3．4 基本不等式2

1、課題:3.4基本不等式【教學三維目標】1知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣【教學重難點】重點：應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；難點：基本不等式等號成立條件【教學方法】：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數(shù)學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案m【授

2、課類型】：新授課【課時安排】：1課時【教學過程】：一、問題情境情境1：設，則與的等差中項和等比中項分別是？問題1：兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)有怎樣的關系呢？情境2：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。問題1：請觀察會標圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?問題2：若設直角三角形的兩直角邊分別為a、b,則四個直角三角形的面積之和與正方形的面積分別是多少？問題3：你能從以上問題中提煉出一個不等式嗎？ 學生討論結果： 。問題4：不等式中的等號什么時候成立呢？ 當a=b四個直角三角形都變成了等腰

3、直角三角形，他們的面積和恰好等于正方形的面積，即。 探索結論：我們得到不等式，當且僅當 時等號成立。問題5：你能對以上不等式進行證明嗎? （作差法，為后續(xù)基本不等式證明打下鋪墊） （教師板演）（二）數(shù)學建構問題1：若設直角三角形的兩直角邊分別為,應怎樣表示這種不等關系?如果把它變形，我們能得到什么？這個不等式 就是今天我們要研究的重點內容，我們把它叫做基本不等式。呈現(xiàn)課題基本不等式的證明問題2：這個不等式怎么證明呢？請與同學討論一下。 ( 請學生分組合作證明上述結論 )基本不等式說明兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)。問題3：你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？在右圖中，AB是圓的

4、直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。易證tADtDB，那么D2AB即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”（三）數(shù)學應用例1.設a,b為正數(shù)，證明下列不等式 （1） （2）學生回答，教師板書點評：直接運用基本不等式，注意定理的條件變式1：求函數(shù)的最大值；變式2：求函數(shù)的值域；以上兩個變式為備用習題，時間來得及就選用，來不及跳過直接講例2放在第二節(jié)課講解。例2. 已知函數(shù)，求此函數(shù)的最小值。 點評：1.）不能直接運用基本不等式，常需要對函數(shù)式進行變形（等價轉化與化歸思想）， 以創(chuàng)造基本不等式成立的條件。）在利用基本不等式求函數(shù)最值時，應注意“一正，二定，三相等”，即必須兩個 量都是正數(shù)，才能直接運用基本不等式；要把函數(shù)式放縮到常數(shù)；等號要能取到。（四）課堂小結 本節(jié)課，我們學習了重要不等式；兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關系（）.它們既是不等式證明的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應用).（五）課后作業(yè)習題3.4 第1題、第3題（1）、（2） 基本