7.2.2　復數(shù)的乘、除運算

1、復數(shù)的乘、除運算自主預習0探新Ml學習目標核心素養(yǎng).掌握復數(shù)的乘法和除法運算.（重點 難點）.理解復數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法 對加法的分配律.（易混點）. 了解共朝復數(shù)的概念.（難點）.通過學習復數(shù)乘法的運算律，培 養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).借助復數(shù)的乘除運算，提升數(shù) 學運算的素養(yǎng).ZIZHUYUXI TAZXIZNHI匚新知初探二.復數(shù)的乘法法那么（1）復數(shù)代數(shù)形式的乘法法那么 z1=a + bi9 Z2 = c+di, a, b, c, dR,那么 ziZ2 = （+藥）（c+di）= Z?J） +（Qd+Z7c）i.思考1:復數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同？提示復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的

2、，有一點不同即必須在所得結(jié)果 中把i2換成一1,再把實部、虛局部別合并.（2）復數(shù)乘法的運算律對于任意Zl, Z2, Z3C,有交換律Z1Z2 = Z2Z1結(jié)合律(zi Z2)Z3=Z1(Z2Z3)乘法對加法的分配律Z1(Z2 + Z3)= ZlZ2 + ziZ3思考2： |z|2=z2,正確嗎？提示不正確.例如，|i|2=l,而i?= -1.復數(shù)代數(shù)形式的除法法那么c, dR,且 c+diWO)ac+bd bead3+bi)：(c+di)= c.2 + / + c2 + 13.復數(shù)（3+2i）i等于（B. -2+3iB. -2+3iA. -2 3iC. 2-3iC. 2-3iD. 2 + 3

3、iB (3 + 2i)i=3i+2ii=-2+3i,選 BJ.i是虛數(shù)單位，那么產(chǎn) =()iA. l-2i B. 2-i C. 2+i D. 1+萬3 + i (3 + i)(l+i) 2+4i,.D rH = (l-i)(l+i)= 2 = 1 +2l合作探究。提素養(yǎng)HEZUQTANJIU TISUYANG鰭型1復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【例1】(1)假設(shè)復數(shù)(1i)(a+i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，那么實數(shù)。 的取值范圍是()A. (8, 1)B. (0, 1)C. (1, +8)D. (-1, +8)(2)計算：(12i)(3+4i)(2+i)；(3+4i)(34i)；(l+i.(1)

4、B z=(l i)(a+i) = (a+l) + (l-a)i,因為對應(yīng)的點在第二象限，所以10,解得0,(2)解(12i)(3+4i)( 2+i) = (ll2i)(2+i)= -20+15i.(3+4i)(3-4i) = 32-(4i)2=9-(-16) = 25.(l+i)2=l+2i + i2=2i.規(guī)律方短.兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法那么進行，注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡 便運算，例如平方差公式、完全平方公式等.常用公式(1 )(tz+bi)2=a2-r2abib2(a, Z?R)； (2)(。+Z?i)(bi)=層+02(，/?GR)； (3)(l

5、i)2=2i.領(lǐng)遇甄瞬.1. (1)以下各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A. i(l+i)2B. i2(l-i)C. (1+i)2D. i(l+i)(2)復數(shù)z=(l+2i)(3i),其中i為虛數(shù)單位，那么z的實部是.(1)C (2)5 (1)A 項,i(l+i)2=i(l+2i+i2)=iX2i=-2,不是純虛數(shù).B 項，i2(l-i)=-(l-i)=-l+i,不是純虛數(shù).C 項，(l+i)2=l+2i+i2=2i,是純虛數(shù).D 項，i(l+i) = i+i2= 1+i,不是純虛數(shù).應(yīng)選C.(2)(1 +2i)(3-i) = 3-i + 6i-2i2=5+5i, 所以z的實部是5.浮型2.3

6、+ i【例2而=()浮型2.3 + i【例2而=()復數(shù)代數(shù)形式的除法運算A. l+2iA. l+2iB. l-2iC. 2+iD. 2-i假設(shè)復數(shù)z滿足z（2-i）=l l +7i（i是虛數(shù)單位），那么z為（）A. 3+5iB. 3-5iC. -3+5iD. 13 5id)D (2)A (1)3 + i (3 + i)(l-i) 4-2i T+i = (l+i)(l-i)= 2(2)Vz(2-i)=ll+7i,. ll+7i (ll+7i)(2+i) 15 + 25i. .(1)如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)zi, Z2對應(yīng)的向量分別是。4, 0B,那么復數(shù)段對D.第四象限D(zhuǎn).第四象限應(yīng)的點位于()

7、A.第一象限C.第三象限(2)計算：71 2 i(1)B 由復數(shù)的幾何意義知，zi = -2-i, Z2 = i,所以一=：=-l+2i, 221對應(yīng)的點在第二象限.5 、 A+iY U+il ( 2i 4(2)解：法一：卜匕廣(一)4=l4一.冉 1+i(1+ 2i .云一，口為 li (l-i)(l+i)-2-b、券型3復數(shù)運算的綜合問題探究問題.假設(shè)2=Z,那么z是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？提示Z= z OzR,利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù).假設(shè)zWO且z+;=0,那么2是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？提示zWO且z+z=O,那么z為純虛數(shù)，利用這個性質(zhì)，可證明一個復數(shù) 為純虛數(shù).三

8、個實數(shù)|z|, |0|, z，具有怎樣的關(guān)系？提示設(shè)z=a+bi,那么 z =abi9所以z =ja1-h2, I z I =a2 +（=、/岸+力,Z Z =（ + /?i）（一歷） = / 一（折）2 = 2 + 人2,所以|z|2 = | Z |2 = ZZ.【例3】（1）復數(shù)z=漕焉,是z的共輾復數(shù)，那么z-7等于（）2D.2D.（2）復數(shù)z滿足團=小,且（12i）z是實數(shù)，求.思路探究可以先設(shè)復數(shù)的代數(shù)形式，再利用復數(shù)的運算性質(zhì)求解；也可 以利用共舸復數(shù)的性質(zhì)求解.小 a讓 小+ i- V + i i（l-曲） i i（l+Vi）（1）A 法 ： Z = （l巾 i）2=（l怖）2

9、= （1由 i）2=TT=4= 2s/l i - 1 z =- 4 -4, z =4.ci- - _ #+ i法一z(1小i產(chǎn)一+ ilV3 + i| _2_1憶L (1一小評-|(i-J3i)2|-4-2? Zz =不(2)解 設(shè) z=+歷(a, bR),那么(12i)z=(l2。(+砥=(+2/2)+ 3 2a)i.又因為(12i)z是實數(shù)，所以-2 = 0,即人=2凡 又團=小，所以/+ =5.解得。=1, b=2.所以 z=l+2i 或一12i,所以=12i 或一l+2i,即 7 =(l-2i).母題探究.在題設(shè)條件不變的情況下，求三. z解 由例題(1)的解析可知z=乎+；, z =

10、一乎一1，zz =；, .芻=-2.把題設(shè)(2)的條件“(12i)z是實數(shù)”換成“(12i)z是純虛數(shù)”，求z.解設(shè) z=a+Z?i,那么 z =一bi,由例題(2)的解可知 a= 2b,由|z|=$?P 小，得 b=l, a=2;或 Z?= 1, a = 2.所以 z =2 i,或 z =2 + 1.規(guī)律方法.由比擬復雜的復數(shù)運算給出的復數(shù)，求其共朝復數(shù)，可先按復數(shù)的四那么 運算法那么進行運算，將復數(shù)寫成代數(shù)形式，再寫出其共軌復數(shù).注意共軟復數(shù)的簡單性質(zhì)的運用.匚課堂小結(jié)二.復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算類似于多項式的乘法，同時注意i2=-l的應(yīng) 用.復數(shù)代數(shù)形式的除法運算采用了分母實數(shù)化的思想，即

11、應(yīng)用z=|z|2解題.記住幾個常用結(jié)論：(l)i4,?=l, i4n+1 = i, i4+2=-l, j4+3=_j(N).(2)(li)2 = 2i.(3)假設(shè)Z= Z 0Z是實數(shù)；假設(shè)z+z=O,那么Z是純虛數(shù)；z2 =| Z F = |z|2.當堂達標。雙基DANGTANGDABIAOGUSHUANGII.判斷正誤(1)實數(shù)不存在共輾復數(shù).()(2)兩個共輾復數(shù)的差為純虛數(shù).() TOC o 1-5 h z (3)假設(shè) 21, Z2&C,且 Z+ + z3 = 0,那么 Zl=22 = 0.()答案(l)x (2)V (3)X.復數(shù)z=2 i,那么z，的值為()A. 5B.5 C. 3D.3A z-T =(2-i)(2 + i) = 22-i2=4+1=5.假設(shè)復數(shù)z滿足2(1+。=2退為虛數(shù)單位)，那么|z|=()A. 1 B. 2C.小D.y3C 因為 z(l+i) = 2i, 所以 z=型1+i, 故|z|=，I可P=也. I 2i4.復數(shù) zi = ( 1+i)(l+bi), Z2= j _j，其中.假設(shè)