黑龍江省哈爾濱名校2021-2022學年高三下學期第五次調研考試數學試題含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1九章算術有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一

2、根金箠， 長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是（ ）A斤B 斤C斤D斤2已知函數（其中，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：直線是函數圖象的一條對稱軸；點是函數的一個對稱中心；函數與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（ ）ABCD3已知是虛數單位，若，則實數（ ）A或B-1或1C1D4某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別，數據分析、機器學習、服務器開發(fā)

3、五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）A480種B360種C240種D120種5某學校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（ ）A56B60C140D1206一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD7在等差數列中

4、，若，則（ ）A8B12C14D108已知正項數列滿足：，設，當最小時，的值為( )ABCD9設為拋物線的焦點，為拋物線上三點，若，則（ ）.A9B6CD10已知符號函數sgnxf（x）是定義在R上的減函數，g（x）f（x）f（ax）（a1），則（ ）Asgng（x）sgn xBsgng（x）sgnxCsgng（x）sgnf（x）Dsgng（x）sgnf（x）11已知，且，則的值為（ ）ABCD12已知函數（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的垂直平分線與軸交點的

5、橫坐標為，則的值為_.14一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，則這個幾何體的體積是_15的展開式中，的系數為_（用數字作答）.16函數的圖像如圖所示，則該函數的最小正周期為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯安裝，再與一級過濾器串聯安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中

6、單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現需決策安裝凈水系統的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數分布表一級濾芯更換的個數89頻數6040圖2：二級濾芯更換頻數條形圖 以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的

7、概率；（2）記表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求的分布列及數學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定的值.18（12分）已知函數f(x)=xex-a2x2-ax（1）討論fx的單調性；（2）當x-1時，fx+a2x2-a+10，求a的取值范圍.19（12分）已知都是各項不為零的數列，且滿足其中是數列的前項和，是公差為的等差數列（1）若數列是常數列，求數列的通項公式；（2）若是不為零的常數），求證：數列是等差數列；（3）若（為常數，），求證：對任意的

8、恒成立20（12分）如圖，在四棱錐中，平面， 底面是矩形，分別是，的中點.（）求證：平面；（）設， 求三棱錐的體積.21（12分）在直角坐標系中，曲線的標準方程為.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在直線上，求的最小值.22（10分）已知函數的最大值為2.（）求函數在上的單調遞減區(qū)間；（）中,角所對的邊分別是，且，求的面積參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數列，則，由此利用等差數列性質求

9、出結果【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題2C【解析】分析：根據最低點，判斷A=3，根據對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且 由 所以，將帶入得 ，所以由此可得錯誤，正確，當時，所以與 有6個交點，設各個交點坐標依次為 ，則，所以正確所以選C點睛：本題考查了根據條件求三角函數的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數的性質，屬于中檔題3B【解析】由題意得，然后求解即可【詳解】，.又，

10、.【點睛】本題考查復數的運算，屬于基礎題4B【解析】將人臉識別方向的人數分成：有人、有人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數.【詳解】當人臉識別方向有2人時，有種，當人臉識別方向有1人時，有種，共有360種.故選：B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.5C【解析】試題分析：由題意得，自習時間不少于小時的頻率為，故自習時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應用6D【解析】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線可解得【詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正

11、三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線方程得：，即，由得故選：【點睛】本題考查了雙曲線的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平7C【解析】將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則由，得解得，所以故選C【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解，難度較易.已知等差數列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.8B【解析】由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的

12、運算求解能力.9C【解析】設，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.10A【解析】根據符號函數的解析式，結合f（x）的單調性分析即可得解.【詳解】根據題意，g（x）f（x）f（ax），而f（x）是R上的減函數，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時sgng （ x）1，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時sgng （ x）0，當x0時，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0

13、，此時sgng （ x）1，綜合有：sgng （ x）sgn（x）；故選：A【點睛】此題考查函數新定義問題，涉及函數單調性辨析，關鍵在于讀懂定義，根據自變量的取值范圍分類討論.11A【解析】由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.12A【解析】是函數的零點，根據五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得【詳解】由題意，函數在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，的最小值是故選：A.【點睛】本題考查三角函數的周期性，考查函

14、數的對稱性函數的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】設，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結論【詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據得.設，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關鍵14【解析】先還原幾何體，再根據柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求

15、解能力，屬基礎題1560【解析】根據二項式定理展開式通項，即可求得的系數.【詳解】因為，所以，則所求項的系數為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應用，指定項系數的求法，屬于基礎題.16【解析】根據圖象利用，先求出的值，結合求出，然后利用周期公式進行求解即可【詳解】解：由，得，則，即，則函數的最小正周期，故答案為：8【點睛】本題主要考查三角函數周期的求解，結合圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【解析】（1）由題意可知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個

16、數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數分布表和二級濾芯更換頻數條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級濾芯更換頻數條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數學期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統在使用期內需要更

17、換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16”為事件，因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，從而，.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16（個）.或用分數表示也可以為89101112（個）.（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統在使用期內購

18、買各級濾芯所需總費用（單位：元）因為，且，1若，則，（元）；2若，則，（元）.因為，故選擇方案：.解法二：記分別表示該客戶的凈水系統在使用期內購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）1若，則，的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統在使用期內購買的各級濾芯所需總費用為（元）；2若，則，的分布列為800100012000.520.320.16（元）.因為所以選擇方案：.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法及應用，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于中檔題.18（1）見解析；（2）-,1【解析】（1）f（x）=（x+1）ex-ax-a

19、=（x+1）（ex-a）對a分類討論，即可得出單調性（2）由xex-ax-a+10，可得a（x+1）xex+1，當x=-1時，0-1e+1恒成立當x-1時，axex+1x+1令g（x）=xex+1x+1，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出【詳解】解法一：（1）f(x)=ex+xex-ax-a=(ex-a)(x+1)當a0時，x(-，-1)-1(-1,+)f(x)-0+f(x)極小值所以f(x)在(-,-1)上單調遞減，在(-1,+)單調遞增.當a0時，f(x)=0的根為x=lna或x=-1.若lna-1，即a1e，x(-,-1)-1(-1,lna)lna(lna,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以f(x)在(-,-1)，(lna,+)上單調遞增，在(-1,lna)上單調遞減.若lna=-1，即a=1e，f(x)0在(-,+)上恒成立，所以f(x)在(-,+)上單調遞增，無減區(qū)間. 若lna-1，即0a1e，x(-,lna)lna(lna,-1)-1(-1,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以f(x)在(-,lna)，(-1,+)上單調遞增，在(lna,-1)上單調遞減. 綜上：當a0時，f(x)在(-,-1)上單調遞減，在(-1,+)上單調遞增；