高中物理競賽教程：3.6《萬有引力天體的運(yùn)動》

1、為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1萬有引力天體的運(yùn)動3.6.1萬有引力任何兩個物體間存在一種稱為萬有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1式中G稱為萬有引力常量，其值為|-萬有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體間的萬有引力?？梢宰C

2、明兩個質(zhì)量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f有引力定律計(jì)算，只是計(jì)算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)量為m的均勻分布的球殼對球殼外任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力,等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，它對球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力則為零。測得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個分量，由于地球并不嚴(yán)格是個球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬有引力定律的應(yīng)用天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R,物體質(zhì)量為m則Mm關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的恒星作勻速圓周運(yùn)動的公

3、轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為T,由牛頓定律，恒星對行星的萬有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)動的向心力，故有嚴(yán)Mm4托由此可得恒星的質(zhì)量為GT2為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1設(shè)恒星的球半徑為R,則它的平均密度為MGV3丹GTIV為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1為A，則面積速度為“，由圖3-6-1可知,圖3-6-1這個公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為T,因有-：，上式就可以寫成3托這就很容易求出地球的平均密度了。3.6.2、天體的運(yùn)動開普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動觀察資料

4、。總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動的三定律一一開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽的運(yùn)動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點(diǎn)上第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。下面舉一個例子詳加說明：為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時間內(nèi)掃過的面積A/f-/:Vsin/7故面積速度為=rsin0=rvsin0-,M2Ar2常量式中v為行星運(yùn)動的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或遠(yuǎn)日點(diǎn)時，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90o,故AJI1第三定律：各行星繞太陽運(yùn)動的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即嚴(yán).r=Aa開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動。也適用于衛(wèi)星繞行

5、星的運(yùn)動。當(dāng)半長軸a與半短軸b相等時，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動必為勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力。對于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得GMmv:一=mrr根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系R為地球半徑衛(wèi)星速率為對于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。rRv=1km/s這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足G財用川F面舉一個例子詳加說明:0新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對

6、該行星進(jìn)行探查時發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數(shù)為G=6,67x1Q*ll/V。解1:如圖3-6-2以R表示此星球（包括水層）的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有-八，且-；，；，以一表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為TOC o 1-5 h z44、$叔-三鳳仇23丿叩小3Fh-3R”23-由于，故式可略去其中h的高次項(xiàng)面是近似寫為密一*:f根據(jù)均勻球體表面處重力加速度的公式，可得此星球

7、表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為依題述有,即GM整理上式可解得由于Rh，故近似取2Rh-則式可寫為由和式得此星球表面的重力加速度為以亦/如、心二畑/亦、尺二仕“I爐桝代入式，得Sa=2.7m/s1解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為R。的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為Ro的球體視為由一個均勻的水球（密度為水、半徑為Ro）和一個密度為一半徑為Ro的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對于水球殼層中的任一點(diǎn)人，以，表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有扌戚巾水八4g】=p=亍加“沁由上式可見，gl隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為葉r時，

8、gl的增加量為TOC o 1-5 h z444=-+A/）-r=-333又以-表示上述的密度為0的球在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則有由上式可見，go隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為葉厶r時，go的增加量（為一負(fù)值,表明其實(shí)際上是減少）為(r+Ar)23(廠+/V)r上式演算中利用了近似關(guān)系Emsi.乞叮-。由于要求在水層內(nèi)重力加速度g為恒量，即二；不隨r變化而變化，故應(yīng)有丁加P歡4=-y33丿近似取r=R0，乃得則行星內(nèi)層密度為由上可得此行星內(nèi)外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）=2.7m/s內(nèi)容總結(jié)萬有引力天體的運(yùn)動3.6.1、萬有引力任何兩個物體間存在一種稱為萬有引力的相互作用力質(zhì)量為m的