第六章微分中值定理及其應(yīng)用-瓊州學(xué)院質(zhì)量工程(共20頁)

1、第六章 微分(wi fn)中值定理及其應(yīng)用習(xí)題(xt)1拉格朗日定理(dngl)和函數(shù)的單調(diào)性1、試討論下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使：（1） （2）f（x）=|x|，-1x1。2、證明：（1）方程（這里c為常數(shù)）在區(qū)間0，1內(nèi)不可能有兩個不同的實(shí)根；（2）方程（n為正整數(shù)，p、q為實(shí)數(shù)）當(dāng)n為偶數(shù)時至多有兩個實(shí)根；當(dāng)n為奇數(shù)時至多有三個實(shí)根。3、證明定理6、2推論2。4、證明（1）若函數(shù)f在a，b上可導(dǎo)，且，則f（b）f（a）+ m（b - a）；（2）若函數(shù)f在a，b上可導(dǎo)，且，則|f（b）- f（a）|M（b-a）；（3）對任意實(shí)數(shù)，都有。5、應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：（

2、1），其中0a0。6、確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f（x）=； （2）f（x）=；（3）f（x）=； （4）f（x）=。7、應(yīng)用函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性證明下列不等式：（1）；（2）；（3）。8、以s（x）記由（a，f（a），（b，f（b），（x，f（x）三點(diǎn)組成的三角形面積，試對s（x）應(yīng)用(yngyng)羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理。9、設(shè)f為a，b上二階可導(dǎo)函數(shù)，f（a）=f（b）=0，并存在(cnzi)一點(diǎn)使得f（c）0。證明至少存在一點(diǎn)，使得。10、設(shè)函數(shù)f在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且單調(diào)。證明在（a，b）內(nèi)連續(xù)。11、設(shè)p（x）為多項式，為p（x）=0的r重實(shí)根。證明必定是的r 1

3、重實(shí)根。12、證明：設(shè)f為n階可導(dǎo)函數(shù)，若方程f（x）=0有n+1個相異的實(shí)根，則方程至少有一個實(shí)根。13、設(shè)a，b0。證明方程=0不存在正根。14、證明：。15、證明：若函數(shù)f，g在區(qū)間a，b上可導(dǎo)，且，則在（a，b內(nèi)有f（x）g（x）。2柯西中值定理和不定式極限1、試問(shwn)函數(shù)在區(qū)間-1，1上能否(nn fu)應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？2、設(shè)函數(shù)f在a，b上可導(dǎo)。證明(zhngmng)：存在，使得 。3、設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。證明： 。4、設(shè)。證明存在，使得 。5、求下列不定式極限（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（

4、9）； （10）；（11）； （12）。6、設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a的某個鄰域具有二階導(dǎo)數(shù)。證明(zhngmng)：對充分小的h，存在，使得(sh de) 。7、求下列(xili)不定式極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。8、設(shè)f（0）=0，在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且。證明： 。9、證明定理6、6中情形時的洛必達(dá)法則。10、證明：為有界函數(shù)。3泰勒公式1、求下列函數(shù)帶佩亞諾型的麥克勞林公式：（1）f（x）=；（2）f（x）= arctanx到含的項；（3）f（x）= tanx到含的項。2、按例4的方法求下列(xili)極限：（1）； （2）；（3）。3、求下列函數(shù)

5、在指定(zhdng)點(diǎn)處帶拉格朗日余項的泰勒公式：（1）f（x）=，在x = 1處；（2）f（x）=，在x = 0處。4、估計下列近似公式(gngsh)的絕對誤差：（1），當(dāng)|x|；（2）。5、計算：（1）數(shù)e準(zhǔn)確到；（2）lg11準(zhǔn)確到。4函數(shù)的極值與最大（小）值1、求下列函數(shù)的極值：（1）f（x）=； （2）f（x）=；（3）f（x）=； （4）f（x）=。2、設(shè)f（x）=（1）證明(zhngmng)：x = 0是極小值點(diǎn)；（2）說明f的極小值點(diǎn)x = 0處是否滿足極值的第一(dy)充分條件或第二充分條件。3、證明(zhngmng)：若函數(shù)f在點(diǎn)處有，則為f的極大（?。┲迭c(diǎn)。4、求下列函數(shù)

6、在給定區(qū)間上的最大最小值：（1）y =；（2）y =；（3）y =。5、設(shè)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，并且在I上僅有唯一的極值點(diǎn)。證明：若是f的極大（?。┲迭c(diǎn)，則必是f（x）在I上的最大（?。┲迭c(diǎn)。6、把長為l的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大？7、有一個無蓋的圓柱形容器，當(dāng)給定體積為V時，要使容器的表面積為最小，問底的半徑與容器高的比例應(yīng)該怎樣？8、設(shè)用某儀器進(jìn)行測量時，讀得n次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為。問以怎樣的數(shù)值x表達(dá)所要測量的真值，才能使它與這n個數(shù)之差的平方和為最小。9、求一正數(shù)a，使它與其倒數(shù)之和最小。10、求下列函數(shù)的極值：（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3

7、）f（x）=。11、設(shè)f（x）=在處都取得(qd)極值，試求a與b；并問這時f在與是取得(qd)極大值還是極小值？12、在拋物線哪一點(diǎn)的法線(f xin)被拋物線所截之線段為最短。13、要把貨物從運(yùn)河邊上A城運(yùn)往與運(yùn)河相距為BC= a km的B城，輪船運(yùn)費(fèi)的單價是元/km，火車運(yùn)費(fèi)的單價是元/km（），試求運(yùn)河邊上的一點(diǎn)M，修建鐵路MB，使總運(yùn)費(fèi)最省。5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)1、確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)：（1）y =； （2）y =；（3）y =； （4）y =；（5）y =。2、問a和b為何值時，點(diǎn)（1，3）為曲線y =的拐點(diǎn)？3、證明：（1）若f為凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則f為凸函數(shù)；（2）若f

8、，g均為凸函數(shù)，則f+g為凸函數(shù)；（3）若f為區(qū)間I上凸函數(shù)，g為Jf（I）上凸增函數(shù)，則gf為I上凸函數(shù)。4、設(shè)f為區(qū)間I上嚴(yán)格凸函數(shù)。證明：若為f的極小值點(diǎn)，則為f在I上唯一的極小值點(diǎn)。5、應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式：（1）對任意實(shí)數(shù)a，b，有；（2）對任何(rnh)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，有。6、證明(zhngmng)：若f，g均為區(qū)間I上凸函數(shù)，則F（x）= maxf（x），g（x）也是I上凸函數(shù)。7、證明(zhngmng)：（1）f為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對I上任意三點(diǎn)，恒有 ；（2）f為嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是0。8、應(yīng)用詹森不等式證明：（1）設(shè)，有 ；（2）設(shè)，有 ，其中。6函數(shù)圖象

9、的討論按函數(shù)作圖步驟，作下列函數(shù)圖象：（1）y =； （2）y =；（3）y = x 2arctanx； （4）y =；（5）y =； （6）y =；（7）y =； （8）y =?？偩毩?xí)題1、證明(zhngmng)：若f（x）在有限開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在(cnzi)一點(diǎn)，使。2、證明(zhngmng)：若x0，則（1），其中；（2）。3、設(shè)函數(shù)f在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且ab0。證明存在，使得 。4、設(shè)f在a，b上三階可導(dǎo)，證明存在，使得 。5、對f（x）=ln（1+x）應(yīng)用拉格朗日中值定理，試證：對x0有 。6、設(shè)為n個正數(shù)，且 f（x）=。證明(zhngmng)

10、：（1）；（2）。7、求下列(xili)極限：（1）； （2）；（3）。8、設(shè)h0，函數(shù)(hnsh)f在內(nèi)具有n+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，f在內(nèi)的泰勒公式為 。證明：。9、設(shè)k0，試問k為何值時，方程arctanx kx = 0存在正實(shí)根。10、證明：對任一多項式p（x），一定存在與，使p（x）在（-，）與（，+）分別嚴(yán)格單調(diào)。11、討論函數(shù) （1）在x=0點(diǎn)是否可導(dǎo)？（2）是否存在x=0的一個鄰域(ln y)，使f在該鄰域內(nèi)單調(diào)？12、設(shè)函數(shù)(hnsh)f在a，b上二階可導(dǎo)，。證明(zhngmng)存在一點(diǎn)，使得 。13、設(shè)函數(shù)f在0，a上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，f在（0，a）內(nèi)取得最大值。試證 。14

11、、設(shè)f在0，+）上可微，且。證明：在0，+）上f（x）0。15、設(shè)f（x）滿足，其中g(shù)（x）為任一函數(shù)。證明：若，則f在，上恒等于0。16、證明：定圓內(nèi)接正n邊形面積將隨n的增加而增加。17、證明：f為I上凸函數(shù)的充要條件是對任何，函數(shù) 為0，1上的凸函數(shù)。18、證明：（1）設(shè)f在（a，+）上可導(dǎo)，若都存在，則 。 （2）設(shè)f在（a，+）上n階可導(dǎo)，若和都存在，則 。19、設(shè)f為上的二階可導(dǎo)函數(shù)。若f在上有界，則存在，使。習(xí)題(xt)答案2柯西中值定理(dngl)和不定式極限5、（1）1；（2）；（3）1；（4）2；（5）1；（6）；（7）1；（8）；（9）1；（10）0；（11）；（12）；

12、7、（1）；（2）0；（3）1；（4）；（5）；（6）0；（7）；（8）。3泰勒(ti l)公式1、（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）=。2、（1）；（2）；（3）。3、（1）f（x）=；（2）f（x）=，。4、（1）； （2）。5、（1）??； （2）。4函數(shù)的極值與最大（小）值1、（1）極大值；（2）極小值f（-1）= -1，極大值f（1）=1；（3）極小值f（1）= 0，極大值；（4）極大值f（1）=。5、（1）最小值f（-1）= -10，最大值f（1）=2；（2）最小值，無最大值；（3）最小值。6、邊長為。7、半徑(bnjng)與高之比為1：1。8、取。9、取a=1。10

13、、（1）極小值，極大值；（2）極小值f（- 1）= - 2，極大值f（1）=2；（3）極小值f（1）=0，極大值。11、極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)。12、。13、。5函數(shù)(hnsh)的凸性與拐點(diǎn)1、（1）凹區(qū)間(q jin)，凸區(qū)間(q jin)，拐點(diǎn)(ui din)；（2）凹區(qū)間，凸區(qū)間；（3）凹區(qū)間，凸區(qū)間，拐點(diǎn)；（4）凹區(qū)間，凸區(qū)間，拐點(diǎn)；（5）凹區(qū)間，凸區(qū)間，拐點(diǎn)。2、。6函數(shù)圖象的討論（1）x- 5- 21+00+0+y增凹極大值減凹拐點(diǎn)減凸極小值增凸（2）x- 30+0+0+0+y增凹極大值減凹增凹拐點(diǎn)增凸?jié)u近線；（3）x- 101+00+0+y增凹極大值減凹拐點(diǎn)減凸極小值增凸?jié)u近線y =

14、 x ，y = x +；（4）x12+00+y增凹極大值減凹拐點(diǎn)減凸?jié)u近線y = 0；（5）奇函數(shù)x0100+00+y拐點(diǎn)減凹拐點(diǎn)減凸極大值增凸（6）偶函數(shù)x000+y極大值f（0）=1減凹拐點(diǎn)減凸?jié)u近線y = 0；（7）x0+不存在0+0+不存在+y增凹拐點(diǎn)增凸極大值0減凸極小值增凸（8）設(shè)，x0不存在+0+0不存在y減凸拐點(diǎn)減凹極小值0增凹極大值x20+0+y減凹拐點(diǎn) 減凸極小值增凸總練習(xí)題7、（1）e；（2）；（3）0。典型(dinxng)習(xí)題解答1、（1的第2（1）題）方程(fngchng)（這里c為常數(shù)）在區(qū)間0，1內(nèi)不可能有兩個(lin )不同的實(shí)根。證明：記，設(shè)f（x）=0在0，

15、1內(nèi)有兩個不同的實(shí)根，且，則。又由于f在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以。即。故（矛盾）。因此方程（這里c為常數(shù)）在區(qū)間0，1內(nèi)不可能有兩個不同的實(shí)根。2、（1的第5（1）題）應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式，其中0ab。證明：由于（因?yàn)?a0，即。4、（2的第2題）設(shè)函數(shù)f在a，b上可導(dǎo)。證明：存在，使得 。證明：由于。故構(gòu)造函數(shù)，由于f、在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，所以F（x）在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知，。即。5、（2的第5（1）題）求不定式極限。解：=1。6、（3的第2（1）題）求極限。解：因?yàn)?所以(suy)=。7、（4的第1（1）題）求函數(shù)f（x）=的極值(j zh)。解：令，解得。又，所以(suy)在處f（x）有極大值。由于當(dāng)時，故在x = 0的鄰域內(nèi)f嚴(yán)格遞增，所以在x = 0處f（x）不能取得極值。8、（5的第1（1）題）確定函數(shù)y =的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)。解：令，得。當(dāng)時，故函數(shù)y在內(nèi)為凹函數(shù)；當(dāng)時，故函數(shù)y在內(nèi)為凸函數(shù)。由于在與內(nèi)的符號相反，故為曲線的拐點(diǎn)。9、（5的第5（1）題）應(yīng)用凸函數(shù)概念證明不等式，其中。