三重積分習(xí)題課-優(yōu)質(zhì)課件

1、三重積分第十章習(xí)題課一、關(guān)于三重積分性質(zhì)和應(yīng)用的題類二、關(guān)于三重積分的題類三、雜題定 義幾何意義(無)性 質(zhì)計(jì)算法應(yīng) 用三重積分主要內(nèi)容物理意義（一）、三重積分常見題目類型1.一般三重積分的計(jì)算：a. 選擇坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.b. 確定積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))c. 寫出積分限 累次積分法d. 計(jì)算要簡(jiǎn)便充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式( 先積一條線, 后掃積分域 )2.改變累次積分的積分次序題目要求改變積分次序或按原積分次序積不出來，必須改變積分次序.3.求由曲面所圍立體的體積4.用二重積分求

2、曲面的面積6.三重積分性質(zhì)的應(yīng)用題（二）、三重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性(1) 交換積分順序的方法(2) 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算(3) 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)(4)被積函數(shù)為1時(shí)巧用其幾何意義【例1 】計(jì)算【解】由對(duì)稱性知（球面坐標(biāo)）作業(yè)題一、關(guān)于三重積分性質(zhì)和應(yīng)用的題類【例2】 設(shè)比較M,N,P的大小.【分析】通過計(jì)算比較大小很煩瑣,注意到積分區(qū)域?yàn)橐灰栽c(diǎn)為球心的球體,具有對(duì)稱性,于是想到是否可利用對(duì)稱性直接作出比較呢? 故 【例3】【分析】利用球面坐標(biāo)【解】二、關(guān)于三重積分的題類【解】利用柱面坐標(biāo)【解】利用直角坐標(biāo)【例4】 【解】面積 【解】柱面坐標(biāo)計(jì)算較繁 【解】球面坐標(biāo)計(jì)算較

3、繁【補(bǔ)例】【解】略得于是（1）（2）得于是Dxy:z =00y x11。Dxy雙曲拋物面教材P106 習(xí)題9-3 第1(1)題【例5】1x+ y=1yozx1z=xy.教材P106 習(xí)題9-3 第1(1)題【例5】z =01x+ y=1ozx1yz=xy.教材P106 習(xí)題9-3 第1(1)題【例5】11z =0ozxx+ y=1y。z=xy.教材P106 習(xí)題9-3 第1(1)題【例5】azobyxcz=xy.練習(xí)教材P106 習(xí)題9-3 第1(4)題zz = 0acz=xyyxb.o教材P106 習(xí)題9-3 第1(4)題練習(xí)azoxycz=xyb.教材P106 習(xí)題9-3 第1(4)題練習(xí)

4、azoxycz=xyb.Dxy:z = 0直角坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？abDxyy x01.Dxy:z = 0用哪種坐標(biāo)？.柱面坐標(biāo)0 xz yDxy【例6】計(jì)算I =1解法1.Dxy:z = 0用哪種坐標(biāo)？.球面坐標(biāo)0 xz yDxy【例6】計(jì)算I =1解法【注】選擇合適的坐標(biāo)系是計(jì)算三重積分的關(guān)鍵(1).區(qū)域由平面圍成,常選擇直角坐標(biāo)系;一般的:(3).區(qū)域由球面錐面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇球面坐標(biāo)系.(2).區(qū)域由圓柱面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇柱面坐標(biāo)系;三、雜題【例7】【解】 在球面坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中 【練習(xí)】【提示】先用柱面坐標(biāo)積分后展成關(guān)于t 的定積分z 0 xy

5、a化為球坐標(biāo)系下的方程r=2a cos.M.r例81Dxy10 xz y【例9】【解】1Dxy10 xz y【解】1Dxy10 xz y【解】1Dxy10 xz y【解】【補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算】使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸 的奇偶性一般,若在的表達(dá)式中,以y代x,以z代y,以x代z則問：是否有我們知道, 在定積分中, 但在二, 三重積分中, 這一結(jié)論一般不對(duì),不過, 當(dāng)滿足某些條件時(shí), 結(jié)論成立。后,的表達(dá)式不變(即具有“輪換對(duì)稱性”),( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過程中,其表面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與表面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? (2