高三數(shù)學集體備課——橢圓與雙曲線

1、高三數(shù)學集體備課橢圓與雙曲線謝旭東 2009-11-18一、范圍（一）考試要求：1掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)。2掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。3了解圓錐曲線的初步應用。4. 理解數(shù)形結合的思想.（二）解讀考試要求1.橢圓的定義：（1）第一定義；（2）第二定義. 2.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)：標準方程、圖形、頂點、對稱軸、焦點、焦距、焦半徑. 注意：定義的數(shù)學表達式；定義中軌跡存在的條件2a(2a|F1F2|)3.雙曲線的定義：第一定義；第二定義4.雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)：標準方程、圖形、頂點、對稱軸、焦點、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑.（

2、三）本章的特點 圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，這部分內(nèi)容的特點是：（1）曲線與方程的基礎知識要求很高，要求熟練掌握并能靈活應用.（2）綜合性強在解題中幾乎處處涉及函數(shù)與方程、不等式、三角及直線等內(nèi)容，體現(xiàn)了對各種能力的綜合要求（3）計算量大要求學生有較高的計算水平和較強的計算能力(四) 教學目標：1、正確理解橢圓、雙曲線和的定義，明確焦點、焦距的概念；2、能根據(jù)橢圓、雙曲線的定義推導它們的標準方程；3、記住橢圓、雙曲線的各種標準方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線的標準方程；4、掌握橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和

3、拋物線；5、掌握a、b、c、p、e之間的關系及相應的幾何意義；6、利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和的參數(shù)方程，并掌握它的應用；7、掌握直線與橢圓、雙曲線位置關系的判定方法.（五）重難點歸納 1、與圓錐曲線定義有關的應用問題，第一定義解決好焦點三角形；第二定義解決好準線和焦點有關的距離的最大（?。﹩栴}；2、與圓錐曲線性質(zhì)有關的問題，綜合其他知識求橢圓、雙曲線方程或研究其他問題；難點是學生對焦半徑公式的記憶。3、求圓錐曲線的方程，注意定位，定量。焦點定位問題及相應解法策略；4、直線與圓錐曲線的位置關系問題；對運算能力提出較高的要求.二：規(guī)律

4、總結1、求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應的a，b，p等.要充分認識橢圓中參數(shù)a，b，c，e的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關. 2、涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用定義. 圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點(兩相異定點)，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準線(一定點和不過該點的一定直線)或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應用.二要數(shù)形結合，既

5、熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算；.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中，橢圓中、雙曲線中.重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.3、當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理，二是點差法；4、直線與圓錐曲線的位置關系問題，利用數(shù)形結合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.5、對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小

6、等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.6、與圓錐曲線有關的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.7、.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍,二是建立不等式，通過解不等式求范圍.三、近年來高考試題回放高考在考什么？類型一：與圓錐曲線定義有關的問題1、（07遼寧卷）設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則22、（07浙江）已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是準線上一點，且，則雙曲線的離心率是（ B ）A. B. C.2 D.33、（08上海文科12）設是橢圓上的點若、是橢圓的兩個焦點

7、，則等于( D )ABCD.4、（08北京理4）若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線5、（08浙江理科12文科13）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則 答案：86、（2009全國卷理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則= 故選A a. b. 2 C. D. 3 類型二：與圓錐曲線性質(zhì)有關的問題1、（2007全國）設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為( B )A B C D 2、（2008福建）雙曲線的兩個焦點為、，若P為其上一

8、點，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ B ） A. B. C. D.3、（08天津理科5）設橢圓上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P點到右準線的距離為（ B ）A6B2CD4、（08全國2理9）設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）AB C D5、（08全國理科15）在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 答案：6、(08海南理寧夏14）設雙曲線的右頂點為A，右焦點為F過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為 7、（2009全國卷理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為 故選A w.w.w.k.s.5.u.c.o

9、.m A B. C. D. 解：設雙曲線的右準線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又 典例三：求圓錐曲線的方程1、（07全國2）已知雙曲線的離心率為，焦點是，則雙曲線方程為（）A B C D2、（2008年山東）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為（ A ）（A） (B) (C) (D)3、（2008年天津卷7）設橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（ B ）（A） （B） （C） （D）4、（08重慶理8）已知雙

10、曲線的一條漸近線為，離心率，則雙曲線方程為（ C ）A B. C D5.（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為 【解析】，則所求橢圓方程為.6、（2009天津卷文）設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）【答案】CA B C D【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為典例四：直線與圓錐曲線的位置關系問題1、（07陜西理）已知橢圓C:（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為.()求橢圓C的方程;()設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積

11、解：（）設橢圓的半焦距為，依題意 ，所求橢圓方程為（）設，（1）當軸時，（2）當與軸不垂直時，設直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得 ，當且僅當，即時等號成立當時，綜上所述當最大時，面積取最大值DFByxAOE2（08全國理科21文科22）設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相較于E、F兩點.()若 ,求k的值；()求四邊形AEBF面積的最大值. （）解：依題設得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或 （）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為，又

12、，所以四邊形的面積為，當，即當時，上式取等號所以的最大值為 解法二：由題設，設，由得，故四邊形的面積為，當時，上式取等號所以的最大值為 3. (08全國I文22理21)（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程解：（1）設，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得 則離心率（2）過直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入，化簡有將數(shù)值代入，有 解得，求得方程為：4、（2009全國卷理）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭?/p>

13、為1時，坐標原點到的距離為 （I）求，的值； （II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。解:(I）設，直線，由坐標原點到的距離為 則，解得 .又.（II）由(I）知橢圓的方程為.設、 由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設 ，代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達定理有：.假設存在點P，使成立，則其充要條件為：點，點P在橢圓上，即。整理得。 又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當;當.全國2卷近幾年高考在考什么？2005年解幾中線線平行的判斷; 以拋物線為載體，考查直線知識、設而不求、韋達定理.問題是：證明直線過定點、求截

14、距范圍.2006年求橢圓內(nèi)接三角形的周長，注意定義;直線與圓相交；拋物線為載體，考查導數(shù)求切線、設而不求、韋達定理.問題是：證明向量數(shù)積是定植、建模找函數(shù)表達式，求最值.2007年考查雙曲線的離心率; 以圓為載體，考查直線與圓的位置關系、數(shù)列知識.問題是：求圓的方程、建模求向量的數(shù)量積的取值范圍.2008年雙曲線離心率的取值范圍;以橢圓為載體，用向量包裝，求斜率及內(nèi)接四邊形面積的最大值2009年求雙曲線離心率；以橢圓為載體，求長半軸、短半軸。平面向量為條件，探求存在性問題四、熱點透析及解析幾何高考的命題趨勢高考對圓錐曲線的考查一直是一個熱點。（1）考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)，多數(shù)考查圓錐曲線的定

15、義、方程、和性質(zhì)（2）求曲線方程和求軌跡；（3）關于直線與圓及圓錐曲線的位置關系的問題.客觀題中會以求橢圓離心率、雙曲線的漸近線方程和定義的應用為主，主觀題多對圓錐曲線方程和直線與圓錐曲線的位置關系綜合考查，可涉及弦長、焦點弦、及中點弦等問題，很容易與其他知識，如三角、數(shù)列、平面向量（尤其這一點）等組成探索性的綜合性大題，考查思維能力，實現(xiàn)試題的區(qū)分度。 （1）題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三（或二）個選擇題，一個填空題，一個解答題上，分值約為30分左右， 占總分值的20%左右。 （2）整體平衡，重點突出：考試說明中解析幾何部分原有33個知識點，現(xiàn)縮為19個知識點，一般考查的知識

16、點超過50，其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既注意全面，更注意突出重點， 對支撐數(shù)學科知識體系的主干知識， 考查時保證較高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型： 求曲線方程（類型確定、類型未定）；直線與圓錐曲線的交點問題（含切線問題）；與曲線有關的最（極）值問題；與曲線有關的幾何證明(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直)；探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征；（3）能力立意，滲透數(shù)學思想方法：函數(shù)思想，方程思想（待定定系數(shù)），等價轉化思想，數(shù)形結合的思想及掌握坐標法、對稱思想、參數(shù)思想等（4）題型新穎，位置不

17、定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關知識的聯(lián)系（如向量、函數(shù)、方程、不等式等），凸現(xiàn)教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。五、教學方法：針對不同課程構建不同的教學流程，強調(diào)學生的主體地位，特別注重學生思維的充分暴露，強化知識體系的建立，確定明確的教學方法和教學手段，有力地促進學生更加主動地學習，較好地構建知識體系，形成良好的思維品質(zhì)。下面為擬采用的教學方法： （1）、關于數(shù)學基本原理的認知與建立的教學主要采取“導引探究式”教學方法。 、創(chuàng)設問題情境,誘導學生發(fā)現(xiàn)、提出問題,激發(fā)探究欲望 、創(chuàng)設思維情境,啟導學生發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方法,培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力 、釋疑解惑,引導學生獨立解決問題,培養(yǎng)邏輯推理能力 、精講總結,理性歸納,使學生形成新的認知結構 、精心設計變式分層練習,使學生在運用知識中形成技能,培養(yǎng)學生遷移與創(chuàng)新的能力 （2）、關于數(shù)學基本原理的應用及深化的教學主要采取“演練互議式 （3）、關于數(shù)學知識結構（小結與復習）的教學主要采取“問題模塊鏈接式”主要環(huán)節(jié)為：