應(yīng)用數(shù)學(xué)第四章-指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機(jī)電學(xué)?；A(chǔ)部第四章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)第一節(jié)指數(shù)冪在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念：正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪有下面的運(yùn)算性質(zhì)：一、根式我們知道，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根；如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.一般地，如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n1，且nN*)，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.就是說(shuō)，如果xn=a那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.第一節(jié)指數(shù)冪c當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào) 表示.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，這

2、時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào) 表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)- 表示，正的n次方根和負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成 (a0).第一節(jié)指數(shù)冪16的4次方根可以寫(xiě)成 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.0的任何次方根都是0，記作式子 叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).根據(jù)n次方根的意義，可 .注意當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪我們看下面的例子:這就是說(shuō)，當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我

3、們規(guī)定第一節(jié)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).上述整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)于任意有理數(shù)m,n均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：第一節(jié)指數(shù)冪一般地，當(dāng)a0時(shí)，任意給定一個(gè)無(wú)理數(shù)，都有a是一個(gè)唯一確定的實(shí)數(shù).這樣我們就把有理數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪.第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的定義引例1某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè),一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=2x .引例2某企業(yè)原來(lái)

4、的年產(chǎn)值為1億元，計(jì)劃從今年開(kāi)始年產(chǎn)值平均每年增加8%，求x年后的產(chǎn)值y(單位：億元).分析1年后的年產(chǎn)值是1+0.08=1.08，2年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)(1+0.08)=1.082，3年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)2(1+0.08)=1.083，x年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)x-1(1+0.08)=1.08x，所以x年后的年產(chǎn)值y是y=1.08x.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)以上兩個(gè)例子中的函數(shù)，它們的指數(shù)都是變量，底數(shù)都是常量，對(duì)于這樣的函數(shù)，給出下面的定義.定義形如y=ax(a0，a1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).其中x是自變量.函數(shù)的定義域是R.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二

5、節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)表4-1二、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)現(xiàn)在我們分兩種情況來(lái)描繪指數(shù)函數(shù)的圖像，從而進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(1)a1的情況.例如，畫(huà)出y=2x的圖像.列出x,y的對(duì)應(yīng)值表4-1，用描點(diǎn)法畫(huà)出圖像：(2)0a1的情況.例如,我們來(lái)畫(huà) 的圖像,即y=2-x的圖像.列出x,y的對(duì)應(yīng)值表4-2，用描點(diǎn)法畫(huà)出圖像：表4-2第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)因?yàn)?，所以只要在函數(shù)y=2x中，把x換成-x，并且根據(jù)y=2-x的圖像與y=2x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，就可以畫(huà)出函數(shù)y=2-x，也就是 的圖像(圖4-1).圖4-1第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)表4-3一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a1及0a1

6、這兩種情況下的圖像和性質(zhì)如表4-3所示.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)三、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)對(duì)數(shù)一、對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念我們知道，2的4次冪等于16，即24=16,這里2是底數(shù)，4是指數(shù)，16是2的4次冪.如果提出另一個(gè)問(wèn)題：2的多少次冪等于16？也就是說(shuō)，如果2b=16,b=?這是已知冪和底數(shù)的值，求指數(shù)的問(wèn)題.為了解決這類問(wèn)題，引進(jìn)一個(gè)新的概念對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的定義如果a(a0,a1)的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底的正數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，簡(jiǎn)稱底，N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)，簡(jiǎn)稱真數(shù).第三節(jié)對(duì)數(shù)指數(shù)形式ab

7、=N簡(jiǎn)稱指數(shù)式，對(duì)數(shù)形式logaN=b簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)式，這兩類形式表示了a,b,N間的同一關(guān)系.設(shè)a0,a1,例如, 24=16log216=4102=100log10100=210-2=0.01log100.01=-2第三節(jié)對(duì)數(shù)從定義可知，(1)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù). (2)1的對(duì)數(shù)等于0.即 (3)底的對(duì)數(shù)等于1.即 (4)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，如果ab=N，那么b=logaN，把b=logaN代入ab=N中，得恒等式同樣，把N=ab代入b=logaN，得恒等式第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)2.常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記作lgN例如:log

8、105簡(jiǎn)記作lg5,log1035簡(jiǎn)記作lg35在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作ln N.例如:自然對(duì)數(shù)loge3簡(jiǎn)記作ln 3，自然對(duì)數(shù)loge10簡(jiǎn)記作ln 10.第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知logaM,logaN(M,N0)，求loga(MN),logaM/N,logaMa.設(shè)logaM=p,logaN=q,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可得M=ap,N=aqMN=apaq=ap+q,loga(MN)=p+q=logaM+logaN.MN=ap/aq=ap-q,logaM/N=p-q=l

9、ogaM-logaN.Ma=(ap)a=apa,logaMa=ap=alogaM.第三節(jié)對(duì)數(shù)總結(jié)以上論證，我們得到下面的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：(1)loga(MN)=logaM+logaN. 即兩個(gè)正數(shù)乘積的對(duì)數(shù)等于各個(gè)因數(shù)對(duì)數(shù)的和.這個(gè)法則可推廣到多個(gè)正數(shù)積的情況，即loga(M1M2Mk)=logaM1+logaM2+logaMk(kN*)(2)logaM/N=logaM-logaN. 即兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù).第三節(jié)對(duì)數(shù)(3)logaMn=nlogaM. 即正數(shù)冪的對(duì)數(shù)等于冪的指數(shù)乘以冪的底數(shù)的對(duì)數(shù).即正數(shù)的算術(shù)根的對(duì)數(shù)等于被開(kāi)方數(shù)的對(duì)數(shù)除以根指數(shù).第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第

10、三節(jié)對(duì)數(shù)三、對(duì)數(shù)的換底公式設(shè)logaN=x,則有ax=N,兩邊取以b(b0且b1)為底的對(duì)數(shù)，得logbax=logbNxlogba=logbNx=logbN/logba即logaN=logbN/logba此公式叫做對(duì)數(shù)的換底公式，其中a,b均為不等于1的正數(shù).第三節(jié)對(duì)數(shù)如果取a=e,b=10,那么公式變成此式是自然對(duì)數(shù)和常用對(duì)數(shù)的互換公式.第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第三節(jié)對(duì)數(shù)第四節(jié)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義我們研究指數(shù)函數(shù)時(shí)，曾經(jīng)討論過(guò)細(xì)胞分裂的問(wèn)題.某種細(xì)胞分裂時(shí)，得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)y=2x表示.現(xiàn)在我們來(lái)研究相反的問(wèn)題.如果要求這種細(xì)胞

11、經(jīng)過(guò)多少次分裂，大約可以得到1萬(wàn)個(gè)，10萬(wàn)個(gè)細(xì)胞，那么，分裂次數(shù)x就是要得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y的函數(shù).根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，這個(gè)函數(shù)可以寫(xiě)成對(duì)數(shù)的形式就是x=log2y.如果用x表示自變量，y表示函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是y=log2x.下面我們具體分析當(dāng)a0且a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)的解析表達(dá)式.由于當(dāng)a0且a1時(shí)，有l(wèi)ogaN=bab=N.因此,指數(shù)函數(shù)y=ax把b對(duì)應(yīng)到NN=ab b=logaN 函數(shù)y=logax把N對(duì)應(yīng)到b從而指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)是y=logax.我們把函數(shù)y=logax叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a0且a1.第四節(jié)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)表4-4由于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax是指數(shù)函數(shù)y=ax的反

12、函數(shù)，因此有下列結(jié)論(表4-4)：例如，y=log2x,y=log1/3x,y=lgx,y=ln x等都是對(duì)數(shù)函數(shù).它們分別是指數(shù)函數(shù)y=2x,y=(1/3)x,y=10 x,y=ex的反函數(shù).其中y=lgx稱為常用對(duì)數(shù)函數(shù)。y=ln x稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù).第四節(jié)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)現(xiàn)在研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)的圖像和性質(zhì).因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)，所以y=logax的圖像與y=ax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.因此，我們只要畫(huà)出和y=ax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=logax的圖像.第四節(jié)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)例如，畫(huà)出y=2x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=log2x的圖像.同樣，畫(huà)出與 的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=log1/2x的圖像.圖4-2第四節(jié)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)由圖4-2可以看出，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)有如下性質(zhì)：(1)圖像都在y軸的右方；(2)圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0).當(dāng)a1時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)