運(yùn)行結(jié)束：i2，a5；第三次運(yùn)行結(jié)束：i3，a16；第四次運(yùn)行結(jié)束：i4，a65，故輸出i4.答案48若等邊三角形ABC的邊長為2eq r(3)，平面內(nèi)一點M滿足，則 解析建立直角坐標(biāo)，由題意，設(shè)C(0,0)，A(2eq r(3)，0)，B(eq r(3)，3)，則Meq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)

11、，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(5,2)2.答案29有下面四個判斷：命題“設(shè)a、bR，若ab6，則a3或b3”是一個假命題；若“p或q”為真命題，則p、q均為真命題；命題“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函數(shù)f(x)lneq blc(rc)(avs4alco1(af(2,x1)的圖象關(guān)于原點對稱，則a3其中正確的有 個解析 對于：此命題的逆否命題為“設(shè)a、bR，若a3且b3，則ab6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，錯誤；“p或q”為真，則p、q至少有一個為真命題，錯誤；“a、bR，a2b22

12、(ab1)”的否定是“a、bR，a2b20，即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為aeq f(3,x2)eq f(1,x3).設(shè)g(x)eq f(3,x2)eq f(1,x3)，則g(x)eq f(3(12x),x4)，所以g(x)在區(qū)間eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)上單調(diào)遞減，因此g(x)maxgeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4，從而a4.當(dāng)x0,知B為為銳角 12分故sin Beq f(1,2)，得Beq f(,6) .14分16（本小題滿分14分） 如圖，在直

13、三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(1)求證：直線EF平面BC1A1；(2)求證：EFB1C. 證明(1)由題知，EF是AA1B的中位線，所以EFA1B2分由于EF平面BC1A1，A1B平面BC1A1，所以EF平面BC1A1.6分(2)由題知，四邊形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1. 8分又A1C1B1ACB90，所以A1C1C1B1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面A1C1B1，A1C1平面A1C1B1，從而A1C1CC1，又CC1C1B1C1，CC1，C1B1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1 又B1C平面BC

14、C1B1，所以A1C1B1C. . 10分因為A1C1BC1C1，A1C1，BC1平面BC1A1，所以B1C平面BC1A1. 12分又A1B平面BC1A1，所以B1CA1B.又由于EFA1B，所以EFB1C. 14分17(本小題滿分14分) 經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)（以30天計），日旅游人數(shù)（萬人）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，人均消費(fèi)（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足.（）求該城市的旅游日收益（萬元）與時間的函數(shù)關(guān)系式；（）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）. 解：（）由題意得， 5分 （）因為 7分當(dāng)時， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號 10分當(dāng)時，可證在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最

15、小值為 13分 由于，所以該城市旅游日收益的最小值為萬元 14分18.（本小題滿分16分）已知拋物線D的頂點是橢圓C：eq F(x2,16)eq F(y2,15)1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合 （1）求拋物線D的方程; （2）過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點 若直線l的斜率為1，求MN的長; 是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由解：(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為. 由,得. 拋物線的焦點為,. 拋物線D的方程為 4分(2)設(shè),. 直線的方程為：, 聯(lián)立,整理得: =9分 設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過

16、E作直線的垂線,垂足為F,設(shè)直線與圓E的一個交點為.可得: 11分即= 14分當(dāng)時, ,此時直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值.因此存在直線滿足題意 16分19（本小題滿分16分） 設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解：（1）的定義域為2分令=a2-4. 當(dāng)故上單調(diào)遞增3分 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào) 遞增5分 當(dāng)?shù)膬筛鶠椋?當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，故分別 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減8分（2）由（1）知，因為，所以又由(1)知，于是10分若存在，使得則12分即 亦即再由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以與式矛盾故不存在，使得.16分20（本小題滿分16分） 記數(shù)列的前項和為（N*），若存在實常數(shù)，對于任意正整數(shù)，都有成立 （1）已知，求證：數(shù)列（N*）是等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列（N*）是等差數(shù)列，求證：； （3）已知，且，設(shè)為實數(shù)，若N*，求的取值范圍解：（1）由，得（N*）， 從